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专题04 算法、推理证明、排列、组合与二项式定理（仿真押题）
2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题
1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
解析：共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C＋C＋CC＝66种．
答案：D
2．在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )
A．3项 B．4项
C．5项 D．6项
解析：Tr＋1＝C()24－rr＝Cx，
故当r＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．
答案：C
3．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为( )
A．12 B．24
C．36 D．48
4． 5的展开式中x－1的系数为( )
A．10 B．20
C．40 D．80
解析：由通项公式得展开式中x－1的系数为C·2＝10.
答案：A
5．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种
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C．96种 D．144种
解析：由题意知，程序A只能出现在第一步或最后一步，所以有A＝2种结果．困为程序B和C实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，有AA＝48种结果，根据分步乘法计数原理可知共有2×48＝96种结果，故选C.
答案：C
6．(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由通项公式可得展开式中含x4的项为T8＋1＝Cx4＝x4，故含x4项的系数为1，令x＝1，得展开式的系数和S＝1，故展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0.
答案：B
7．《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是( )
A．216 B．420
C．720 D．1 080
解析：先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有种分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有×A＝1 080(种)．
答案：D
8．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于( )
A．－5 B．5
C．90 D．180
解析：∵(1＋x)10＝10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，∴a8＝C·22＝180.
答案：D
9．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
答案：A
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10．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
11．执行如图所示的程序框图，若输入的x＝8，则输出的y值为( )
A. B. C. D．3
【答案】A
【解析】第一次循环，x＝8，y＝3，|y－x|>3；第二次循环，x＝3，y＝，|y－x|8? B．k≤8?
C．k8？”．
14．某程序框图如图所示，若输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为( )
A．3 B． 4 C．5 D．6
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【答案】B
【解析】依题意，循环的结果依次为：S＝0＋1＋1＝2，n＝1；S＝2＋2＋1＝5，n＝2；S＝5＋4＋1＝10，n＝3；S＝10＋8＋1＝19，n＝4.因为输出的S的值不大于20，所以输入的整数i的最大值为4.
15．执行如图所示的程序框图，若m＝4，则输出的结果是( )
A．1 B. C．2 D.
【答案】D
16．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为( )
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A．1或－3 B．－1或3
C．1 D．－3
【答案】A
【解析】令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.
17．将6位志愿者分配到甲、乙、丙3个志愿者工作站，每个工作站2人，由于志愿者特长不同，志愿者A不能去甲工作站，志愿者B只能去丙工作站，则不同的分配方法共有________种．
解析：先安排甲工作站，方法数为C＝6，再安排乙工作站，方法数为C＝3，余下一人去丙工作站，方法数是1，故总的分配方法有6×3＝18(种)．
答案：18
18．在二项式n的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M＋N＝72，则展开式中常数项的值为________．
解析：由题知，4n＋2n＝72，即2n(2n＋1)＝8×9，解得n＝3.故二项展开式的通项公式为
Tr＋1＝C()3－rr＝3rCx，当r＝1时为常数项，所以常数项为3C＝9.
答案：9
19．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排．某人欲选由A、B、C、D、E中的两个不同字母，和1、2、3、4、5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的方法种数为________．
20．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与
轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，求：
(1)打满3局比赛还未停止的概率；
(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)．
解析：令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．
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(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝＋＝.
(2)ξ的所有可能值有2，3，4，5，6，且
P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝＋＝，
P(ξ＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝＋＝，
P(ξ＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝＋＝，
P(ξ＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)＝＋＝，
P(ξ＝6)＝P(A1C2B3A4C5)＋P(B1C2A3B4C5)＝＋＝.
故ξ的分布列为：
ξ
2
3
4
5
6
P
从而E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.
21．某市居民用水原价为2.25元/立方米，从2010年1月1日起实行阶梯式计价：
级数
计算水费的用水量/立方米
单价/(元/立方米)
1
不超过20立方米
1.8
2
超过20立方米至30立方米
2.4
3
超过30立方米
p
其中p是用水总量的一次函数，已知用水总量为40立方米时p＝3.0元/立方米，用水总量为50立方米时p＝3.5元/立方米．
(1)写出水价调整后居民每月水费额与用水量的函数关系式．每月用水量在什么范围内，水价调整后居民同等用水的水费比调整前增加？
(2)用一个流程图描述水价调整后计算水费的主要步骤．
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用水量30立方米时，水价调整前水费为2.25×30＝67.5(元)，水价调整后水费为f(30)＝60(元)，水价调整前水费更高．设用水量为x(x＞30)立方米时，水价调整后水费更高，依题意得0.05x2－0.5x＋30＞2.25x，解得x＞40或x＜15(舍去)，即每月用水量超过40立方米时，水价调整后居民同等用水的水费比调整前增加．
(2)流程图是：
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