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2016-2017学年度第二学期高二第三次月考
数学(文科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.y=xα在x=1处切线方程为y=-4x,则α的值为 ( )
A.-4 B. 4 C.1 D.-1
2. 函数y=x2cos x的导数为 ( )
A.y′=x2cosx-2xsin x B.y′=2xcos x+x2sin x
C.y′=2xcos x-x2sin x D.y′=xcosx-x2sin x
3. 函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0)的几何意义是 ( )
A.在点x0处的斜率 C.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值
B.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率 D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率
4. 设y=e3,则y′等于 ( )
A.3e2 B.e2 C.0 D.以上都不是
5. 已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于3,则切线有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定
6. 已知f(x)=ax3+3x2+2,若f ′(-1)=3,则a的值是 ( )
A. B. C. D.3
7. 函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上 ( )
A.是增函数 B.是减函数
C.在(0,+∞)上增,在(-∞,0)上减 D.在(0,+∞)上减,在(-∞,0)上增
8. 设函数f(x)=xex,则 ( )
A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极小值点 D.x=-1为f(x)的极大值点
9. 已知x和y之间的一组数据
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程=x+必过点( )
A.(2,2) B.(,4) C.(1,2) D.(,0)
10. 在吸烟与患肺病是否有关的研究中,下列属于两个分类变量的是 ( )
A.吸烟,不吸烟 B.患病,不患病
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C.是否吸烟、是否患病 D.以上都不对
11. 下列是一个2×2列联表:
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
100
则该表中a、b的值分别为( )
A.94,96 B.52,50
C.54,52 D.52,54
12. 对变量x、y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图①;对变量u、v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图②.由这两个散点图可以判断 ( )
A.变量x与y负相关,u与v正相关 B.变量x与y正相关,u与v负相关
C.变量x与y正相关,u与v正相关 D.变量x与y负相关,u与v负相关
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
13. 函数y=x3-x2-x的单调递增区间为________
14. 若函数f(x)=x2,则f′(1)=________
15. .已知函数f(x)=x3-x2-x+m在[0,1]上的最小值为,则实数m的值为________.
16. 给出下列实际问题:
①一种药物对某种病的治愈率;②两种药物治疗同一种病是否有关系;
③吸烟者得肺病的概率; ④吸烟人群是否与性别有关系;
⑤上网与青少年的犯罪率是否有关系.
其中,用独立性检验可以解决的问题有________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. 求下列函数的导数
(1)y=; (2)y=; (3)y=2x; (4)y=log3x.
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18. 已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;
(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
19. 某电脑公司有6名产品推销员,其工作年限与年推销金额的数据如下表:
推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限x/年
3
5
6
7
9
推销金额y/万元
2
3
3
4
5
(1)以工作年限为自变量,推销金额为因变量y,作出散点图;
(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程;
(3)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额.
附:回归方程=x+中,
= =-
20. 设函数f(x)=x3+mx2+1的导函数f′(x),且f′(1)=3.
(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间和极值.
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21. 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如表所示:
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
a
20
80
北方学生
10
b
20
合计
70
30
100
(1)求a、 b
(2)根据表中数据,问是否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.
附:
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
k0
2.706
3.841
6.635
K2=
22. 已知函数f(x)=ex-x2+a,x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)>kx对任意的x>0恒成立,求实数k的取值范围.
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2016-2017学年度第二学期高二第三次月考
数学(文科)答案
一、选择题
1-5 ACBCB 6-10 DACBC 11-12 DA
二、填空题
13. (-∞,-),(1,+∞) 14. 2 15. 2 16. ②④⑤
三、解答题
17. [解析] (1)y′=′=(x-2)′=-2x-3.
(2)y′=()′=(x)′=x-.
(3)y′=(2x)′=2xln 2.
(4)y′=(log3x)′=.
18. [解析] (1)∵f ′(x)=3x2+1,
∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f ′(2)=13.
∴切线的方程为13x-y-32=0.
(2)解法一:设切点为(x0,y0),
则直线l的斜率为f ′(x0)=3x+1,
∴直线l的方程为y=(3x+1)(x-x0)+x+x0-16,
又∵直线l过原点(0,0),
∴0=(3x+1)(-x0)+x+x0-16,
整理得,x=-8,∴x0=-2,∴y0=-26,k=13.
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
解法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),
则k==,
又∵k=f ′(x0)=3x+1,∴=3x+1,
解之得,x0=-2,∴y0=-26,k=13.
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∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
(3)∵切线与直线y=-+3垂直,
∴切线的斜率k=4.
设切点坐标为(x0,y0),则f ′(x0)=3x+1=4,
∴x0=±1,∴,或.
∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4x-18或y=4x-14.
即4x-y-18=0或4x-y-14=0.
19. [解析] (1)依题意,画出散点图如图所示,
(2)从散点图可以看出,这些点大致在一条直线附近,设所求的线性回归方程为=x+.
则===0.5,=-=0.4,
∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为=0.5x+0.4.
(3)由(2)可知,当x=11时,
=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元).
∴可以估计第6名推销员的年销售金额为5.9万元.
20. [解析] (1)f′(x)=x2+2mx,
∴f′(x)=1+2m=3,∴m=1.
∴f(x)=x3+x2+1,∴f(1)=.
∴切线方程为y-=3(x-1),
即3x-3y+4=0.
(2)f′(x)=x2+2x=x(x+2),
令f′(x)>0,得x>0或x0),
∴k0,∴ex-x-1>0.
∴g(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,
∴当x=1时,g(x)取最小值g(1)=e-2,∴k