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2017江西省 数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．5
3.已知上的奇函数满足：当时，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
4.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积等于（ ）
A． B． C. D．
5.下列命题正确的个数为（ ）
①“都有”的否定是“使得”；
②“”是“”成立的充分条件；
③命题“若，则方程有实数根”的否命题为真命题
A．0 B．1 C. 2 D．3
6.美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一.美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计算系统，其中开平方算法最具有代表性，程序框图如图所示，若输入的值分别为8,2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位），则输出结果为（ ）
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A．2.81 B．2.82 C.2.83 D．2.84
7.随着国家二孩政策的全国放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100为育龄妇女，结果如图：
非一线
一线
总计
愿生
45
20
65
不愿生
13
22
35
总计
58
42
100
附表：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
由算得，，参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C．有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D．有以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
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8.若满足条件，则目标函数的最小值是（ ）
A． B．2 C. 4 D．
9.已知，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
10.已知函数的部分图象如下图所示，若，，则的值为（ ）
A． B． C. D．
11.设双曲线的左焦点为，左顶点为，过作轴的垂线交双曲线于、两点，过作垂直于，过作垂直于，设与的交点为，若到直线的距离大于，则该双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.若函数在区间上存在极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
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二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.的展开式中项的系数为 ．
14. ．
15.已知半径为1的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是 ．
16.中，，是边的一个三等分点（靠近点），记，则当取最大值时， ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求.
18. 在如图所示的多面体中，四边形为正方形，底面为直角梯形，我俄日直角，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值.
19. 一个正四面体的“骰子”（四个面分别标有1,2,3,4四个数字），掷一次“骰子”三个侧面的数字的和为“点数”，连续抛掷“骰子”两次.
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（1）设为事件“两次掷‘骰子’的点数和为16”，求事件发生的概率；
（2）设为两次掷“骰子”的点数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.
20. 已知椭圆：的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程.
21.已知函数，（）其图象与轴交于两点，且.
（1）求的取值范围；
（2）证明：；（为的导函数）；
（3）设点在函数的图象上，且为等边三角形，记，求的值.
请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的直角坐标为，点的极坐标为，且倾斜角为，圆以为圆心，3为半径.
（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；
（2）设直线与圆相交于两点，求.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）证明：.
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试卷答案
一、选择题
1-5:CDADB 6-10:DCBCA 11、12：BC
二、填空题
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13. 2 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）设数列的公差为，数列的公比为，则
由得解得，所以，.
（2）由（1）可知，，
∴ …………①
……………②
①-②得：
∴.
18.解：（1）∵底面为直角梯形，，，
∴，
∵平面平面，平面平面，
∴平面，平面，
∴，
设，以所在直线分别为轴建立如图坐标系，
则，，，，，，
∵，∴.
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（2）由（1）知是平面的一个法向量，设是平面的法向量，
∵，∴，，∴，，由，得，由，得，令，得，故是平面的一个法向量，∴，即二面角的余弦值为.
19.解：（1）两次点数之和为16，即两次的底面数字为：（1,3），（2,2），（3,1），
（2）的可能取值为0,1,2,3，且，，，，则的分布列为
.
20.解：（1）∵，又的周长为，∴，∴，∴，∴椭圆的方程为.
（2）∵，∴四边形为平行四边形，显然直线的斜率存在，设的方程为，，把代入得，由得，∴
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，，∵，∴，
令，∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴，此时的方程为.
21.解：（1）∵，∴，若，则，则函数在上单调递增，这与题设矛盾.
∴易知在上单调递减，在上单调递增，∴，且时，；时，，
∴，两式相减得.记，则，设，则，∴是单调减函数，则有，而，
∴，又∵是单调增函数，且，
∴.
（2）由得，∴，设，在等边三角形中，易知，，由等边三角形性质知，
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∴ ，即，
∴，
∵，∴，
∴，，
∴，又∵，∴，∴，，∴.
22.解：（1）直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为.
（2）圆的直角坐标方程为，把代入得，∴，又，∴.
23.解（1）当时，，原不等式等价于
或或
解得或或，所以不等式的解集为或
（2）
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