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2017年江西省赣州市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=（ ）
A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4}
2．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，则这两个数不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．如图是一个几何体挖去另一个几何体所得的三视图，若主视图中长方形的长为2，宽为1，则该几何体的表面积为（ ）
A．（ +1）π B．（ +2）π C．（ +3）π D．（ +4）π
8．抛物线C：y2=2px（p＞
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0）的焦点为F，A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1（O为坐标原点），则p的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，f（）=﹣1，则f（0）的值为（ ）
A．1 B． C． D．
10．秦九韶是我国南宋时代的数学家，其代表作《数书九章》是我国13世纪数学成就的代表之一，秦九韶利用其多项式算法，给出了求高次代数方程的完整算法，这一成就比西方同样的算法早五六百年，如图是该算法求函数f（x）=x3+x+1零点的程序框图，若输入x=﹣1，c=1，d=0.1，则输出的x的值为（ ）
A．﹣0.6 B．﹣0.69 C．﹣0.7 D．﹣0.71
11．已知函数f（x）=|2x﹣2|+b的两个零点分别为x1，x2（x1＞x2），则下列结论正确的是（ ）
A．1＜x1＜2，x1+x2＜2 B．1＜x1＜2，x1+x2＜1
C．x1＞1，x1+x2＜2 D．x1＞1，x1+x2＜1
12．在三棱锥ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥ABCD体积的最大值为（ ）
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A． B． C．1 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设向量=（1，x），=（x，1），若•=﹣||•||，则x= ．
14．若曲线f（x）=在点（a，f（a））处的切线与两坐标轴围成的图形的面积为，则a的值为 ．
15．设等差数列{an}的公差d＜0，前n项和为Sn，已知3是﹣a2与a9的等比中项，S10=20，则d= ．
16．已知双曲线C的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），若C的右支上存在两点A、B，使∠AOB=120°，其中O为坐标原点，则曲线C的离心率的取值范围是 ．
三、解答题
17．（12分）设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3a=5csinA，cosB=﹣．
（1）求sinA的值；
（2）设△ABC的面积为，求b．
18．（12分）某学校对男女学生进行有关“习惯与礼仪”的调查，分别随机抽查了18名学生进行评分（百分制：得分越高，习惯与礼仪越好），评分记录如下：
男生：44，46，46，52，54，55，56，57，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94．
女生：51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，78，77，77，83，83，89，100
（1）请用茎叶图表示上面的数据，并通过茎叶图比较男女生“习惯与礼仪”评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体的值，给出结论即可）．
（2）记评分在60分以下的等级为较差，评分在60分以上的等级为较好，请完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“习惯与礼仪”与性别有关？并说明理由．
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等级
性别
较差
较好
合计
男生
女生
合计
附：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
K2=
k
3.841
6.635
10.828
19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A1B⊥AC1．
（1）求证：平面A1BC⊥平面ABC1；
（2）若∠A1AC=60°，CA=2，求三棱锥A1﹣B1BC的体积．
20．（12分）离心率为的椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合．
（1）求E的方程；
（2）矩形ABCD的两顶点C、D在直线y=x+2，A、B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程．
21．（12分）设函数f（x）=（x+2）ex．
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（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x≥0时，恒有≥1，求实数a的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l：（t为参数，0≤α＜π）．
（1）求曲线C的参数方程；
（2）若直线l与曲线C相切，求直线l的倾斜角及切点坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x|﹣|x﹣1|．
（1）若关于x的不等式f（x）≥|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值集合M．
（2）记（1）中数集M中的最大值为k，正实数a，b满足a2+b2=k，证明：a+b≥2ab．
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2017年江西省赣州市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=（ ）
A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据并集的含义先求A∪B，注意2只能写一个，再根据补集的含义求解．
【解答】解：集合A∪B={1，2，4}，则CU（A∪B）={3}，
故选B．
【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．
2．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由（z﹣i）（2﹣i）=5，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z所对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】解：由（z﹣i）（2﹣i）=5，
得=，
则z所对应的点的坐标为：（2，2），位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
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3．设命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由q⇒p，反之不成立．例如取f（x）=（x﹣1）2不是偶函数，但是此函数在R上不单调．
【解答】解：命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数，
则q⇒p，反之不成立．例如f（x）=（x﹣1）2不是偶函数，但是此函数在R上不单调．
则p是q的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的奇偶性单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，则这两个数不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】求出基本事件总数为n==10，再利用对立事件及列举法求出这两个数不相邻包含的基本事件个数，由此能求出这两个数不相邻的概率．
【解答】解：从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，
基本事件总数为n==10，
这两个数相邻包含的基础事件有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），
∴这两个数不相邻包含的基本事件个数m=10﹣4=6，
则这两个数不相邻的概率为p=．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式及列举法的合理运用．
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5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【考点】简单线性规划．
【分析】确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最值．
【解答】解：约束条件对应的可行域为直线x+2y﹣5=0，x﹣y﹣2=0，x=0围成的三角形及其内部；
三顶点为，
当z=2x+3y过点（3，1）时取得最大值9，
故选：B．
【点评】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，属于基础题．
6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由S1，2S2，3S3成等差数列，可得S1+3S3=2×2S2，即4a1+a2+a3=4（a1+a2），化简即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵S1，2S2，3S3成等差数列，∴S1+3S3=2×2S2，
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∴4a1+a2+a3=4（a1+a2），化为：a3=3a2，解得q=3．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．如图是一个几何体挖去另一个几何体所得的三视图，若主视图中长方形的长为2，宽为1，则该几何体的表面积为（ ）
A．（ +1）π B．（ +2）π C．（ +3）π D．（ +4）π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由一个圆柱挖去一个圆锥所得的几何体，即可得出该几何体的表面积．
【解答】解：由一个圆柱挖去一个圆锥所得的几何体，
∴该几何体的表面积S=π×12+2π×1×1+×2=（3+）π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆柱与圆锥的三视图及其表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1（O为坐标原点），则p的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1，建立方程，即可求出p的值．
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【解答】解：设A（a，b），则b2=2pa， =1，a+=2a，
解得p=2，
故选B．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，f（）=﹣1，则f（0）的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，由函数的特殊值求出A，可得函数的解析式，从而求得f（0）的值．
【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，
可得==﹣，∴ω=3．
再根据五点法作图可得3•+φ=，∴φ=，故f（x）=Asin（3x+）．
∵f（）=Asin（+）=﹣Acos=﹣A•=﹣1，∴A=，则f（0）=sin=1，
故选：A．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，由函数的特殊值求出A，属于基础题．
10．秦九韶是我国南宋时代的数学家，其代表作《数书九章》是我国13世纪数学成就的代表之一，秦九韶利用其多项式算法，给出了求高次代数方程的完整算法，这一成就比西方同样的算法早五六百年，如图是该算法求函数f（x）=x3+x+
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1零点的程序框图，若输入x=﹣1，c=1，d=0.1，则输出的x的值为（ ）
A．﹣0.6 B．﹣0.69 C．﹣0.7 D．﹣0.71
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，即可得出结论．
【解答】解：x=﹣1，f（﹣1）=﹣1＜0，c＞d，x=﹣1+1=0，
第二次循环，x=0，f（0）=1＞0，x=0﹣1=﹣1，c=0.1=d，x=﹣0.9
第3次循环，x=﹣0.9，f（﹣0.9）＜0，x=﹣0.8，
第3次循环，x=﹣0.8，f（﹣0.8）＜0，x=﹣0.7，
第4次循环，x=﹣0.7，f（﹣0.7）＜0，x=﹣0.6，
第5次循环，x=﹣0.6，f（﹣0.6）＞0，x=﹣0.7，c=0.01＜d
停止循环，输出﹣0.7，
故选C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
11．已知函数f（x）=|2x﹣2|+b的两个零点分别为x1，x2（x1＞x2），则下列结论正确的是（ ）
A．1＜x1＜2，x1+x2＜2 B．1＜x1＜2，x1+x2＜1
C．x1＞1，x1+x2＜2 D．x1＞1，x1+x2＜1
【考点】函数零点的判定定理．
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【分析】函数f（x）=|2x﹣2|+b的有两个零点，即y=|2x﹣2|与y=﹣b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2（x1＞x2），在同一坐标系中画出y=|2x﹣2|与y=﹣b的图象，根据图象可判定．
【解答】解：函数f（x）=|2x﹣2|+b的有两个零点，即y=|2x﹣2|与y=﹣b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2（x1＞x2），
在同一坐标系中画出y=|2x﹣2|与y=﹣b的图象（如下），可知1＜x1＜2，
，，⇒，⇒x1+x2＜2．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的零点与函数的交点间的转化，利用图象的交点情况，确定零点情况是常用的方法，属于中档题．
12．在三棱锥ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥ABCD体积的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】当AD⊥平面BCD时，以CB、CD、CA为棱构造长方体，此时三棱锥ABCD的外接球即该长方体的外接球，其直径为AB，由已知得当a=b=时，AC=2，此时三棱锥ABCD体积为V=．由此排除A，B，C选项．
【解答】解：当AD⊥平面BCD时，以CB、CD、CA为棱构造长方体，
此时三棱锥ABCD的外接球即该长方体的外接球，其直径为AB，
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∵该外接球的表面积为16π，∴AB=4，
设BC=a，CD=b，∵在三棱锥ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，
∴BD=，
设Rt△BCD斜边上的高为CE，则CE=1，
由，得BD==ab，
∵a＞0，b＞0，∴ =ab≥，即ab≥2，
当且仅当a=b=时，取等号，
∴当a=b=时， =2，解得AC=2，
此时三棱锥ABCD体积为V===．
由此排除A，B，C选项，
故选：D．
【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设向量=（1，x），=（x，1），若•=﹣||•||，则x= ﹣1 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】可先求出，，然后代入
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即可得到关于x的方程，解出x即可．
【解答】解：，；
∴由得：2x=﹣（x2+1）；
解得x=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】考查向量坐标的数量积运算，根据向量坐标求向量长度的方法．
14．若曲线f（x）=在点（a，f（a））处的切线与两坐标轴围成的图形的面积为，则a的值为 1 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求导数可得切线的斜率，由点斜式方程进而可得切线的方程，可得其截距，运用三角形的面积公式可得a的方程，解方程可得．
【解答】解：对y=求导数可得y′=，
∴曲线在P（a，）处的切线斜率为k=，
∴切线方程为：y﹣=（x﹣a），
令x=0，可得y=，即直线的纵截距为，
令y=0，可得x=﹣a，即直线的横截距为﹣a，
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：
S=||•|﹣a|=，解得a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查三角形的面积公式，考查运算能力，属基础题．
15．设等差数列{an}的公差d＜0，前n项和为Sn，已知3是﹣a2与a9的等比中项，S10=20，则d= ﹣2 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】
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由等差数列通项公式、等比中项定义、等差数列前n项和公式，列出方程组，由此能求出公差d．
【解答】解：∵等差数列{an}的公差d＜0，前n项和为Sn，3是﹣a2与a9的等比中项，S10=20，
∴，
解得a1=11，d=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．
16．已知双曲线C的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），若C的右支上存在两点A、B，使∠AOB=120°，其中O为坐标原点，则曲线C的离心率的取值范围是 （2，+∞） ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得＞tan60°=，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求范围．
【解答】解：由C的右支上存在两点A、B，使∠AOB=120°，
而渐近线方程为y=±x，
可得＞tan60°=，
即为b＞a，即为b2＞3a2，
即c2﹣a2＞3a2，
即有c2＞4a2，
即c＞2a，
e=＞2，
故答案为：（2，+∞）．
【点评】
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本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
三、解答题
17．（12分）（2017•赣州一模）设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3a=5csinA，cosB=﹣．
（1）求sinA的值；
（2）设△ABC的面积为，求b．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）cosB=﹣，B为钝角，可得sinB=．由3a=5csinA，由正弦定理可得：3sinA=5sinCsinA，sinA≠0，可得sinC=，cosC=．可得sinA=sin（B+C）．
（2）利用正弦定理可得△ABC的面积为==×××sinB．
【解答】解：（1）∵cosB=﹣，∴B为钝角，sinB==．
∵3a=5csinA，由正弦定理可得：3sinA=5sinCsinA，sinA≠0，
可得sinC=，cosC==．
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣=．
（2），可得a=，c=．
△ABC的面积为==×××sinB=×，
解得b=10．
【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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18．（12分）（2017•赣州一模）某学校对男女学生进行有关“习惯与礼仪”的调查，分别随机抽查了18名学生进行评分（百分制：得分越高，习惯与礼仪越好），评分记录如下：
男生：44，46，46，52，54，55，56，57，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94．
女生：51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，78，77，77，83，83，89，100
（1）请用茎叶图表示上面的数据，并通过茎叶图比较男女生“习惯与礼仪”评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体的值，给出结论即可）．
（2）记评分在60分以下的等级为较差，评分在60分以上的等级为较好，请完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“习惯与礼仪”与性别有关？并说明理由．
等级
性别
较差
较好
合计
男生
女生
合计
附：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
K2=
k
3.841
6.635
10.828
【考点】独立性检验的应用；茎叶图．
【分析】（1）填写茎叶图，通过茎叶图中的数据知，
男生“习惯与礼仪”评分的平均值小于女生“习惯与礼仪”评分的平均值，
且男生“习惯与礼仪”评分分散程度较大些；
（2）填写2×2列联表，计算观测值K2，比较得出结论．
【解答】解：（1）以十位数字为茎，个位数字为叶，画出茎叶图，如图所示；
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通过茎叶图知，男生“习惯与礼仪”评分分布在44～94之间，且集中在46～66之间；
女生“习惯与礼仪”评分分布在51～100之间，且集中在51～83之间；
所以，男生“习惯与礼仪”评分的平均值小于女生“习惯与礼仪”评分的平均值，
且男生“习惯与礼仪”评分分散程度较大些；
（2）填写2×2列联表，
等级
性别
较差
较好
合计
男生
10
8
18
女生
4
14
18
合计
14
22
36
计算观测值K2==≈4.053＞3.841，
所以有95%的把握认为“习惯与礼仪”与性别有关．
【点评】本题考查了茎叶图与独立性检验的应用问题，也考查了分析问题与计算能力，是基础题．
19．（12分）（2017•赣州一模）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A1B⊥AC1．
（1）求证：平面A1BC⊥平面ABC1；
（2）若∠A1AC=60°，CA=2，求三棱锥A1﹣B1BC的体积．
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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出AC⊥BC，从而BC⊥侧面ACC1A，进而BC⊥AC1，再由A1B⊥AC1，得到AC1⊥平面A1BC，由此能证明平面A1BC⊥平面ABC1．
（2）三棱锥A1﹣B1BC的体积=，由此能求出结果．
【解答】证明：（1）∵侧面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，
∴AC⊥BC，∵侧面ACC1A1∩底面ABC=AC，
∴BC⊥侧面ACC1A，∵AC1⊂侧面ACC1A1，∴BC⊥AC1，
∵A1B⊥AC1，BC∩A1B=B，∴AC1⊥平面A1BC，
∵AC1⊂ABC1，∴平面A1BC⊥平面ABC1．
解：（2）∵BC∥B1C1，AC1⊥平面A1BC，
∴B1到平面A1BC的距离d=AC1，
∵底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB=2，∠A1AC=60°，AC1⊥平面A1BC，
∴四边形ACC1A1是边长为2的菱形，∴d===，A1C=2，
∴===2，
∴三棱锥A1﹣B1BC的体积====．
【点评】
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本题考查面面垂直的证明，考查柱、锥、台体的体积，考查推理论证能力，考查空间想象能力与计算能力，考查等价转化思想及数形结合思想，是中档题．
20．（12分）（2017•赣州一模）离心率为的椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合．
（1）求E的方程；
（2）矩形ABCD的两顶点C、D在直线y=x+2，A、B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由题意求得圆心坐标，求得c，利用离心率求得a，则b2=a2﹣c2，即可求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，由两平行之间的距离公式，由矩形的周长公式2（丨AB丨+d）=，代入即可求得m的值，求得直线AB的方程．
【解答】解：（1）∵离心率为的椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合，
圆x2+y2﹣2x=0的圆心为（1，0），
∴，解得a=，b=c=1，
∴椭圆E的方程为．
（2）由题意设直线l的方程：y=x+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），
则，整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0，
由△=16m2﹣4×3（2m2﹣2）=﹣2m2+3＞0，解得﹣＜m＜，
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由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=，
则丨AB丨=•=•=，
直线AB，CD之间的距离d==，
由矩形ABCD的周长为，则2（丨AB丨+d）=，
则2（+）=，解得：m=1，
则直线AB的方程为y=x+1．
【点评】本题考查椭圆方程标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及弦长公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想，难度大，对数学思维能力要求较高，属于中档题．
21．（12分）（2017•赣州一模）设函数f（x）=（x+2）ex．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x≥0时，恒有≥1，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可．
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【解答】解：（1）f′（x）=（x+3）ex，
令f′（x）＞0，解得：x＞﹣3，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣3，
故函数f（x）在（﹣∞，﹣3）递减，在（﹣3，+∞）递增；
（2）a＜0时，若x＞﹣，则ex＜0，不成立，
当a≥0时，记g（x）=（x+1）ex﹣ax﹣1，则ex≥1当且仅当g（x）≥0，
g′（x）=（x+2）ex﹣a，
当x≥0时，（x+2）ex≥2，当0≤a≤2时，g′（x）≥0，
故g（x）在[0，+∞）递增，故g（x）≥g（0）=0，
a＞2时，由（1）知g′（x）在[0，+∞）递增，且g′（0）=2﹣a＜0，
g′（a﹣2）=a（ea﹣2﹣1）＞0，于是，g′（x）=0在[0，+∞）上有且只有1个实根，
不妨设该实根为x0，当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，从而g（x）在（0，x0）递减，
故x∈（0，x0）时，g（x）＜g（0）=0，不合题意，
综上，实数a的范围是[0，2]．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2017•赣州一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l：（t为参数，0≤α＜π）．
（1）求曲线C的参数方程；
（2）若直线l与曲线C相切，求直线l的倾斜角及切点坐标．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）由曲线C的极坐标方程，求出曲线C的直角坐标方程，得到曲线C是以C（2，0）为圆心，以r=为半径的圆，由此能求出曲线C的参数方程．
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（2）直线l消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：cosαx﹣sinαy﹣4cosα=0．由直线l与曲线C相切，知圆心C（2，0）到直线l的距离d等于圆半径r，由此能求出结果．
【解答】解：（1）∵曲线C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3，
∴曲线C是以C（2，0）为圆心，以r=为半径的圆，
∴曲线C的参数方程为．
（2）∵直线l：（t为参数，0≤α＜π）．
∴消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：cosαx﹣sinαy﹣4cosα=0．
∵直线l与曲线C相切，∴圆心C（2，0）到直线l的距离d等于圆半径r，
即d==2cosα=，∴cos，
∵0≤α＜π，∴直线l的倾斜角α=，
∴直线l的方程为x﹣y﹣4=0，
联立，得x=，y=﹣，
∴切点坐标为（，﹣）．
【点评】本题考查曲线的参数方程的求法，考查直线的倾斜角和切点坐标的求法，考查两点间距离公式的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2017•赣州一模）已知函数f（x）=|x|﹣|x﹣1|．
（1）若关于x的不等式f（x）≥|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值集合M．
（2）记（1）中数集M中的最大值为k，正实数a，b满足a2+b2=k，证明：a+b≥2ab．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
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【分析】（1）求出函数的解析式，然后求解函数的最大值，通过|m﹣1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．
（2）利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．
【解答】解：（1）由已知可得f（x）=，
所以fmax（x）=1，…（3分）
所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，
所以实数m的最大值M=2…
（2）因为a＞0，b＞0，
所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2，
即证a2+b2+2ab≥4a2b2，
所以只要证2+2ab≥4a2b2，…（7分）
即证2（ab）2﹣ab﹣1≤0，
即证（2ab+1）（ab﹣1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，
下证ab≤1，
因为2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，
所以a+b≥2ab…（10分）
【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．
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