北师大版数学九年级下册第3章第8节圆内接正多边形同步检测
一、选择题
1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
答案：A
解析：解答：设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴360° n =36°，解得n=10．
故选A．
分析：设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．
2.下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
答案：B
解析：解答：设正边形的边数是n．
根据题意得：180-，
解得：n=4．
故选B．
分析：设正边形的边数是n，根据内角根据中心角等于内角，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值
3.半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（ ）
A．8cm B．4cm C．8cm D．4cm
答案：A
解析：解答：如图所示：
∵半径为8cm的圆的内接正三角形，
∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB= ×8=4 （cm），
∵BD=CD，
∴BC=2BD=8 cm．
故它的内接正三角形的边长为8 cm．
故选：A．
分析：欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，求BD的长；根据垂径定理知：BC=2BD，从而求正三角形的边长．
4.圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r．下列等式成立的是（ ）
A．a=2rsin36° B．a=2rcos36° C．a=rsin36° D．a=2rsin72°
答案：A
解析：解答：作OF⊥BC．
∵∠COF=72°÷2=36°，
∴CF=r•sin36°，
∴CB=2rsin36°．
故选A．
分析：作OF⊥BC，在Rt△OCF中，利用三角函数求出a的长．
5.正八边形的中心角是（ ）
A．45° B．135° C．360° D．1080°
答案：A
解析：解答：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故选A．
分析：根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
6.顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（ ）
A．△ACE是等边三角形
B．既是轴对称图形也是中心对称图形
C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC
D．图中一共能画出3条对称轴
答案：B
解析：解答： A.∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，故本选项正确；
B.∵△ACE是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C.∵△ACE是等边三角形，∴连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC，故本选项正确；
D.∵△ACE是等边三角形，∴图中一共能画3条对称轴，故本选项正确．
故选B．
分析：根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
7.若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
答案：B
解析：解答： ∵正多边形的一个外角为60°，
∴正多边形的边数为360 ÷60 =6，
其中心角为360° ÷6 =60°．
故选B．
分析：根据正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出其中心角．
8.⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（ ）
A．3 B．2 C．3 D．6
答案：C
解析：解答： 如图所示：
⊙O的半径为3，
∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴AC=2×3=6，
∵，AB=BC，
∴=36，
解得：AB=3 ，
即⊙O的内接正方形的边长等于3 ，
故选C．
分析： 根据正方形与圆的性质得出AB=BC，以及，进而得出正方形的边长即可．
9.如图，在一张圆形纸片上剪下一个面积最大的正六边形纸片ABCDEF，它的边长是24cm， 的长度是（ ）
A．6πcm B．8πcm C．36πcm D．96πcm
答案：B
解析：解答：连接OB、OA，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6 =60°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB=AB=24cm，
∴
故选B
分析：连接OA、OB，得出等边三角形AOB，求出OB长和∠AOB度数，根据弧长公式求出即可．
10.若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于（ ）
A．2 B．1 C． D．2
答案：C
解析：解答：已知正六边形的半径为2，则正六边形ABCDEF的外接圆半径为2，
如图：
连接OA，作OM⊥AB于点M，
得到∠AOM=30°，
则OM=OA•cos30°= ．
则正六边形的边心距是 ．
故选C．
分析：根据正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
11.已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
答案：C
解析：解答：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2 ，高为3，
因而等边三角形的面积是3 ，
∴正六边形的面积=18 ，
故选C．
分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
12.已知某个正多边形的内切圆的半径是 ，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（ ）
A．八 B．六 C．四 D．三
答案：B
解析：解答：根据勾股定理得：=1，
∴正多边形的边长为2，
∴正多边形的中心角为60°，
∴此正多边形是正六边形，
故选B．
分析：根据正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数即可．
13.正三角形的外接圆半径与内切圆的半径之比是（ ）
A．1：2 B．1： C． ：1 D．2：1
答案：D
解析：解答：如图，
△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．
∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，
∴BO=2OD，而OA=OB，
∴OA：OD=2：1．
故选D．
分析：先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径，最后求出比值即可．
14、已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
答案：B
解析：解答：如图所示：
作AD⊥BC与D，连接OB，
则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，
∴OA=OB=2OD=2，
∴AD=3，BD=，
∴BC=2 ，
∴△ABC的面积=BC•AD=×2×3=3；
故选：B．
分析：作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积=BC•AD，即可得出结果．
15.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
答案：B
解析：解答：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=×（180°-150°）=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED=(180°−120°)÷ 2 =30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
故选B
分析：根据正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，求出∠BEA，∠AED，据此即可解答．
二、填空题
16.利用等分圆可以作正多边形，只利用直尺和圆规不能作出的多边形是 .
答案：正七边形
解析：解答：直接利用圆的半径即可将圆等分为6份，这样即可得出正三角形，也可以得出正六边形，作两条互相垂直的直径即可将圆4等分，可得出正方形，但是无法利用圆规与直尺7等分圆，故无法得到正七边形．
故答案为：正七边形．
分析：利用直尺和圆规可以将圆等分为6份、4份，这样即可得出正三角形、正方形、正六边形等，但是无法得到正七边形．
17.一个正n边形的面积是240cm2，周长是60cm，则边心距是 .
答案：8cm
解析：解答：∵一个正n边形的面积是240cm2，周长是60cm，
∴设边心距是hcm，则×60×h=240，
解得：h=8（cm），
即边心距为8cm.
分析：根据正n边形的面积=周长×边心距，进而得出答案．
18.若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是 .
答案： ：2．
解析：解答：∵一个正多边形的一个外角为60°，
∴360°÷60°=6，
∴这个正多边形是正六边形，
设这个正六边形的半径是r，
则外接圆的半径r，
∴内切圆的半径是正六边形的边心距，即是r，
∴它的内切圆半径与外接圆半径之比是： ：2．
分析：由一个正多边形的一个外角为60°，可得是正六边形，然后从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的三边引垂线，构建直角三角形，解三角形即可．
19.如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接六边形的面积为
答案：
解析：解答： 连接AO，BO，过点O作OE⊥AB于点E，
∵∠C=30°，
∴∠AOB=60°，
∵AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=AB=1，
∴EO=sin60°×1=，
∴S△AOB=×EO×AB=，
∴⊙O的内接六边形的面积为：6×=．
分析：利用圆周角定理以及等边三角形的判定与性质得出△AOB的面积，进而得出答案．
20.人民币1993年版的一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果设这个正九边形的半径为R，那么它的周长是 .
答案：18Rsin20°
解析：解答：连接OA、OB，过O作OM⊥AB于M，
则OA=OB=R，
∵九边形ABCDEFGHI是正九边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=GF=GH=HI=AI，∠AOB=360°÷9 =40°，
在△AOM中，sin∠AOM= ，
AM=OAsin20°=Rsin20°，
∵OA=OB，OM⊥AB，
∴AB=2AM=2Rsin20°，
即正九边形的周长是9×2Rsin20°=18Rsin20°.
分析：连接OA、OB，过O作OM⊥AB于M，根据正九边形得出
AB=BC=CD=DE=EF=GF=GH=HI=AI,∠AOB=40，在△AOM中求出AM=OAsin20°=Rsin20°，根据三线合一定理得出AB=2AM=2Rsin20°，即可求出正九边形的周长．
三、证明、计算题
21.已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．
答案：见解析
解析：解答：连接BF，CE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，
∴AF=CF，AE=BE，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，
∴ ，
∴AE=AF=BE=BC=FC，
∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．
∴五边形AEBCD为正五边形．
分析： 要求证五边形AEBCD是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等进而得出即可．
22.如图，正方形EFGH的外接圆⊙O是正方形ABCD的内切圆，试求AB：EF的值．
答案：
解析：解答： 如图，
设大正方形的边长为1，则HF=1，
则S正方形ABCD=1，
S正方形EFGH=2S△HGF=2×1×（1÷2）÷2=0.5，
∵正方形ABCD∽正方形EFGH，
∴AB：EF=．
分析：设大正方形的边长为1，那么圆的直径为1，根据“正方形的面积=边长×边长”求出大正方形的面积，从而得出△HGF的面积：1×（1÷2）÷2=0.25，即可得出正方形EFGH的面积：0.25×2=0.5，再根据相似得出边之比．
23.如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
答案：(1)略；(2)120°
解析：解答： （1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG与△BCH中
AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°， BG＝CH ，
∴△ABG≌△BCH；
（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，
∴∠BAG=∠HBC，
∴∠BPG=∠ABG=120°，
∴∠APH=∠BPG=120°．
分析：（1）根据正六边形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=120°，由三角形全等的判定定理SAS即可证出△ABG≌△BCH；
（2）由△ABG≌△BCH，得到∠BAG=∠HBC，然后根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结果．
24.如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？
答案：6cm
解析：解答：设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=6cm，∠AOB=60°，
∴cos∠BAC=AM :AB ，
∴AM=6× =3 （cm），
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=AC，
∴AC=2AM=6（cm）．
扳手张开的开口b至少为6cm.
分析：根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解．
25.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 CD上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
答案：(1)45°；(2)8
解析：解答： ：（1）连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，ssssss
∴∠P=∠BOC=45°；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴BE=
∴BC=2BE=2×
分析：（1）连接OB，OC，由正方形的性质知，△BOC是等腰直角三角形，根据∠BOC=90°，由圆周角定理可以求出；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论．
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