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2017年海南省临高中考数学模拟试卷(3月份)
一、选择题(共14小题,每小题3分,满分42分)
1.下列说法正确的是( )
A.有理数的绝对值一定是正数
B.如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等
C.如果一个数是负数,那么这个数的绝对值是它的相反数
D.绝对值越大,这个数就越大
2.下列方程的变形中,正确的是( )
A.方程 3x﹣2=2x+1,移项,得 3x﹣2x=﹣1+2
B.方程 3﹣x=2﹣5(x﹣1),去括号,得 3﹣x=2﹣5x﹣1
C.方程x=,未知数系数化为 1,得 x=1
D.方程﹣=1 化成 5(x﹣1)﹣2x=10
3.有3块积木,每一块的各面都涂上不同的颜色,3块的涂法完全相同,现把它们摆放成不同的位置(如图),请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是( )
A.白 B.红 C.黄 D.黑
4.某商场一天中售出李宁牌运动鞋11双,其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示,
鞋的尺码(单位:厘米)
23.5
24
24.5
25
26
销售量(单位:双)
1
2
2
5
1
则这11双鞋的尺码组成一组数据中众数和中位数分别为( )
A.25,25 B.24.5,25 C.26,25 D.25,24.5
5.计算2x3÷x2的结果是( )
A.x B.2x C.2x5 D.2x6
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6.2016年2月19日,经国务院批准,设立无锡市新吴区,将无锡市原新区的鸿山、旺庄、硕放、梅村、新安街道划和滨湖区的江溪街道归新吴区管辖.新吴区现有总人口322819人,这个数据用科学记数法(精确到千位)可表示为( )
A.323×103 B.3.22×105 C.3.23×105 D.0.323×106
7.下列说法:①若a≠0,m,n是任意整数,则am.an=am+n;②若a是有理数,m,n是整数,且mn>0,则(am)n=amn;③若a≠b且ab≠0,则(a+b)0=1;④若a是自然数,则a﹣3.a2=a﹣1.其中,正确的是( )
A.① B.①② C.②③④ D.①②③④
8.下列说法:
①任何数都有算术平方根;
②一个数的算术平方根一定是正数;
③a2的算术平方根是a;
④(π﹣4)2的算术平方根是π﹣4;
⑤算术平方根不可能是负数,
其中,不正确的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9.若反比例函数y=的图象经过点(2,﹣6),则k的值为( )
A.﹣12 B.12 C.﹣3 D.3
10.下列图标,既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
11.下列命题中,正确的个数是( )
①13个人中至少有2人的生日是同一个月是必然事件②为了解我班学生的数学成绩,从中抽取10名学生的数学成绩是总体的一个样本③一名篮球运动员投篮命中概率为0.7,他投篮10次,一定会命中7次④小颖在装有10个黑、白球的袋中,多次进行摸球试验,发现摸到黑球的频率在0.6附近波动,据此估计黑球约有6个.
A.1 B.2 C.3 D.4
12.已知⊙O的半径是4,OP=3,则点P与⊙O的位置关系是( )
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A.点P在圆内 B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.不能确定
13.将一副三角板如图放置,使点D落在AB上,如果EC∥AB,那么∠DFC的度数为( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
14.如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E,若AB=8,AD=3,则图中阴影部分的周长为( )
A.11 B.16 C.19 D.22
二、填空题(共4小题,每小题3分,满分12分)
15.把多项式2x2y﹣4xy2+2y3分解因式的结果是 .
16.某工程生产一种产品,第一季度共生产了364个,其中1月份生产了100个,若2、3月份的平均月增长率为x,则可列方程为 .
17.一个圆弧形门拱的拱高为1米,跨度为4米,那么这个门拱的半径为 米.
18.在菱形ABCD中,AE为BC边上的高,若AB=5,AE=4,则线段CE的长为 .
三、解答题(共6小题,满分0分)
19.计算题:
(1)(﹣1)4﹣{﹣[()2+0.4×(﹣1)]÷(﹣2)2}
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(2)解不等式组.
20.整理一批图书,如果由一个人单独做要花60小时.现先由一部分人用一小时整理,随后增加15人和他们一起又做了两小时,恰好完成整理工作.假设每个人的工作效率相同,那么先安排整理的人员有多少人?
21.目前我市“校园手机”现象越来越受到社会关注,针对这种现象,重庆一中初三(1)班数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度(态度分为:A.无所谓;B.基本赞成;C.赞成;D.反对),并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2(不完整).请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了多少名中学生家长;
(2)求出图2中扇形C所对的圆心角的度数,并将图1补充完整;
(3)根据抽样调查结果,请你估计我校11000名中学生家长中有多少名家长持反对态度;
(4)在此次调查活动中,初三(1)班和初三(2)班各有2位家长对中学生带手机持反对态度,现从中选2位家长参加学校组织的家校活动,用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率.
22.某中学广场上有旗杆如图1所示,在学习解直角三角形以后,数学兴趣小组测量了旗杆的高度.如图2,某一时刻,旗杆AB的影子一部分落在平台上,另一部分落在斜坡上,测得落在平台上的影长BC为4米,落在斜坡上的影长CD为3米,AB⊥BC,同一时刻,光线与水平面的夹角为72°,1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米,求旗杆的高度(结果精确到0.1米).(参考数据:sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)
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23.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,▱ABCD的顶点A的坐标为(﹣2,0),点D的坐标为(0,2),点B在x轴的正半轴上,点E为线段AD的中点.
(Ⅰ)如图1,求∠DAO的大小及线段DE的长;
(Ⅱ)过点E的直线l与x轴交于点F,与射线DC交于点G.连接OE,△OEF′是△OEF关于直线OE对称的图形,记直线EF′与射线DC的交点为H,△EHC的面积为3.
①如图2,当点G在点H的左侧时,求GH,DG的长;
②当点G在点H的右侧时,求点F的坐标(直接写出结果即可).
24.如图1,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C.若tan∠ABC=3,一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2.
(1)求二次函数的解析式;
(2)直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止,l与线段BC交于点D,P是AD的中点.
①求点P的运动路程;
②如图2,过点D作DE垂直x轴于点E,作DF⊥AC所在直线于点F,连结PE、PF,在l运动过程中,∠EPF的大小是否改变?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,连结EF,求△PEF周长的最小值.
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2017年海南省临高中考数学模拟试卷(3月份)
参考答案与试题解析
一、选择题(共14小题,每小题3分,满分42分)
1.下列说法正确的是( )
A.有理数的绝对值一定是正数
B.如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等
C.如果一个数是负数,那么这个数的绝对值是它的相反数
D.绝对值越大,这个数就越大
【考点】绝对值.
【分析】根据0的绝对值为0对A进行判断;根据绝对值和相反数的定义对B、C进行判断;根据正数的绝对值越大,这个数越大;负数的绝对值越大,这个数越小对D进行判断.
【解答】解:A、0的绝对值为0,所以A选项错误;
B、如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等或互为相反数,所以B选项错误;
C、如果一个数是负数,那么这个数的绝对值是它的相反数,所以C选项正确;
D、正数的绝对值越大,这个数越大;负数的绝对值越大,这个数越小,所以D选项错误.
故选C.
2.下列方程的变形中,正确的是( )
A.方程 3x﹣2=2x+1,移项,得 3x﹣2x=﹣1+2
B.方程 3﹣x=2﹣5(x﹣1),去括号,得 3﹣x=2﹣5x﹣1
C.方程x=,未知数系数化为 1,得 x=1
D.方程﹣=1 化成 5(x﹣1)﹣2x=10
【考点】解一元一次方程.
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【分析】各方程移项,去括号,未知数系数化为1,去分母分别得到结果,即可作出判断.
【解答】解:A、方程3x﹣2=2x+1,移项得:3x﹣2=1+2,不符合题意;
B、方程3﹣x=2﹣5(x﹣1),去括号得:3﹣x=2﹣5x+5,不符合题意;
C、方程x=,未知数系数化为1,得:x=,不符合题意;
D、方程﹣=1化为5(x﹣1)﹣2x=10,符合题意,
故选D
3.有3块积木,每一块的各面都涂上不同的颜色,3块的涂法完全相同,现把它们摆放成不同的位置(如图),请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是( )
A.白 B.红 C.黄 D.黑
【考点】专题:正方体相对两个面上的文字.
【分析】根据图形可得涂有绿色一面的邻边是白,黑,红,蓝,即可得到结论.
【解答】解:∵涂有绿色一面的邻边是白,黑,红,蓝,
∴涂成绿色一面的对面的颜色是黄色,
故选C.
4.某商场一天中售出李宁牌运动鞋11双,其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示,
鞋的尺码(单位:厘米)
23.5
24
24.5
25
26
销售量(单位:双)
1
2
2
5
1
则这11双鞋的尺码组成一组数据中众数和中位数分别为( )
A.25,25 B.24.5,25 C.26,25 D.25,24.5
【考点】众数;中位数.
【分析】
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找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.
【解答】解:从小到大排列此数据为:23.5、24、24、24.5、24.5、25、25、25、25、25、26,
数据25出现了五次最多为众数.
25处在第6位为中位数.所以中位数是25,众数是25.
故选A.
5.计算2x3÷x2的结果是( )
A.x B.2x C.2x5 D.2x6
【考点】整式的除法;同底数幂的除法.
【分析】根据单项式除单项式的法则,同底数幂相除,底数不变指数相减的性质,对各选项计算后选取答案.
【解答】解:2x3÷x2=2x.
故选B.
6.2016年2月19日,经国务院批准,设立无锡市新吴区,将无锡市原新区的鸿山、旺庄、硕放、梅村、新安街道划和滨湖区的江溪街道归新吴区管辖.新吴区现有总人口322819人,这个数据用科学记数法(精确到千位)可表示为( )
A.323×103 B.3.22×105 C.3.23×105 D.0.323×106
【考点】科学记数法与有效数字.
【分析】近似数精确到哪一位,应当看末位数字实际在哪一位.
【解答】解:322819=3.22819×105≈3.23×105,精确到了千位,
故选C.
7.下列说法:①若a≠0,m,n是任意整数,则am.an=am+n;②若a是有理数,m,n是整数,且mn>0,则(am)n=amn;③若a≠b且ab≠0,则(a+b)0=1;④若a是自然数,则a﹣3.a2=a﹣1.其中,正确的是( )
A.① B.①② C.②③④ D.①②③④
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【考点】负整数指数幂;零指数幂.
【分析】①、④根据同底数幂作答;②由幂的乘方计算法则解答;③由零指数幂的定义作答.
【解答】解:①am.an=am+n,同底数幂的乘法:底数不变,指数相加;正确;
②若a是有理数,m,n是整数,且mn>0,则(am)n=amn,根据幂的乘方计算法则,正确;
③若a≠b且ab≠0,当a=﹣b即a+b=0时,(a+b)0=1不成立,任何非零有理数的零次幂都等于1,错误;
④∵a是自然数,∴当a=0时,a﹣3.a2=a﹣1不成立,错误.
故选B.
8.下列说法:
①任何数都有算术平方根;
②一个数的算术平方根一定是正数;
③a2的算术平方根是a;
④(π﹣4)2的算术平方根是π﹣4;
⑤算术平方根不可能是负数,
其中,不正确的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【考点】算术平方根.
【分析】①②③④⑤分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断.
【解答】解:根据平方根概念可知:
①负数没有平方根,故此选项错误;
②反例:0的算术平方根是0,故此选项错误;
③当a<0时,a2的算术平方根是﹣a,故此选项错误;
④(π﹣4)2的算术平方根是4﹣π,故此选项错误;
⑤算术平方根不可能是负数,故此选项正确.
所以不正确的有4个.
故选:C.
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9.若反比例函数y=的图象经过点(2,﹣6),则k的值为( )
A.﹣12 B.12 C.﹣3 D.3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可.
【解答】解:∵反比例函数y=的图象经过点(2,﹣6),
∴k的值为:2×(﹣6)=﹣12.
故选:A.
10.下列图标,既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】中心对称图形;轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、可以看作是中心对称图形,不可以看作是轴对称图形,故本选项错误;
B、既可以看作是中心对称图形,又可以看作是轴对称图形,故本选项正确;
C、既不可以看作是中心对称图形,又不可以看作是轴对称图形,故本选项错误;
D、既不可以看作是中心对称图形,又不可以看作是轴对称图形,故本选项错误.
故选B.
11.下列命题中,正确的个数是( )
①13个人中至少有2人的生日是同一个月是必然事件②为了解我班学生的数学成绩,从中抽取10名学生的数学成绩是总体的一个样本③一名篮球运动员投篮命中概率为0.7,他投篮10次,一定会命中7次④小颖在装有10个黑、白球的袋中,多次进行摸球试验,发现摸到黑球的频率在0.6附近波动,据此估计黑球约有6个.
A.1 B.2 C.3 D.4
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【考点】命题与定理.
【分析】根据必然事件的定义对①进行判断;根据样本的定义对②进行判断;根据概率的意义对③进行判断;根据频率估计概率对④进行判断.
【解答】解:13个人中至少有2人的生日是同一个月是必然事件,所以①正确;
为了解我班学生的数学成绩,从中抽取10名学生的数学成绩是总体的一个样本,所以②正确;
一名篮球运动员投篮命中概率为0.7,他投篮10次,不一定会命中7次,所以③错误;
小颖在装有10个黑、白球的袋中,多次进行摸球试验,发现摸到黑球的频率在0.6附近波动,据此估计黑球约有6个,所以④正确.
故选C.
12.已知⊙O的半径是4,OP=3,则点P与⊙O的位置关系是( )
A.点P在圆内 B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.不能确定
【考点】点与圆的位置关系.
【分析】点在圆上,则d=r;点在圆外,d>r;点在圆内,d<r(d即点到圆心的距离,r即圆的半径).
【解答】解:∵OP=3<4,故点P与⊙O的位置关系是点在圆内.
故选A.
13.将一副三角板如图放置,使点D落在AB上,如果EC∥AB,那么∠DFC的度数为( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
【考点】平行线的性质.
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论.
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【解答】解:∵EC∥AB,
∴∠ADF=∠E=45°,
∴∠DFC=∠A+∠ADF=30°+45°=75°,
故选D.
14.如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E,若AB=8,AD=3,则图中阴影部分的周长为( )
A.11 B.16 C.19 D.22
【考点】矩形的性质;翻折变换(折叠问题).
【分析】首先由四边形ABCD为矩形及折叠的特性,得到B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°,∠B′EC=∠DEA,得到△AED≌△CEB′,得出EA=EC,再由阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC,即矩形的周长解答即可.
【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,
∴B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°
∵∠B′EC=∠DEA,
在△AED和△CEB′中,
,
∴△AED≌△CEB′(AAS);
∴EA=EC,
∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC,
=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C,
=AD+DC+AB′+B′C,
=3+8+8+3,
=22,
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故选D.
二、填空题(共4小题,每小题3分,满分12分)
15.把多项式2x2y﹣4xy2+2y3分解因式的结果是 2y(x﹣y)2 .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.
【解答】解:原式=2y(x2﹣2xy+y2)
=2y(x﹣y)2.
故答案为:2y(x﹣y)2.
16.某工程生产一种产品,第一季度共生产了364个,其中1月份生产了100个,若2、3月份的平均月增长率为x,则可列方程为 100+100(1+x)+100(1+x)2=364 .
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【分析】主要考查增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果设二、三月份的生产平均增长率为x,那么首先可以用x表示二、三月份共生产的机器100(1+x)+100(1+x)2,然后可得出的方程为100+100(1+x)+100(1+x)2=364.
【解答】解:依题意得二、三月份共生产的机器100(1+x)+100(1+x)2,
则方程为100+100(1+x)+100(1+x)2=364.
故答案为:100+100(1+x)+100(1+x)2=364.
17.一个圆弧形门拱的拱高为1米,跨度为4米,那么这个门拱的半径为 米.
【考点】相交弦定理.
【分析】根据题意画出图形,利用勾股定理和相交弦定理解答.
【解答】解:设半径为x,则根据相交弦定理可知:
2×2=1×(2x﹣1),
解得x=.
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18.在菱形ABCD中,AE为BC边上的高,若AB=5,AE=4,则线段CE的长为 2或8 .
【考点】菱形的性质.
【分析】根据点E在BC边上或在CB的延长线上两种情况考虑,根据勾股定理可算出BE的长度,再根据线段间的关系即可得出CE的长.
【解答】解:当点E在CB的延长线上时,如图1所示.
∵AB=5,AE=4,
∴BE=3,CE=BC+BE=8;
当点E在BC边上时,如图2所示.
∵AB=5,AE=4,
∴BE=3,CE=BC﹣BE=2.
综上可知:CE的长是2或8.
故答案为:2或8.
三、解答题(共6小题,满分0分)
19.计算题:
(1)(﹣1)4﹣{﹣[()2+0.4×(﹣1)]÷(﹣2)2}
(2)解不等式组.
【考点】解一元一次不等式组;有理数的混合运算.
【分析】(1)根据实数的混合运算顺序逐步计算即可得;
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(2)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【解答】解:(1)原式=1﹣[﹣(﹣)÷4]
=1﹣(+)
=1﹣﹣
=;
(2)解不等式①得:x>﹣,
解不等式②,得:x≤0,
∴不等式组的解集为﹣<x≤0.
20.整理一批图书,如果由一个人单独做要花60小时.现先由一部分人用一小时整理,随后增加15人和他们一起又做了两小时,恰好完成整理工作.假设每个人的工作效率相同,那么先安排整理的人员有多少人?
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】等量关系为:所求人数1小时的工作量+所有人2小时的工作量=1,把相关数值代入即可求解.
【解答】解:设先安排整理的人员有x人,
依题意得:.
解得:x=10.
答:先安排整理的人员有10人.
21.目前我市“校园手机”现象越来越受到社会关注,针对这种现象,重庆一中初三(1)班数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度(态度分为:A.无所谓;B.基本赞成;C.赞成;D.反对),并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2(不完整).请根据图中提供的信息,解答下列问题:
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(1)此次抽样调查中,共调查了多少名中学生家长;
(2)求出图2中扇形C所对的圆心角的度数,并将图1补充完整;
(3)根据抽样调查结果,请你估计我校11000名中学生家长中有多少名家长持反对态度;
(4)在此次调查活动中,初三(1)班和初三(2)班各有2位家长对中学生带手机持反对态度,现从中选2位家长参加学校组织的家校活动,用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率.
【考点】折线统计图;用样本估计总体;扇形统计图;列表法与树状图法.
【分析】(1)根据B类的人数和所占的百分比即可求出总数;
(2)用360°乘以C所占的百分比,求出C所对的圆心角的度数;用抽查的总人数乘以C所占的百分比,从而补全统计图;
(3)用全校的总人数乘以持反对态度的人数所占的百分比即可;
(4)先设初三(1)班两名家长为A1,A2,初三(2)班两名家长为B1,B2,根据题意画出树形图,再根据概率公式列式计算即可.
【解答】解:(1)共调查的中学生家长数是:40÷20%=200(人);
(2)扇形C所对的圆心角的度数是:
360°×(1﹣20%﹣15%﹣60%)=18°;
C类的人数是:200×(1﹣20%﹣15%﹣60%)=10(人),
补图如下:
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(3)根据题意得:
11000×60%=6600(人),
答:我校11000名中学生家长中有6600名家长持反对态度;
(4)设初三(1)班两名家长为A1,A2,初三(2)班两名家长为B1,B2,
一共有12种等可能结果,其中2人来自不同班级共有8种
∴P(2人来自不同班级)==.
22.某中学广场上有旗杆如图1所示,在学习解直角三角形以后,数学兴趣小组测量了旗杆的高度.如图2,某一时刻,旗杆AB的影子一部分落在平台上,另一部分落在斜坡上,测得落在平台上的影长BC为4米,落在斜坡上的影长CD为3米,AB⊥BC,同一时刻,光线与水平面的夹角为72°,1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米,求旗杆的高度(结果精确到0.1米).(参考数据:sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)
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【考点】解直角三角形的应用.
【分析】如图作CM∥AB交AD于M,MN⊥AB于N,根据=,求出CM,在RT△AMN中利用tan72°=,求出AN即可解决问题.
【解答】解:如图作CM∥AB交AD于M,MN⊥AB于N.
由题意=,即=,CM=,
在RT△AMN中,∵∠ANM=90°,MN=BC=4,∠AMN=72°,
∴tan72°=,
∴AN≈12.3,
∵MN∥BC,AB∥CM,
∴四边形MNBC是平行四边形,
∴BN=CM=,
∴AB=AN+BN=13.8米.
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23.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,▱ABCD的顶点A的坐标为(﹣2,0),点D的坐标为(0,2),点B在x轴的正半轴上,点E为线段AD的中点.
(Ⅰ)如图1,求∠DAO的大小及线段DE的长;
(Ⅱ)过点E的直线l与x轴交于点F,与射线DC交于点G.连接OE,△OEF′是△OEF关于直线OE对称的图形,记直线EF′与射线DC的交点为H,△EHC的面积为3.
①如图2,当点G在点H的左侧时,求GH,DG的长;
②当点G在点H的右侧时,求点F的坐标(直接写出结果即可).
【考点】四边形综合题.
【分析】(Ⅰ)由A(﹣2,0),D(0,2)用三角函数求出∠DAO,再根据点E是中点求出DE,
(Ⅱ)①先用三角函数求出GH=6,再判断出△EAO是等边三角形,然后判断出△DHE∽△DEG得到比例式列方程求出DG.
②先用三角函数求出GH=6,再判断出△EAO是等边三角形,然后判断出△DHE∽△DEG得到比例式列方程求出DG,从而求出OF,根据点F的位置确定出点F的坐标.
【解答】解:(Ⅰ)∵A(﹣2,0),D(0,2)
∴AO=2,DO=2,
∴tan∠DAO==,
∴∠DAO=60°,
∴∠ADO=30°,
∴AD=2AO=4,
∵点E为线段AD中点,
∴DE=2;
(Ⅱ)①如图2,
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过点E作EM⊥CD,
∴CD∥AB,
∴∠EDM=∠DAB=60°,
∴EM=DEsin60°=,
∴GH=6,
∵CD∥AB,
∴∠DGE=∠OFE,
∵△OEF′是△OEF关于直线OE的对称图形,
∴△OEF′≌△OEF,
∴∠OFE=∠OF′E,
∵点E是AD的中点,
∴OE=AD=AE,
∵∠EAO=60°,
∴△EAO是等边三角形,
∴∠EOA=60°,∠AEO=60°,
∵△OEF′≌△OEF,
∴∠EOF′=∠EOA=60°,
∴∠EOF′=∠AEO,
∴AD∥OF′,
∴∠OF′E=∠DEH,
∴∠DEH=∠DGE,
∵∠DEH=∠EDG,
∴△DHE∽△DEG,
∴,
∴DE2=DG×DH,
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设DG=x,则DH=x+6,
∴4=x(x+6),
∴x1=﹣3+,x2=﹣3﹣,
∴DG=﹣3+.
②如图3,
过点E作EM⊥CD,
∴CD∥AB,
∴∠EDM=∠DAB=60°,
∴EM=DEsin60°=,
∴GH=6,
∵CD∥AB,
∴∠DHE=∠OFE,
∵△OEF′是△OEF关于直线OE的对称图形,
∴△OEF′≌△OEF,
∴∠OFE=∠OF′E,
∵点E是AD的中点,
∴OE=AD=AE,
∵∠EAO=60°,
∴△EAO是等边三角形,
∴∠EOA=60°,∠AEO=60°,
∵△OEF′≌△OEF,
∴∠EOF′=∠EOA=60°,
∴∠EOF′=∠AEO,
∴AD∥OF′,
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∴∠OF′E=∠DEH,
∴∠DEG=∠DHE,
∵∠DEG=∠EDH,
∴△DGE∽△DEH,
∴,
∴DE2=DG×DH,
设DH=x,则DG=x+6,
∴4=x(x+6),
∴x1=﹣3+,x2=﹣3﹣,
∴DH=﹣3+.
∴DG=3+
∴DG=AF=3+,
∴OF=5+,
∴F(﹣5﹣,0).
24.如图1,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C.若tan∠ABC=3,一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2.
(1)求二次函数的解析式;
(2)直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止,l与线段BC交于点D,P是AD的中点.
①求点P的运动路程;
②如图2,过点D作DE垂直x轴于点E,作DF⊥AC所在直线于点F,连结PE、PF,在l运动过程中,∠EPF的大小是否改变?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,连结EF,求△PEF周长的最小值.
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【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)利用tan∠ABC=3,得出C点坐标,再利用待定系数法求出二次函数解析式;
(2)①当l在AB位置时,P即为AB的中点H,当l运动到AC位置时,P即为AC中点K,则P的运动路程为△ABC的中位线HK,再利用勾股定理得出答案;
②首先利用等腰三角形的性质得出∠PAE=∠PEA=∠EPD,同理可得:∠PAF=∠PFA=∠DPF,进而求出∠EPF=∠EPD+∠FPD=2(∠PAE+∠PAF),即可得出答案;
(3)首先得出C△PEF=AD+EF,进而得出EG=PE,EF=PE=AD,利用C△PEF=AD+EF=(1+)AD=AD,得出最小值即可.
【解答】解:(1)∵函数y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,且一元二次方程ax2+bx+c=0两根为:﹣8,2,
∴A(﹣8,0)、B(2,0),即OB=2,
又∵tan∠ABC=3,∴OC=6,即C(0,﹣6),
将A(﹣8,0)、B(2,0)代入y=ax2+bx﹣6中,得:
,
解得:,
∴二次函数的解析式为:y=x2+x﹣6;
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(2)①如图1,当l在AB位置时,P即为AB的中点H,
当l运动到AC位置时,P即为AC中点K,
∴P的运动路程为△ABC的中位线HK,
∴HK=BC,
在Rt△BOC中,OB=2,OC=6,
∴BC=2,∴HK=,
即P的运动路程为:;
②∠EPF的大小不会改变,
理由如下:如图2,∵DE⊥AB,
∴在Rt△AED中,P为斜边AD的中点,
∴PE=AD=PA,
∴∠PAE=∠PEA=∠EPD,
同理可得:∠PAF=∠PFA=∠DPF,
∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2(∠PAE+∠PAF),
即∠EPF=2∠EAF,
又∵∠EAF大小不变,
∴∠EPF的大小不会改变;
(3)设△PEF的周长为C,则C△PEF=PE+PF+EF,
∵PE=AD,PF=AD,
∴C△PEF=AD+EF,
在等腰三角形PEF中,如图2,过点P作PG⊥EF于点G,
∴∠EPG=∠EPF=∠BAC,
∵tan∠BAC==,
∴tan∠EPG==,
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∴EG=PE,EF=PE=AD,
∴C△PEF=AD+EF=(1+)AD=AD,
又当AD⊥BC时,AD最小,此时C△PEF最小,
又S△ABC=30,
∴BC×AD=30,
∴AD=3,
∴C△PEF最小值为: AD=.
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2017年4月18日
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