江西省2016届高三第二次联考数学试卷（文科）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 www.ks5u.com ‎2015-2016学年江西省红色七校高三（下）第二次联考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（∁RA）∩B=（　　）‎ A．{x|x＞2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜0}‎ ‎2．已知复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（　　）‎ A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i ‎3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，3a1， a3，2a2成等差数列，则=（　　）‎ A．27 B．3 C．﹣1或3 D．1或27‎ ‎4．已知平面向量=（0，﹣1），=（2，2），|λ+|=2，则λ的值为（　　）‎ A．1+ B．﹣1 C．2 D．1‎ ‎5．已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且=0.5x+a，则a=（　　）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ A．3.5 B．2.2 C．4.8 D．3.2‎ ‎6．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x（0，），tanx＞sinx下列是真命题的是（　　）‎ A．（￢p）∧q B．（￢p）∨（￢q） C．p∧（￢q） D．p∨（￢q）‎ ‎7．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．2016 B．2 C． D．﹣1‎ ‎8．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（　　）‎ A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称 C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称 ‎10．已知变量x，y满足以下条件：x，y∈R，，z=ax+y，若z的最大值为3，则实数a的值为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．2或5 B．﹣4或2 C．2 D．5‎ ‎11．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式f（x）＞+2（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）‎ A．（1，+∞） B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，1）‎ ‎12．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎13．点P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1内部的点，则y≥x的概率　　．‎ ‎14．设数列{an}满足a2+a4=10，点Pn（n，an）对任意的n∈N+，都有向量=（1，2），则数列{an}的前n项和Sn=　　．‎ ‎15．在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为　　cm．‎ ‎16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程的不同实根个数为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）（x∈R）在处取得最小值．‎ ‎（1）求角A的大小．‎ ‎（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎18．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．‎ ‎（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；‎ ‎（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？‎ ‎19．如图在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且2AB=2AD=CD=4，现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直．‎ ‎（1）求证：BC⊥平面BDE；‎ ‎（2）若点D到平面BEC的距离为，求三棱锥F﹣BDE的体积．‎ ‎20．如图，椭圆的离心率为，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点P（2，1）为椭圆外一点，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分 ‎（1）求椭圆C的标准方程 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）求△ABP面积最大值时的直线l的方程．‎ ‎21．已知函数 ‎（1）当时，讨论f（x）的单调性 ‎（2）设g（x）=x2﹣2bx+4．当时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．‎ ‎　‎ 选做题：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．‎ ‎（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；‎ ‎（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点 P坐标为，圆C与直线l交于 A，B两点，求|PA|+|PB|的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求+的最大值．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2015-2016学年江西省红色七校高三（下）第二次联考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（∁RA）∩B=（　　）‎ A．{x|x＞2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜0}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】由全集U=R，集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，求出∁RA={x|x＜0，或x＞2}，再由B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，能求出（∁RA）∩B．‎ ‎【解答】解：∵全集U=R，‎ 集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，‎ ‎∴∁RA={x|x＜0，或x＞2}，‎ ‎∵B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，‎ ‎∴（∁RA）∩B={x|x＞2}．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（　　）‎ A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：∵复数z====﹣i，‎ 则z的共轭复数i．‎ 故选：A．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，3a1， a3，2a2成等差数列，则=（　　）‎ A．27 B．3 C．﹣1或3 D．1或27‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】由题意可得公比q的方程，解得方程可得q，可得=q3，代值计算可得．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，‎ 由题意可得a3=3a1+2a2，‎ ‎∴a1q2=3a1+2a1q，即q2=3+2q 解得q=3，或q=﹣1（舍去），‎ ‎∴==q3=27‎ 故选：A ‎　‎ ‎4．已知平面向量=（0，﹣1），=（2，2），|λ+|=2，则λ的值为（　　）‎ A．1+ B．﹣1 C．2 D．1‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】求出的坐标，代入模长公式列出方程解出λ．‎ ‎【解答】解： =（2，2﹣λ），‎ ‎∵||=2，‎ ‎∴22+（2﹣λ）2=4，解得λ=2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且=0.5x+a，则a=（　　）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．3.5 B．2.2 C．4.8 D．3.2‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】由图表求得=2， =4.5，代入回归直线方程得答案．‎ ‎【解答】解：由图表知， =2， =4.5，‎ 代入=0.5x+a，得.5=0.5×2+a，解得a=3.5．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x（0，），tanx＞sinx下列是真命题的是（　　）‎ A．（￢p）∧q B．（￢p）∨（￢q） C．p∧（￢q） D．p∨（￢q）‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】对于命题p，容易发现x=﹣1时，2x＞3x成立，所以命题p是真命题；对于∀x∈，，所以便可得到tanx＞sinx，所以命题q是真命题，然后根据￢p，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项．‎ ‎【解答】解：x=﹣1时，2x＞3x，∴命题p是真命题；‎ ‎，x；‎ ‎∴0＜cosx＜1，sinx＞0；‎ ‎∴，；‎ 即tanx＞sinx，∴命题q是真命题；‎ ‎∴￢p是假命题，（￢p）∧q是假命题，￢q是假命题，（￢p）∨（￢q）是假命题，p∧（￢q）是假命题，p∨（￢q）为真命题．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．2016 B．2 C． D．﹣1‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2016时，不满足条件k＜2016，退出循环，输出S的值为2．‎ ‎【解答】解：执行程序框图，可得 S=2，k=0‎ 满足条件k＜2016，S=﹣1，k=1‎ 满足条件k＜2016，S=，k=2‎ 满足条件k＜2016，S=2，k=3‎ 满足条件k＜2016，S=﹣1，k=4‎ ‎…‎ 观察可知S的取值周期为3，由2016=672×3‎ 满足条件k＜2016，S=，k=2015‎ 满足条件k＜2016，S=2，k=2016‎ 不满足条件k＜2016，退出循环，输出S的值为2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可 ‎【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2‎ 由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形 由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3‎ 此棱锥的体积为=2‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（　　）‎ A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称 C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，‎ ‎∴T==π，解得ω=2，‎ 即f（x）=sin（2x+φ），‎ 将其图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣），‎ 若此时函数关于原点对称，‎ 则φ﹣=kπ，即φ=+kπ，k∈Z，‎ ‎∵|φ|＜，‎ ‎∴当k=﹣1时，φ=．‎ 即f（x）=sin（2x）．‎ 由2x=，‎ 解得x=+，k∈Z，‎ 故当k=0时，函数的对称轴为x=，‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．已知变量x，y满足以下条件：x，y∈R，，z=ax+y，若z的最大值为3，则实数a的值为（　　）‎ A．2或5 B．﹣4或2 C．2 D．5‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出满足条件的平面区域，分别将角点的坐标代入求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 由，解得A（﹣1，﹣1），‎ 由，解得B（2，﹣1），‎ z=ax+y，若z的最大值为3，‎ 即ax+y=3，将A（﹣1，﹣1）代入得：‎ ‎﹣a﹣1=3，解得：a=﹣4，‎ 将B（2，﹣1）代入得：‎ ‎2a﹣1=3，解得：a=﹣2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式f（x）＞+2（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）‎ A．（1，+∞） B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，1）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】构造辅助函数，求导，由函数的单调性与导数的关系，求得函数的单调性，则原不等式转化成F（x）＞F（1），利用函数的单调性即可求得不等式的解集．‎ ‎【解答】解：设F（x）=exf（x）﹣2ex，（x∈R），‎ 求导F′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣2ex=ex[f（x）+f′（x）﹣2]，‎ ‎∵f（x）+f′（x）＞2，‎ ‎∴f（x）+f′（x）﹣2＞0，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴F′（x）＞0，‎ ‎∴y=F（x）在定义域上单调递增，‎ ‎∵exf（x）＞2ex+4，即F（x）＞4，‎ 又∵F（1）=ef（1）﹣2e=4，‎ ‎∴F（x）＞F（1），‎ ‎∴x＞1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，‎ ‎△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，‎ 此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；‎ ‎②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，‎ 以F2P作为等腰三角形的底边为例，‎ ‎∵F1F2=F1P，‎ ‎∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上 因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，‎ 存在2个满足条件的等腰△F1F2P，‎ 在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，‎ 由此得知3c＞a．所以离心率e＞．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠‎ 同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P 这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形 综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎13．点P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1内部的点，则y≥x的概率　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】求出圆x2+（y﹣1）2=1的面积为π，满足y≥x在圆内部分的面积为π+，即可得出概率．‎ ‎【解答】解：圆x2+（y﹣1）2=1的面积为π，‎ 满足y≥x在圆内部分的面积为π+，‎ ‎∴所求概率为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．设数列{an}满足a2+a4=10，点Pn（n，an）对任意的n∈N+，都有向量=（1，2），则数列{an}的前n项和Sn=　n2　．‎ ‎【考点】数列与向量的综合．‎ ‎【分析】由已知得an}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，代入a2+a4‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=10，中，得a1=1，由此能求出{an}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：∵Pn（n，an），∴Pn+1（n+1，an+1），‎ ‎∴=（1，an+1﹣an）=（1，2），‎ ‎∴an+1﹣an=2，‎ ‎∴{an}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，a4=a1+6代入a2+a4=10中，‎ 解得a1=1，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，‎ ‎∴Sn==n2．‎ 故答案为：n2．‎ ‎　‎ ‎15．在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为　6　cm．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】设A、B、C三点所在圆的半径为r，圆心为O，从而可解得r=8；从而求答案．‎ ‎【解答】解：设A、B、C三点所在圆的半径为r，圆心为O，‎ 则∵∠ACB=60°，‎ ‎∴∠AOB=120°；‎ 则在等腰三角形ABO中，‎ AO==8；‎ 即r=8；‎ 故球心O到平面ABC的距离为 ‎=6（cm）；‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程的不同实根个数为　3　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，‎ ‎∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=4a2﹣12b＞0．解得x1=﹣﹣，x2=﹣+，‎ 而方程，即方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，‎ ‎∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．‎ 不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．‎ ‎①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，‎ ‎∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．‎ ‎②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．‎ 综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．‎ 故答案为3．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）（x∈R）在处取得最小值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）求角A的大小．‎ ‎（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x﹣A），由已知及正弦函数的性质可得2×﹣A=2kπ+，结合A的范围即可得解A的值．‎ ‎（2）由已知及正弦定理得，解得b+c=13，由余弦定理可得bc=40，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（1）∵f（x）=2cosxsin（x﹣A）=2cosx（sinxcosA﹣cosxsinA）+sinA=2sinxcosxcosA﹣2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A），‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵A∈（0，π），‎ ‎∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）由正弦定理，得．…‎ 即=×，‎ 可得：b+c=13，‎ 由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，可得：49=169﹣3bc，‎ 可得：bc=40，‎ ‎∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎18．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．‎ ‎（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；‎ ‎（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？‎ ‎【考点】茎叶图；分层抽样方法；频率分布表．‎ ‎【分析】（1）根据频率分步直方图的性质，根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率，根据各小组的频率之和为1求出第四组的频率，进一步补全频率分布直方图．‎ ‎（2）第一、二两组的频率和为0.4，第三组的频率为0.3，所以中位数落在第三组，由此能求出笔试成绩的中位数．‎ ‎（3）根据概率公式计算，事件“5位同学中抽两位同学”有10种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件“至少有一人是“优秀””可能种数是9，那么即可求得事件M的概率．‎ ‎【解答】解：（1）其它组的频率为 ‎（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，‎ 所以第4组的频率为0.2，‎ 频率分布图如图：…‎ ‎（2）设样本的中位数为x，则5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06=0.5，…‎ 解得，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以样本中位数的估计值为…‎ ‎（3）依题意良好的人数为40×0.4=16人，优秀的人数为40×0.6=24人 优秀与良好的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人 …‎ 记“从这5人中选2人至少有1人是优秀”为事件M，‎ 将考试成绩优秀的三名学生记为A，B，C，考试成绩良好的两名学生记为a，b ‎ 从这5人中任选2人的所有基本事件包括：‎ AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个基本事件 …‎ 事件M含的情况是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9个…‎ 所以…‎ ‎　‎ ‎19．如图在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且2AB=2AD=CD=4，现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直．‎ ‎（1）求证：BC⊥平面BDE；‎ ‎（2）若点D到平面BEC的距离为，求三棱锥F﹣BDE的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）由已知利用面面垂直的性质可得ED⊥BC，求解直角三角形可得BC⊥BD，再由线面垂直的判断得答案；‎ ‎（2）设DE=x，利用VD﹣BEC=VE﹣BDC求得x值，再利用VF﹣BDE=VB﹣EFD求得三棱锥F﹣BDE的体积．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】（1）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD． ‎ 又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴ED⊥平面ABCD，得ED⊥BC．‎ 在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BD=2． ‎ 在△BCD中，BC=BD=2，CD=4，∴BD2+BC2=CD2．‎ ‎∴BC⊥BD，又DE∩BD=D，‎ ‎∴BC⊥平面BDE；‎ ‎（2）解：∵BC⊥平面BDE，∴BC⊥BE，则，‎ 设DE=x，则×=VE﹣BDC，‎ 又，‎ 联立解得x=．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．如图，椭圆的离心率为，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点P（2，1）为椭圆外一点，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分 ‎（1）求椭圆C的标准方程 ‎（2）求△ABP面积最大值时的直线l的方程．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由椭圆的几何性质可知e==，a+c=3，b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；‎ ‎（2）由A和B在椭圆上，将A和B点坐标代入椭圆方程，利用点差法求得直线AB的斜率kAB，设直线AB的方程，y=，代入椭圆方程，根据韦达定理求得xA+xB，xA•xB，由弦长公式，点到直线的距离公式及三角形面积公式求得△ABP的面积S△ABP，m=1﹣时，S△ABP取最大值，即可求得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：e==，‎ 左焦点（﹣c，0）到椭圆上点的最远距离为3，‎ 即使a+c=3，可解得：a=2，c=1，‎ b2=a2﹣c2=3，‎ ‎∴所求椭圆C的方程为：；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）易得直线OP的方程：y=x，‎ 设A（xA，yA），B（xB，yB），R（x0，y0）‎ 其中y0=x0，‎ ‎∵A，B在椭圆上，‎ ‎∴，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴kAB==﹣=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 设直线AB的方程为l：y=（m≠0），‎ 代入椭圆：，整理得：3x2﹣3mx+m2﹣3=0，‎ 根据韦达定理可知：xA+xB=m，xA•xB=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴|AB|=，‎ ‎∵点P（2，1）到直线l的距离为：d=丨丨=丨丨，‎ ‎∴S△ABP=•d•|AB|=•|m﹣4|•，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当m=1﹣时，S△ABP取最大值，‎ 此时直线l的方程y=﹣+1﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎21．已知函数 ‎（1）当时，讨论f（x）的单调性 ‎（2）设g（x）=x2﹣2bx+4．当时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）问题等价于g（x）在[1，2]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值，根据函数的单调性分别求出函数g（x）的最小值和f（x）的最小值，得到关于b的不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）因为 所以 令f′（x）=0，解得：x=1或﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当0＜a＜时，，x∈（0，1）时，此时f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；‎ 时，此时f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；‎ 时，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）因为，由（I）知，，‎ 当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；‎ 当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，‎ 所以f（x）在（0，2）上的最小值为 由于“对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，‎ 使f（x1）≥g（x2）等价于g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值”（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 又g（x）=（x﹣b）2+4﹣b2，x∈[1，2]，‎ 所以①当b＜1时，因为[g（x）]min=g（1）=5﹣2b＞0此时与（*）矛盾，‎ ‎②当1≤b≤2时，因为同样与（*）矛盾，‎ ‎③当b＞2时，因为[g（x）]min=g（2）=8﹣4b，‎ 且当b＞2时，8﹣4b＜0，解不等式，可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 选做题：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．‎ ‎（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；‎ ‎（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；‎ ‎（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，‎ 则∠BED+∠EDB=90°，‎ ‎∵BC⊥DE，‎ ‎∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，‎ ‎∵AB切⊙O于点B，‎ ‎∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，‎ 则=3，‎ ‎∵BC=，‎ ‎∴AB=3，AC=，‎ 则AD=3，‎ 由切割线定理得AB2=AD•AE，‎ 即AE=，‎ 故DE=AE﹣AD=3，‎ 即可⊙O的直径为3．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点 P坐标为，圆C与直线l交于 A，B两点，求|PA|+|PB|的值．‎ ‎【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t即可得到l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分 又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分 ‎（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，‎ 得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0‎ 设t1，t2是上述方程的两实数根，‎ 所以t1+t2=3‎ 又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎24．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求+的最大值．‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；‎ ‎（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，‎ 又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，‎ ‎∴，解方程组可得；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+‎ ‎=+≤‎ ‎=2=4，‎ 当且仅当=即t=1时取等号，‎ ‎∴所求最大值为4‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年4月5日 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费