北师大版数学九年级下册第3章第3节垂径定理同步检测
一、选择题
1、如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE=OE B．CE=DE C．OE=CE D．∠AOC=60°
答案：B
解析：解答：根据⊙O的直径AB⊥弦CD于点E
∴CE=DE．
故选B．
分析：根据直径AB⊥弦CD于点E，由垂径定理求出，CE=DE，即可得出答案．
2、⊙O的一条弦长AB=12cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为（ ）
A．12cm B．6cm C．7cm D．8cm
答案：B
解析：解答：如图：
∵CD是直径，CD⊥AB，AB=12cm，
∴AE=AB=6cm（垂径定理）．
故选B．
分析：根据垂径定理解答即可，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的直径为（ ）
A．5cm B．10cm C．6cm D．14cm
答案：B
解析：解答：如图，
过O作直径CD⊥AB于E，连接OA，
则OE=3cm，AE=BE=AB=4cm，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：OA= =5（cm），
则直径CD=2OA=10cm，
故选B．
分析：过O作直径CD⊥AB于E，连接OA，则OE=3cm，AE=BE= AB=4cm，在Rt△AEO中，由勾股定理求出OA，即可得出答案．
4、如图，已知⊙O弦AB的长6cm，OC⊥AB，OC=4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
答案：B
解析：解答：如图：
连接OA．
∵OC⊥AB，AB=6cm，
∴AC=BC=AB=3cm（垂径定理）；
在Rt△AOC中，根据勾股定理知，，
∴=16+9=25，
∴OA=5cm.
故选B．
分析：连接OA构建Rt△AOC，然后在Rt△AOC中利用勾股定理求⊙O的半径OA的长即可．
5、如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
答案：B
解析：解答：如图：
过O作OC⊥AB于C，
∵OC过圆心O，AB=24，
∴AC=BC=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC= =5．
故选：B．
分析：过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
6、如图，⊙O的半径为2，弦AB⊥OC于C，AB=，则OC等于（ ）
A． B. C．1 D．2−
答案：C
解析：解答：∵AB⊥OC，AB=2 ，
∴AC=BC=AB=；
又∵⊙O的半径为2，
∴OB=2，
∴在Rt△BOC中，OC= =1；
故选C．
分析：利用垂径定理求得Rt△BOC的直角边BC的长度，然后利用勾股定理可以求得OC的长度．
7、如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，若AO=10，OD=6，则AB的长为（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
答案：B
解析：解答：：∵AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，
∴AD=BD=AB（垂径定理），
∴AB=2AD，
在Rt△ADO中，OD⊥AB于D，若AO=10，OD=6，
∴AD=8（勾股定理）；
∴AB=16．
故选B．
分析：先根据勾股定理求出AD的长，再根据垂径定理求出AB的长．
8、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则tan∠COE=（ ）
A． B. C． D．
答案：D
解析：解答：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=8，
∴CE=CD=4（垂径定理）；
在Rt△OEC中：OC=5，CE=4，
∴OE=3（勾股定理）．
∴tan∠COE=
故选D．
分析：先由垂径定理求得CE=4，然后在直角三角形OCE中，根据勾股定理求得OE，再根据三角函数的定义求解．
9、已知⊙O的半径为15，弦AB的长为18，点P在弦AB上且OP=13，则AP的长为（ ）
A．4 B．14 C．4或14 D．6或14
答案：C
解析：解答：如图：
作OC⊥AB于点C，
∴AC=AB=9，
OC= =12，又OP=13，
∴PC==5，
当点P在线段AC上时，AP=9-5=4，
当点P在线段BC上时，AP=9+5=14．
故选：C．
分析：作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可．
10、如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是（ ）
A．3 B．6 C．4 D．8
答案：B
解析：解答：如图：
连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA=5，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为4，
由垂径定理知，点M是AB的中点，AM=AB，
由勾股定理可得，AM=3，所以AB=6．
故选B．
分析：先根据垂径定理求出AM=AB，再根据勾股定理求出AD的值．
11、如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（ ）
A．6 B．13 C． D．2
答案：C
解析：解答：如图：
过点A作等腰直角三角形BC边上的高AD，垂足为D，
所以点D也为BC的中点．
根据垂径定理可知OD垂直于BC．所以点A、O、D共线．
∵⊙O过B、C，
∴O在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，
∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD=3，
∴OD=3-1=2，
由勾股定理得：OB== 13 ．
故选C．
分析：延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的内心，推出AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可．
12、坐标网格中一段圆弧经过点A、B、C，其中点B的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，-1） C．（0，1） D．（2，1）
答案：B
解析：解答：如图：
连接AB、BC，分别作AB和BC的垂直平分线DM、EF，两线交于M，则M为弧所在的圆的圆心，，
∵点B的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），
∴A的坐标是（0，3，），
∴M点的横坐标是2，设M的纵坐标为a，
∵M在AB与BC的垂直平分线的交点，
∴MA=MB=MC，
即M的坐标是（2，-1），
故选B．
分析：根据题意找出圆心M的位置，得出M在AB和BC的垂直平分线的交点上，求出A的坐标，求出M的横坐标，根据AM=BM，根据勾股定理求出AM和BM，即可得出方程，求出方程的解即可．
13、已知⊙O的直径20，OP长为8，则过P的弦中，弦长为整数的弦共有（ ）条．
A．1 B．9 C．17 D．16
答案：D
解析：解答：如图，
AB是直径，OA=10，OP=8，过点P作CD⊥AB，交圆于点C，D两点．
由垂径定理知，点P是CD的中点，
∴PC=4，
在直角三角形OPC中，由勾股定理求得，PC=6，
∴CD=12，则CD是过点P最短的弦长为12；AB是过P最长的弦，长为20．
故过点P的弦的长度都在12～20之间；
因此弦长为12，13，14，15，16，17，18，19，20；
当弦长为12、20时，过P点的弦分别为弦CD和过P点的直径，分别有一条；
当弦长为13，14，15，16，17，18，19时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；
故弦长为整数的弦共有16条．
分析：求出过P点的弦的长度的取值范围，取特殊解，根据对称性综合求解．
14、如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
A．是正方形 B．是长方形 C．是菱形 D．以上答案都不对
答案：C
解析：解答： 因为圆O的弦AB垂直平分半径OC，
由垂径定理可知，半径OC垂直平分AB，即 OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．
故选C．
分析：根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解．对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
15、圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（ ）
A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm
答案：D
解析：解答：如图：
第一种情况：两弦在圆心的一侧时，已知CD=10cm，
∴DE=5cm．
∵圆的半径为13cm
∴OD=13cm，
∴利用勾股定理可得：OE=12cm．
同理可求OF=5cm，
∴EF=OE-OF=12-5=7cm．
第二种情况：只是EF=OE+OF=17cm．其它和第一种一样．
故选D．
分析：此题可以分两种情况，即两弦在圆心的一侧时和在两侧时，所以此题的答案有两个．
二、填空题
16、如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为
答案：2.5
解析：解答：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=CD=2，∠OEC=90°，
设OC=OA=x，则OE=x-1，
根据勾股定理得：=，
即
解得：x=2.5；
故答案为：2.5．
分析：连接OC，由垂径定理得出CE=CD=2，设OC=OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得出方程，解方程即可．
17、如图，⊙O的直径AB=12，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则CD的长
是 （结果保留根号）．
答案：
解析：解答：连OC，如图，
∵直径AB=12，M是半径OB的中点，
∴OC=6，OM=3，
在Rt△OCM中，CM=，
∵CD⊥AB，
∴CM=CD，
∴CD=2CM=．
故答案为6．
分析：连OC，易得OC=6，OM=3，根据勾股定理可计算出CM=3
，由于CD⊥AB，根据垂径定理得到CM=CD，即可计算出CD的长．
18、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为
答案：3
解析：解答：如图：
过O作OM⊥AB于M，此时线段OM的长最短，连接OA，
∵OM过O，OM⊥AB，
∴AM=AB=×8=4，
在Rt△AMO中，由勾股定理得：OM= =3，
故答案为：3．
分析：过O作OM⊥AB于M，此时线段OM的长最短，连接OA，根据垂径定理求出AM，根据勾股定理求出OM即可．
19、半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为 .
答案：12
解析：解答：如图，
∵OD=CD=6，
∴由勾股定理得AD=6 ，
∴由垂径定理得AB=12，
故答案为：12．
分析：先画图，根据题意得OD=CD=6，再由勾股定理得AD的长，最后由垂径定理得出弦AB的长即可．
20、如图，AB是⊙O的直径CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为
答案：6cm
解析：解答：过O作OG⊥CD于G，连接OC，如图所示，
∵OG⊥CD，CD=8cm，
∴G为CD的中点，即CG=DG=4cm，
在Rt△OCG中，OC=1 2 AB=5cm，CG=4cm，
根据勾股定理得：OG==3cm，
又AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OG∥BF，又O为AB的中点，
∴G为EF的中点，即OG为梯形AEFB的中位线，
∴OG=（AE+BF），
则AE+BF=2OG=6cm．
故答案为：6cm．
分析：过O作OG垂直于CD于G，由垂径定理得到G为CD的中点，连接OC，在直角三角形OCG中，由OC与CG的长求出OG的长，再由AE、OG、BF都与EF垂直，得到三线平行，而O为AB的中点，利用平行线等分线段定理得到G为EF的中点，利用梯形中位线定理得到AE+BF=2OG，求出即可．
21、已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E，连接OC，OC=5，CD=8，求BE的长．
答案：2
解析：解答：：∵AB为直径，AB⊥CD，
∴CE=DE=CD=4，
在Rt△COE中，OE==3，
∴BE=OB-OE=5-3=2，
故BE=2．
分析：由于AB⊥CD，而AB是直径，根据垂径定理易求CE，再根据勾股定理可求CE，进而可求BE．
22、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
答案：2
解析：解答：如图：
过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF=DF，
∵AE=2，EB=6，
∴AB=AE+EB=2+6=8，
∴OA=4，
∴OE=OA-AE=4-2=2，
在Rt△OEF中，∠DEB=30°，
∴OF=OE=1，
在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，
根据勾股定理得：DF= ，
则CD=2DF=2．
分析：过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA-AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD=2DF即可求出CD的长．
23、已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD.
答案：见解析
解析：解答：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE，即AC=BD；
分析：过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD.
24、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD=6cm，求直径AB的长．
答案：4
解析：解答：连OC，如图，
∵AB垂直于弦CD，
∴PC=PD，
而CD=6cm，
∴PC=3cm，
又∵P是OB的中点，
∴OB=2OP，
∴OC=2OP，
∴∠C=30°，
∴PC=OP，则OP=cm，
∴OC=2OP=2cm，
所以直径AB的长为4 cm．
分析：连OC，AB垂直于弦CD，由垂径定理得到PC=PD，得到PC=3；由P是OB的中点，则OC=2OP，得∠C=30°，PC=OP，则OP=，即可得到OC，AB．
25、已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．
答案：6cm
解析：解答：过点O作OG⊥AP于点G，连接OF
∵DB=10cm，
∴OD=5cm
∴AO=AD+OD=3+5=8cm
∵∠PAC=30°
∴OG=AO=×8＝4cm
∵OG⊥EF，∴EG=GF
∵GF= =3cm
∴EF=6cm．
分析：过点O作OG⊥AP于点G，连接OF，解直角三角形OAG可得OG，AG的值，然后再利用垂径定理求EF的值．
微信/支付宝扫码支付