四川省南充市2017年高考数学二诊试卷（理科）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 www.ks5u.com 四川省南充市2017年高考数学二诊试卷（理科）（解析版）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．当＜m＜1时，复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．满足条件{1，3}∪A={1，3，5}所有集合A的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎3．秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．由他提出的一种多项式简化算法称为秦九韶算法：它是一种将n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法．即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．用秦九韶算法求多项式f（x）=4x5﹣x2+2，当x=3时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为（　　）‎ A．4，2 B．5，2 C．5，3 D．6，2‎ ‎4．如图所示的程序框图中，输出的B是（　　）‎ A． B．0 C．﹣ D．﹣‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5．某种商品计划提价，现有四种方案，方案（Ⅰ）先提价m%，再提价n%；方案（Ⅱ）先提价n%，再提价m%；方案（Ⅲ）分两次提价，每次提价（）%；方案（Ⅳ）一次性提价（m+n）%，已知m＞n＞0，那么四种提价方案中，提价最多的是（　　）‎ A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ ‎6．函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是（　　）‎ A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）‎ C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）‎ ‎7．某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（　　）‎ A．330种 B．420种 C．510种 D．600种 ‎8．一个多面体的三视图和直观图如图所示，M是AB的中点，一只蜻蜓在几何体ADF﹣BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F﹣AMCD内的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f （2﹣x）=f（x）当x∈[0，1]时，f （x）=e﹣x，若函数y=[f （x）]2+（m+l）f（x）+n在区间[﹣k，k]（k＞0）内有奇数个零点，则m+n=（　　）‎ A．﹣2 B．0 C．1 D．2‎ ‎10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，则这个三角形必含有（　　）‎ A．90°的内角 B．60°的内角 C．45°的内角 D．30°的内角 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11．锥体中，平行于底面的两个平面把锥体的体积三等分，这时高被分成三段的长自上而下的比为（　　）‎ A．1：： B．1：2：3 C．1：（﹣1）：（﹣） D．1：（﹣1）：（﹣）‎ ‎12．F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1，l2，l1交抛物线C于点A，B，l2交抛物线C于点G，H，则•的最小值是（　　）‎ A．8 B．8 C．16 D．16‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎13．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积为　　．‎ ‎14．渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须流出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0），则鱼群年增长量的最大值是　　．‎ ‎15．若直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）始终平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是　　．‎ ‎16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=， •=，则b=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．‎ ‎17．（12分）设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：对任意n∈N*，an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3．‎ ‎（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列{}前n项的和．‎ ‎18．（12分）某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：‎ 组别 理科 文科 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 性别 男生 女生 男生 女生 人数 ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ 学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．‎ ‎（Ⅰ）求理科组恰好记4分的概率？‎ ‎（Ⅱ）设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．‎ ‎19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．‎ ‎（Ⅰ）若DE∥平面A1MC1，求；‎ ‎（Ⅱ）求直线BG和平面A1MC1所成角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知直线l：x+y+8=0，圆O：x2+y2=36（O为坐标原点），椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为e=，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）过点（3，0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设（O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．‎ ‎21．（12分）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然对数的底数，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．（10分）在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程 为ρsin（θ+）=1，圆C的圆心是C（1，），半径为1，求：‎ ‎（1）圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l被圆C所截得的弦长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．若关于x的不等式x+|x﹣1|≤a有解，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年四川省南充市高考数学二诊试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．当＜m＜1时，复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】当＜m＜1时，复数z的实部3m﹣2∈（0，1），虚部m﹣1∈．即可得出．‎ ‎【解答】解：当＜m＜1时，复数z的实部3m﹣2∈（0，1），虚部m﹣1∈．‎ 复数z=（3m﹣2）+（m﹣1）i在复平面上对应的点（3m﹣2，m﹣1）位于第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、不等式的性质、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．满足条件{1，3}∪A={1，3，5}所有集合A的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】由题意知满足条件的集合A中必有元素{5}，元素1，3可以没有，或有1个，或有2个，由此能求出满足条件{1，3}∪A={1，3，5}所有集合A的个数．‎ ‎【解答】解：∵满足条件{1，3}∪A={1，3，5}，‎ ‎∴满足条件的集合A有：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴满足条件{1，3}∪A={1，3，5}所有集合A的个数是4．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查满足条件的集合A的个数的求法，是基础题，注意并集性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎3．秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．由他提出的一种多项式简化算法称为秦九韶算法：它是一种将n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法．即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．用秦九韶算法求多项式f（x）=4x5﹣x2+2，当x=3时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为（　　）‎ A．4，2 B．5，2 C．5，3 D．6，2‎ ‎【考点】秦九韶算法．‎ ‎【分析】由秦九韶算法的原理，可以把多项式f（x）=4x5﹣x2+2变形计算出乘法与加法的运算次数．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=（（（（4x）x）x﹣1）x）x+2，‎ ‎∴乘法要运算5次，加减法要运算2次．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查秦九韶算法，考查在用秦九韶算法解题时一共会进行多少次加法和乘法运算，是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎4．如图所示的程序框图中，输出的B是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B．0 C．﹣ D．﹣‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，A，B的值，当i=2018时不满足条件i≤2017，退出循环，输出B的值为﹣，即可得解．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 A=，‎ i=1，A=，B=﹣，‎ i=2，满足条件i≤2017，执行循环体，A=π，B=0，‎ i=3，满足条件i≤2017，执行循环体，A=，B=，‎ i=4，满足条件i≤2017，执行循环体，A=，B=﹣，‎ ‎…‎ 观察规律可知，可得：‎ i=2017，满足条件i≤2017，执行循环体，A=，B=sin=sin=﹣，‎ i=2018，不满足条件i≤2017，退出循环，输出B的值为﹣．‎ 故选：D．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查了求程序框图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．某种商品计划提价，现有四种方案，方案（Ⅰ）先提价m%，再提价n%；方案（Ⅱ）先提价n%，再提价m%；方案（Ⅲ）分两次提价，每次提价（）%；方案（Ⅳ）一次性提价（m+n）%，已知m＞n＞0，那么四种提价方案中，提价最多的是（　　）‎ A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ ‎【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．‎ ‎【分析】设单价为1，那么方案（Ⅰ）售价为：1×（1+m%）（1+n%）=（1+m%）（1+n%）；方案（Ⅱ）提价后的价格是：（1+n%）（1+m%））；（Ⅲ）提价方案提价后的价格是：（1+%）2；方案（Ⅳ）提价后的价格是1+（m+n）%显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因而只需比较（1+m%）（1+n%）与（1+%）2的大小．‎ ‎【解答】解：依题意得：设单价为1，那么方案（Ⅰ）售价为：1×（1+m%）（1+n%）=（1+m%）（1+n%）；‎ 方案（Ⅱ）提价后的价格是：（1+n%）（1+m%））；‎ ‎（1+m%）（1+n%）=1+m%+n%+m%•n%=1+（m+n）%+m%•n%；‎ ‎（Ⅲ）提价后的价格是（1+%）2=1+（m+n）%+（%）2；‎ 方案（Ⅳ）提价后的价格是1+（m+n）%‎ 所以只要比较m%•n%与（%）2的大小即可 ‎∵（%）2﹣m%•n%=（%）2≥0‎ ‎∴（%）2≥m%•n%‎ 即（1+%）2＞（1+m%） （1+n%）‎ 因此，方案（Ⅲ）提价最多．‎ 故选C．‎ ‎【点评】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．需用到的知识点为：（a﹣b）2≥0．‎ ‎　‎ ‎6．函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是（　　）‎ A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）‎ C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）‎ ‎【考点】正弦函数的单调性．‎ ‎【分析】y=sin2x+cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x﹣），利用正弦函数的单调增区间，求出函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间．‎ ‎【解答】解：y=sin2x+cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x﹣），‎ 由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，则x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），‎ 即函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，正确化简函数是关键．‎ ‎　‎ ‎7．某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（　　）‎ A．330种 B．420种 C．510种 D．600种 ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】分类讨论，利用排列组合知识，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，若都选1门，有=60种；‎ 若有1人选2门，则有=180种，‎ 若有2人选2门，则有=90种，‎ 故共有60+180+90=330种，‎ 故选：A．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查排列组合知识的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．一个多面体的三视图和直观图如图所示，M是AB的中点，一只蜻蜓在几何体ADF﹣BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F﹣AMCD内的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】先根据三棱锥的体积公式求出F﹣AMCD的体积与三棱锥的体积公式求出ADF﹣BCE的体积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．‎ ‎【解答】解：因为VF﹣AMCD==，VADF﹣BCE=，‎ 所以它飞入几何体F﹣AMCD内的概率为=，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式，以及几何概型的应用，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f （2﹣x）=f（x）当x∈[0，1]时，f （x）=e﹣x，若函数y=[f （x）]2+（m+l）f（x）+n在区间[﹣k，k]（k＞0）内有奇数个零点，则m+n=（　　）‎ A．﹣2 B．0 C．1 D．2‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】根据已知条件，f（x）为偶函数，再结合零点的定义可知，函数y=[f（x）]2+（m+1）f（x）+n在区间[﹣k，0）和区间（0，k]上的零点个数相同，所以便知k=0是该函数的一个零点，所以可得到0=1+m+1+n，所以m+n=﹣2．‎ ‎【解答】解：∵y=f（x）是偶函数；‎ 又∵函数y=[f（x）]2+（m+1）f（x）+n在区间[﹣k，k]内有奇数个零点；‎ ‎∴若该函数在[﹣k，0）有零点，则对应在（0，k]有相同的零点；‎ ‎∵零点个数为奇数，‎ ‎∴x=0时该函数有零点；‎ ‎∴0=1+m+1+n；‎ ‎∴m+n=﹣2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】考查偶函数的定义：f（﹣x）=f（x），零点的定义，以及对于零点定义的运用．‎ ‎　‎ ‎10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，则这个三角形必含有（　　）‎ A．90°的内角 B．60°的内角 C．45°的内角 D．30°的内角 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】先把已知条件等号左边的分子分母利用同角三角函数间的基本关系切化弦后，分子分母都乘以cosAcosB后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，右边利用正弦定理化简后，根据三角形的内角和定理及诱导公式，得到2cosA=1，然后在等号两边都乘以sinA后，利用二倍角的正弦函数公式及诱导公式化简后，即可得到2A=B+C，由A+B+C=180°，即可解得：A=60°．‎ ‎【解答】解： =====，‎ 因为sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，得到sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，‎ 即sinB=sin（A+B）﹣sin（A﹣B）=2cosAsinB，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 得到2cosA=1，即2sinAcosA=sinA，即sin2A=sinA=sin（B+C），‎ 由2A+B+C≠π，得到2A=B+C，‎ 因为A+B+C=180°‎ 所以可解得：A=60°‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、两角和与差的正弦函数公式以及诱导公式化简求值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．锥体中，平行于底面的两个平面把锥体的体积三等分，这时高被分成三段的长自上而下的比为（　　）‎ A．1：： B．1：2：3 C．1：（﹣1）：（﹣） D．1：（﹣1）：（﹣）‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】锥体被平行于底面的两平面截得三部分的体积的比自上至下依次是1：2：3，则以分别以原来底面和两个截面为底面的锥体，是相似几何体，根据相似的性质三个锥体的体积比，从而求出相似比为1：：，得到这三部分的相应的高的比．‎ ‎【解答】解：由题意，以分别以原来底面和两个截面为底面的锥体，是相似几何体，‎ 根据相似的性质三个锥体的体积比为1：2：3，相似比为1：：，‎ 则h1：h2：h3=1：（﹣1）：（﹣），‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，其中利用相似的性质，线之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，体积之比等于相似比的立方，求出三个锥体的体积之比是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1，l2，l1交抛物线C于点A，B，l2交抛物线C于点G，H，则•的最小值是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．8 B．8 C．16 D．16‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】设l1的方程：y=k（x﹣1），l2的方程y=﹣（x﹣1），与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，利用基本不等式，即可求•的最小值．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），设l1的方程：y=k（x﹣1），l2的方程y=﹣（x﹣1），‎ A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），‎ 由，消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，‎ ‎∴x1+x2=2+，x1x2=1．‎ 由，消去y得：x2﹣（4k2+2）x+1=0，‎ ‎∴x3+x4=4k2+2，x3x4=1，…（9分）‎ ‎∴•=（+）（+）=||•||+||•||，‎ ‎=|x1+1|•|x2+1|+|x3+1|•|x4+1|‎ ‎=（x1x2+x1+x2+1）+（x3x4+x3+x4+1）‎ ‎=8++4k2≥8+2=16．‎ 当且仅当=4k2，即k=±1时， •有最小值16，…（12分）‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆和抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎13．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积为　1　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，求出三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（1，2），‎ 联立，解得B（2，3），‎ ‎∴|BC|=2，A到BC所在直线的距离为1．‎ ‎∴可行域面积为S=．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎14．渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须流出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0），则鱼群年增长量的最大值是　　．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】由鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）．我们根据题意求出空闲率，即可得到y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域，使用配方法，易分析出鱼群年增长量的最大值．‎ ‎【解答】解：由题意，空闲率为 1﹣，‎ ‎∴y=kx（1﹣），定义域为（0，m），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 y=kx（1﹣）=﹣，‎ 因为 x∈（0，m），k＞0；‎ 所以当x=时，ymax=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．‎ ‎　‎ ‎15．若直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）始终平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是　（﹣∞，]　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】根据圆的性质，得圆心在直线2ax﹣by+2=0上，解得b=1﹣a，代入式子a•b并利用二次函数的图象与性质，即可算出a•b的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵直线2ax﹣by+2=0（a、b∈R）始终平分x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，‎ ‎∴圆心（﹣1，2）在直线2ax﹣by+2=0上，可得﹣2a﹣2b+2=0‎ 解得b=1﹣a ‎∴a•b=a（1﹣a）=﹣（a﹣）2+≤，当且仅当a=时等号成立 因此a•b的取值范围为（﹣∞，]．‎ 故答案为（﹣∞，]．‎ ‎【点评】本题给出直线始终平分圆，求ab的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的性质和二次函数的图象与性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=， •=，则b=　5　．‎ ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】由C=2A，得到cosC=cos2A，cos2A利用二倍角的余弦函数公式化简，将cosA的值代入求出cosC的值，发现cosC的值大于0，由A和B为三角形的内角，得到A和B都为锐角，进而利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sinC的值，最后利用三角形的内角和定理及诱导公式化简cosB，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入即可求出cosB的值；利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式•=，由cosB的值，求出ac的值，由a，c，sinA和sinC，利用正弦定理列出关系式，将C=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，用c表示出a，代入ac=24中，求出c的值，进而得到a的值，最后由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．‎ ‎【解答】解：∵C=2A，cosA=＞0，‎ ‎∴cosC=cos2A=2cos2A﹣1=2×（）2﹣1=＞0，‎ ‎∵0＜A＜π，0＜C＜π，‎ ‎∴0＜A＜，0＜C＜，‎ ‎∴sinA==，sinC==，‎ ‎∴cosB=cos[π﹣（A+C）]=﹣cos（A+C）=﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=；‎ ‎∵•=，‎ ‎∴accosB=，‎ ‎∴ac=24，‎ ‎∵===，‎ ‎∴a==c，‎ 由解得，‎ ‎∴b2=a2+c2﹣2accosB=42+62﹣2×24×=25，‎ ‎∴b=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．‎ ‎17．（12分）（2017•南充模拟）设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：对任意n∈N*，an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3．‎ ‎（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列{}前n项的和．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（I）对任意n∈N*，an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，可得2bn=an+an+1， =bn•bn+1，an＞0，an+1=，代入即可证明．‎ ‎（II）a1=1，b1=2，a2=3．由（I）可得：32=2b2，解得：b2．公差=．可得=×．bn代入=bn•bn+1，an+1＞0．可得an+1=，可得=．即可得出．‎ ‎【解答】（I）证明：∵对任意n∈N*，an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，‎ ‎∴2bn=an+an+1， =bn•bn+1，an＞0，‎ ‎∴an+1=，‎ ‎∴2bn=+，‎ ‎∴=+．‎ ‎∴数列{}是等差数列．‎ ‎（II）解：a1=1，b1=2，a2=3．由（I）可得：32=2b2，解得：b2=．‎ ‎∴公差d===．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=+（n﹣1）=×．‎ ‎∴bn=．‎ ‎∴=bn•bn+1=，an+1＞0．‎ ‎∴an+1=，‎ ‎∴n≥2时，an=．n=1时也成立．‎ ‎∴an=．n∈N*．‎ ‎∴=．‎ ‎∴数列{}前n项的和=+…+=2=．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的定义通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•南充模拟）某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：‎ 组别 理科 文科 性别 男生 女生 男生 女生 人数 ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ 学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．‎ ‎（Ⅰ）求理科组恰好记4分的概率？‎ ‎（Ⅱ）设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（I）要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有共有：．其中“理科组恰好记4分”的选法有两种情况：从理科组中选取2男1女，再从文科组中任选1人，可有方法；另一种是从理科组中选取2女，再从文科组中任选2人，可有 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 方法．根据互斥事件的概率计算公式与古典概型的概率计算公式即可得出．‎ ‎（II）由题意可得ξ=0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=4）==，即可得出分布列与数学期望．‎ ‎【解答】解：（I）要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有共有： =424．‎ 其中“理科组恰好记4分”的选法有两种情况：从理科组中选取2男1女，再从文科组中任选1人，可有方法；另一种是从理科组中选取2女，再从文科组中任选2人，可有方法．‎ ‎∴P==．‎ ‎（II）由题意可得ξ=0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=4）==，‎ 由题意可得ξ=0，1，2，3．其分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P（ξ）‎ ξ的数学期望Eξ=++=．‎ ‎【点评】本题考查了互斥事件的概率计算公式与古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017•南充模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．‎ ‎（Ⅰ）若DE∥平面A1MC1，求；‎ ‎（Ⅱ）求直线BG和平面A1MC1所成角的余弦值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取BC中点N，连结MN，C1N，由已知得A1，M，N，C1四点共面，由已知条件推导出DE∥C1N，从而求出．‎ ‎（Ⅱ）连结B1M，由已知条件得四边形ABB1A1为矩形，B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，由此能求出直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）取BC中点N，连结MN，C1N，…（1分）‎ ‎∵M，N分别为AB，CB中点 ‎∴MN∥AC∥A1C1，‎ ‎∴A1，M，N，C1四点共面，…（3分）‎ 且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，‎ 又DE∩平面BCC1B1，‎ 且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，‎ ‎∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，…‎ ‎∴=．…（6分）‎ ‎（Ⅱ）连结B1M，…（7分）‎ 因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，‎ ‎∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，‎ ‎∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，‎ 又A1C1⊥平面ABB1A1，‎ ‎∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，…（9分）‎ ‎∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，‎ ‎∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，‎ 又B1C1∥BC，‎ ‎∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…（10分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形 ‎∴A1M=A1C1=，则MC1=2，B1C1=，‎ ‎∴cos∠B1C1M=，∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查两条线段的比值的求法，考查角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•南充模拟）已知直线l：x+y+8=0，圆O：x2+y2=36（O为坐标原点），椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为e=，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）过点（3，0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设（O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）计算圆心O到直线l：x+y+8=0的距离，可得直线l被圆O截得的弦长，利用直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等，可求a的值，利用椭圆的离心率为e=，即可求得椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）由，可得四边形OASB是平行四边形．假设存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线长相等，则四边形OASB为矩形，因此有，设直线方程代入椭圆方程，利用向量的数量积公式，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵圆心O到直线l：x+y+8=0的距离为，‎ ‎∴直线l被圆O截得的弦长为，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等，‎ ‎∴2a=4，∴a=2，‎ ‎∵椭圆的离心率为e=，‎ ‎∴c=‎ ‎∴b2=a2﹣c2=1‎ ‎∴椭圆C的方程为：； …（4分）‎ ‎（Ⅱ）∵，∴四边形OASB是平行四边形．‎ 假设存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线长相等，则四边形OASB为矩形，因此有，‎ 设A（x1，y2），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0．…（7分）‎ 直线l的斜率显然存在，设过点（3，0）的直线l方程为：y=k（x﹣3），‎ 由，得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4=0，‎ 由△=（﹣24k2）2﹣4（1+4k2）（36k2﹣4）＞0，可得﹣5k2+1＞0，即．…（9分）‎ ‎∴=，‎ 由x1x2+y1y2=0得：，满足△＞0．…（12分）‎ 故存在这样的直线l，其方程为．…（13分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，联立方程，利用向量的数量积公式、韦达定理是关键．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017•南充模拟）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然对数的底数，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+；‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．‎ ‎（Ⅲ）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，‎ 所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，‎ ‎ 当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，‎ 所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．‎ ‎（Ⅱ）证明：因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．‎ 又g′（x）=，所以当0＜x＜e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．‎ 所以g（x）的最大值为g（e）=＜，所以f（x）min﹣g（x）max＞，‎ 所以在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+．‎ ‎（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，‎ 则f′（x）=a﹣=，‎ ‎①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，‎ f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a=，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．‎ ‎②当0＜＜e时，f（x）在（0，]上单调递减，f（x）在（，e]上单调递增．‎ 所以f（x）min=f（）=1+lna=3，a=e2，满足条件．‎ ‎③当≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a=，（舍去），‎ 此时函数f（x）的最小值是不是3，‎ 综上可知存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．‎ ‎【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，运算量较大，综合性较强．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．（10分）（2017•南充模拟）在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程 为ρsin（θ+）=1，圆C的圆心是C（1，），半径为1，求：‎ ‎（1）圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l被圆C所截得的弦长．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】（1）直接利用x2+y2=ρ2，ρcosθ=xρsinθ=y的关系式把直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，及把圆的直角坐标方程转化成极坐标方程．‎ ‎（2）利用圆心和直线的关系求出直线被圆所截得的弦长．‎ ‎【解答】解：（1）已知直线l的极坐标方程 为ρsin（θ+）=1，‎ 所以：‎ 即：x+y﹣=0．‎ 因为：圆C的圆心是C（1，），半径为1，‎ 所以转化成直角坐标为：C，半径为1，‎ 所以圆的方程为：‎ 转化成极坐标方程为：‎ ‎（2）直线l的方程为：x+y﹣=0，圆心C满足直线的方程，所以直线经过圆心，‎ 所以：直线所截得弦长为圆的直径．‎ 由于圆的半径为1，所以所截得弦长为2．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查的知识要点：直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与曲线的位置关系．属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．（2017•南充模拟）若关于x的不等式x+|x﹣1|≤a有解，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式．‎ ‎【分析】首先分析题目已知关于x的不等式x+|x﹣1|≤a有解，求实数a的取值范围．即可先分类讨论x与1的大小关系，去绝对值号．然后根据恒成立分析a的范围，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：关于x的不等式x+|x﹣1|≤a有解，先分类讨论x与1的大小关系，去绝对值号．‎ 当x≥1时，不等式化为x+x﹣1≤a，即x≤．此时不等式有解当且仅当1≤，即a≥1．≥1．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费