北师大版数学九年级下册第一章第五节三角函数的应用课时练习
一、单选题（共15题）
1．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（ ）
A． 米 B．米 C．米 D．米
答案：D
解析：解答：如图，延长OD，BC交于点P．
∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，
∴在直角△CPD中，DP=DC•cot30°=2m，PC=CD÷（sin30°）=4米，
∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，
∴△PDC∽△PBO，
∴ ，
∴PB=米，
∴BC=PB-PC=米．
故选：D．
分析: 出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相减即可求得BC长
2.如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（ ）
A．2 B． C． D．
答案：C
解析：解答: 假设AC=x，
∴BC=x，∵滑梯AB的长为3m，
∴2x2=9，
解得：x=
∵∠D=30°，
∴2AC=AD，
∴AD=3
故选C．
分析: 根据∠ABC=∠BAC=45°，AB=3，求出AC的长，再利用在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求出即可。
3.如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（ ）
A． B． C．6cos50° D．
答案：D
解析：解答: ∵BC=6米，∠ACB=50°，
∴cos50°=，
∴AC= （米）；
故选D．
分析: 此题考查了解直角三角形，解决此类问题的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决
4.如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米 B．50米 C．米 D．50米
答案:C
解析：解答: 过B作BM⊥AD，
∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=CB=100米，
∵BM⊥AD，
∴∠BMC=90°，
∴∠CBM=30°，
∴CM= BC=50米，
∴BM=CM=50米，
故选：B．
分析: 过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案
5. 如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（ ）
A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米
答案:A
解析：解答: 设CD=x，则AD=2x，
由勾股定理可得，AC=＝x，
∵AC=3米，
∴x=3，
∴x=3米，
∴CD=3米，
∴AD=2×3=6米，
在Rt△ABD中，BD==8米，
∴BC=8-3=5米．
故选A．
分析: 设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长
6. 如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．5m B．m C．4m D．2m
答案:D
解析：解答: ∵AB=10米，tanA=
∴设BC=x，AC=2x，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2
∴AC=4，BC=2米．
故选D．
分析: 可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长
7. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（ ）
A．5cm B．5cm C．10m D．m
答案:C
解析：解答：如图所示：过点C作CE⊥AB延长线于点E，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBE=30°，
∵从点B到点C上升的高度为5m，
∴电梯BC的长是10m．
故选：C．
分析: 根据直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而得出即可
8. 一斜坡长为米，高度为1米，那么坡比为（ ）
A．1：3 B．1： C．1： D．1：
答案:A
解析：解答: ∵一斜坡长为米，高度为1米，
∴坡的水平宽度为：3m，
∴坡比为：
故选：A．
分析: 直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，进而得出答案
9.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度
i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（ ）
A．56米 B．66米 C．（56+20）米 D．（50+20）米
答案:C
解析：解答: 作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，
由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，
在Rt△ABE中，
∵
∴AE=50米，
在Rt△CFD中，
∵∠D=30°，
∴DF=CFcot∠D=20米，
∴AD=AE+EF+FD=50+6+20=（56+20）米．
故选C．
分析: 过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可
10.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（ ）
A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75
答案:D
解析：解答: 如图；过点E作EM⊥GH于点M，
∵水渠的横断面是等腰梯形，
∴GM= ×（GH-EF）= ×（2.1-1.2）=0.45，
∵斜坡AD的坡度为1：0.6，
∴EM：GM=1：0.6，
∴EM：0.45=1：0.6，
∴EM=0.75，
故选：D．
分析: 先过点E作EM⊥GH于点M，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM，再根据斜坡AD的坡度为1：0.6，得出EM：GM=1：0.6，最后代入计算即可
11.如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（ ）
A．12m B．3m C．4m D．12m
答案:C
解析：解答: 如图，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=6m，
∴AB= （m）．
故选C．
分析: AB是Rt△ABC的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB的长．
12.如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为（ ）m．
A．10 B．8 C．6 D．6
答案:A
解析：解答: ∵天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为 ，
∴sinC=，
则
解得：AC=10，
则坡面AC的长度为10m．
故选：A．
分析: 此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键
13. 拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）
A．15m B．20m C．10m D．20m
答案:D
解析：解答：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：
∴AC=BC÷tanA=10m，
∴AB==20m．
故选：D．
分析: 在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
14.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（ ）
A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
答案: D
解析：解答：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，
∴AE=1.5BE=18米，
∵BC=10米，
∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，
故选：D．
分析: 根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．
15.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300m，250m，200m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）
A．甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高
答案:D
解析：解答：甲放的高度为：300×sin30°=150米．
乙放的高度为：250×sin45°=125≈176.75米．
丙放的高度为：200×sin60°=100≈173.2米．
所以乙的最高．
故选D．
分析: 利用所给角的正弦值求出每个小朋友放的风筝高度，比较即可
二、填空题（共5题）
16.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了_____________米．
答案: 1000
解析：解答: 过点B作BC⊥水平面于点C，
在Rt△ABC中，
∵AB=2000米，∠A=30°，
∴BC=ABsin30°=2000× =1000．
故答案为：1000
分析: 过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB=2000米，∠A=30°，求出BC的长度即可
17.如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是_________米（结果保留根号）
答案:
解析：解答: 如图，
Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，AC=6，
∴BC=AC•tanA=6× =2．
根据勾股定理，得：AB=
=即斜坡上相邻两树间的坡面距离是米．
分析：在由每两棵树构建的直角三角形中，已知了水平宽为6米，根据坡度可求出坡面的铅直高度，进而可根据勾股定理求得坡面长，即相邻两树间的坡面距离．
18.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：则AB的长为_______
答案: 12米
解析：解答: ∵Rt△ABC中，BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：
∴BC：AC=1：
∴AC=•BC=6（米），
∴AB=
故答案为12米．
分析: 在Rt△ABC中，根据坡面AB的坡比以及BC的值，求出AC的值，再通过解直角三角形即可求出斜面AB的长
19.如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC=_________米．（可以用根号表示）
答案：
解析：解答：∵坡度i=1：5，
∴AC与BC的比为1：5，
设AC为x，则BC为5x，
∴x2+（5x）2=262，
∵x＞0，
∴x=
故答案为：
分析: 由坡度易得AC与BC的比为1：5，设出相应未知数，利用勾股定理可得AC的长度．
20.如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线．已知∠ABC=135°，BC的长约是6m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是_________．
答案：6m
解析：解答：作CF⊥AB的延长线于F，∵∠ABC=135°，
∴∠CBF=180°-135°=45°，
∴CF=BC•sin45°=6×=6．
故答案为6．
分析: 作CF⊥AB的延长线于F，求出∠CBF=45°，然后利用三角函数求出CF的长即可．
三、解答题（共5题）
21. 两棵树种在倾角为24°36′的斜坡上，它们的坡面距离是4米，求它们之间的水平距离（可用计算器计算，精确到0.1米）
答案：3.6米．
解析：解答: 由题意得cos24°36′ =0.909，
解得：水平距离≈3.6米．
故答案为：3.6．
分析: 倾角为24°36′，即坡角为24°36′，利用余弦关系可求出它们之间的水平距离．
22.如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：2，求坡角α的正弦值sinα
答案:
解析：解答：过A作AC⊥BC于C，
∵AB的坡度i=1：3，
∴tanα=
设AC=x，BC=3x，
根据勾股定理可得：AB=
则sinα=AC 故答案为：
分析：本题考查了坡度坡角的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用及坡角的定义
23.如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，求该斜坡的坡比
答案：
解析：解答：
【解答】解：∵某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，∴水平距离BC= =6（m），
则该斜坡的坡比是：
故答案为：
分析: 直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，进而得出答案．
24.如图，斜坡AC的坡度（坡高比水平距离）为1：，AC=10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米．求旗杆BC的高度
答案：6米
解析： 解答：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．
在Rt△AEC中，AC=10，由坡度为1：，可知：∠CAE=30°，
∴CE=AC•sin30°=10× =5，
AE=AC•cos30°=10×=5
在Rt△ABE中，BE=
∵BE=BC+CE，
∴BC=BE-CE=11-5=6（米）．
答：旗杆的高度为6米．
故答案为6米．
分析: 如果延长BC交AD于E点，则CE⊥AD，要求旗杆BC的高度，就要知道BE和CE的高度，就要先求出AE的长度．直角三角形ACE中有坡度，由AC的长，那么就可求出AE的长，然后求出BE、CE的高度，根据BC=BE-CE，即可得出结果
25.小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，求他下降的高度
答案：50米
解析：解答：坡比为1：2.4，
∴BC：AC=1：2.4，
设BC=x，AC=2.4x，
则AB=
∵AB=130米，
∴x=50，
则BC=x=50（米）．
故答案为：50．
分析: 根据斜坡的坡比为1：2.4，可得BC：AC=1：2.4，设BC=x，AC=2.4x，根据勾股定理求出AB，然后根据题意可知AB=130米，求出x的值，继而可求得BC的值．
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