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一元二次方程
一、填空题
1．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： ．
2．关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程．
3．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b= ．
4．x2+3x+ =（x+ ）2；x2﹣ +2=（x ）2．
5．直角三角形的两直角边是3：4，而斜边的长是20cm，那么这个三角形的面积是 cm2．
6．若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3，则p= ，q= ．
7．若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值是 ．
8．代数式2x2+3x+7的值为12，则代数式4x2+6x﹣10= ．
9．当t 时，关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解．
10．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则= ．
二、选择题
11．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1） D． +﹣2=0
12．若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（ ）
A．± B．±1 C．± D．±
13．若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解，且m≠0，则m+n的值是（ ）
A．1 B．﹣0.5 C．0.5 D．﹣1
14．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（ ）
A．m=0，n=0 B．m=0，n≠0 C．m≠0，n=0 D．m≠0，n≠0
15．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（ ）
A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0
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16．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定
三、解答题
17．（1）（x+4）2=5（x+4）；
（2）（x+1）2=4x；
（3）（x+3）2=（1﹣2x）2；
（4）2x2﹣10x=3．
18．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．
19．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．
20．已知方程x2﹣2ax+a=4
（1）求证：方程必有相异实根
（2）a取何值时，方程有两个正根？
（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？
（4）a取何值时，方程有一根为零？
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一元二次方程
参考答案与试题解析
一、填空题
1．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为： x2﹣8x﹣4=0 ，二次项系数为： 1 ，一次项系数为： ﹣8 ，常数项为： ﹣4 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】去括号、移项变形为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．
【解答】解：去括号得，x﹣3+3x2﹣9x=2x2+1，
移项得，x2﹣8x﹣4=0，
所以一般形式为x2﹣8x﹣4=0；二次项系数为1；一次项系数为﹣8；常数项为﹣4．
故答案为x2﹣8x﹣4=0，1，﹣8，﹣4．
【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数），a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．
2．关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m =1 时为一元一次方程；当m ≠1 时为一元二次方程．
【考点】一元二次方程的定义；一元一次方程的定义．
【专题】方程思想．
【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程；含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程．可以确定m的取值．
【解答】解：要使方程是一元一次方程，则m﹣1=0，
∴m=1．
要使方程是一元二次方程，则m﹣1≠0，
∴m≠1．
故答案分别是：m=1；m≠1．
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【点评】本题考查的是一元一次方程和一元二次方程的定义，根据定义确定m的取值．
3．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b= 2或﹣4 ．
【考点】换元法解一元二次方程．
【专题】换元法．
【分析】把原方程中的（a+b）代换成y，即可得到关于y的方程y2+2y﹣8=0，求得y的值即为a+b的值．
【解答】解：把原方程中的a+b换成y，
所以原方程变化为：y2+2y﹣8=0，
解得y=2或﹣4，∴a+b=2或﹣4．
【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．
4．x2+3x+ =（x+ ）2；x2﹣ 2x +2=（x ﹣ ）2．
【考点】完全平方式．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据首项是x的平方及中间项3x，利用中间项等于x与乘积的2倍即可解答．
（2）根据首项与尾项分别是x与的平方，那么中间项等于x与乘积的2倍即可解答．
【解答】解：（1）∵首项是x的平方及中间项3x，∴3x=2×x×，
x2+3x+=，
∴应填，．
（2）首项与尾项分别是x与的平方，∴2×x×即为中间项．
∴x2﹣2x+2=，
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故应填：2，﹣．
故答案为：，，2，﹣．
【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键要熟记完全平方公式．
5．直角三角形的两直角边是3：4，而斜边的长是20cm，那么这个三角形的面积是 96 cm2．
【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据直角三角形的两直角边是3：4，设出两直角边的长分别是3x、4x，再根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：设两直角边分别是3x、4x，
根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2=400，
解得：x=4，（负值舍去）
则：3x=12cm，4x=16cm．
故这个三角形的面积是×12×16=96cm2．
【点评】此题主要根据勾股定理来确定等量关系，也考查了三角形的面积公式．
6．若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3，则p= ﹣1 ，q= ﹣6 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系，分别求出p、q的值．
【解答】解：由题意知，x1+x2=﹣p，即﹣2+3=﹣p，∴p=﹣1；
又x1x2=q，即﹣2×3=q，∴q=﹣6．
【点评】已知了一元二次方程的两根求系数，可利用一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=，x1x2=解答．
7．若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值是 1或﹣ ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】根据题意先列出方程，然后利用因式分解法解方程求得x的值．
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【解答】解：∵代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，
∴4x2﹣2x﹣5+2x2+1=0，即（x﹣1）（3x+2）=0，
解得x=1或﹣．
【点评】本题是基础题，考查了一元二次方程的解法．
8．代数式2x2+3x+7的值为12，则代数式4x2+6x﹣10= 0 ．
【考点】代数式求值．
【专题】整体思想．
【分析】先对已知进行变形，把所求代数式化成已知的形式，再利用整体代入法求解．
【解答】解：∵2x2+3x+7=12
∴2x2+3x=12﹣7
∴4x2+6x﹣10=2（2x2+3x）﹣10=2×（12﹣7）﹣10=0．
【点评】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．
9．当t ≤ 时，关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解，则△=b2﹣4ac≥0，即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0，解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解，
∴△=b2﹣4ac≥0，即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0，
∴t≤．
故答案为≤．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
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10．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则= ．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】把b看成常数，解关于a的一元二次方程，然后求出的值．
【解答】解：a2+ab﹣b2=0
△=b2+4b2=5b2．
a==b
∴=．
故答案是：
【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，把b看成是常数，用求根公式解关于a的一元二次方程，然后求出的值．
二、选择题
11．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1） D． +﹣2=0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足三个条件：
（1）方程是整式方程；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）只含有一个未知数．
由这三个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：A、a=0时，不是一元二次方程，错误；
B、原式可化为2x+1=0，是一元一次方程，错误；
C、原式可化为3x2+4x+1=0，符合一元二次方程的定义，正确；
D、是分式方程，错误．
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故选C．
【点评】判断一个方程是否是一元二次方程，首先判断是否是整式方程，若是整式方程，再进行化简，化简以后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程就是一元二次方程．
12．若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（ ）
A．± B．±1 C．± D．±
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】两个数互为倒数，即两数的积是1，据此即可得到一个关于x的方程，从而求解．
【解答】解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得（2x+1）（2x﹣1）=1；
整理得4x2﹣1=1，
移项得4x2=2，
系数化为1得x2=；
开方得x=±．
故选C．
【点评】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；
a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．本题开方后要注意分母有理化．
13．若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解，且m≠0，则m+n的值是（ ）
A．1 B．﹣0.5 C．0.5 D．﹣1
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；将m代入原方程即可求得m+n的值．
【解答】解：把x=m代入方程x2+nx﹣m=0得m2+mn﹣m=0，
又∵m≠0，
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方程两边同除以m，
可得m+n=1；
故本题选A．
【点评】此题中应特别注意：方程两边同除以字母系数时，应强调字母系数不得为零．
14．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（ ）
A．m=0，n=0 B．m=0，n≠0 C．m≠0，n=0 D．m≠0，n≠0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．
【分析】代入方程的解求出n的值，再用因式分解法确定m的取值范围．
【解答】解：方程有一个根是0，即把x=0代入方程，方程成立．
得到n=0；
则方程变成x2+mx=0，即x（x+m）=0
则方程的根是0或﹣m，
因为两根中只有一根等于0，
则得到﹣m≠0即m≠0
方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，正确的条件是m≠0，n=0．
故选C．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，以及因式分解法解一元二次方程．
15．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（ ）
A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】根据直接开平方法的步骤得出x2=k，再根据非负数的性质得出k≥0即可．
【解答】解：∵x2﹣k=0，
∴x2=k，
∴一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则k≥0，
故选：C．
【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）
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2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
16．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定
【考点】一元二次方程的解．
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．
【解答】解：在这个式子中，如果把x=1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c=0可知：当x=1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．
故选C．
【点评】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．
三、解答题
17．（1）（x+4）2=5（x+4）；
（2）（x+1）2=4x；
（3）（x+3）2=（1﹣2x）2；
（4）2x2﹣10x=3．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】（1）运用提取公因式法分解因式求解；
（2）运用公式法分解因式求解；
（3）运用平分差公式分解因式求解；
（4）运用公式法求解．
【解答】解：（1） （x+4）2=5（x+4），
（x+4）2﹣5（x+4）=0，
（x+4）（x+4﹣5）=0，
∴x1=﹣4，x2=1．
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（2） （x+1）2=4x，
x2+2x+1﹣4x=0，
（x﹣1）2=0，
∴x1=x2=1．
（3） （x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，
（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）=0，
（4﹣x）（3x+2）=0，
∴x1=4，x2=﹣．
（4） 2x2﹣10x=3，
2x2﹣10x﹣3=0，
x=，
x1=，x2=．
【点评】此题考查了选择适当的方法解一元二次方程的能力，属基础题．
18．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．
【考点】等腰三角形的性质；一元二次方程的解；三角形三边关系．
【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系得到x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，确定等腰三角形腰长为5．
【解答】解：x2﹣9x+20=0，
解得x1=4，x2=5，
∵等腰三角形底边长为8，
∴x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，
∴等腰三角形腰长为5．
【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的边长，不能盲目地作出判断，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
19．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．
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【考点】一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】由于一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，那么把x=0代入方程即可得到关于m的方程，解这个方程即可求出m的值．
【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，
∴把x=0代入方程中得
m2+3m﹣4=0，
∴m1=﹣4，m2=1．
由于在一元二次方程中m﹣1≠0，故m≠1，
∴m=﹣4
【点评】此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到所求字母的方程，再解此方程即可解决问题．
20．已知方程x2﹣2ax+a=4
（1）求证：方程必有相异实根
（2）a取何值时，方程有两个正根？
（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？
（4）a取何值时，方程有一根为零？
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据△＞0恒成立即可证明．
（2）由方程有两个正根，根据根与系数的关系即可求出a的取值．
（3）由方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，根据根与系数关系解答．
（4）令x=0代入方程求解即可．
【解答】解：（1）方程x2﹣2ax+a=4，可化为：x2﹣2ax+a﹣4=0，
∴△=4a2﹣4（a﹣4）=4+15＞0恒成立，故方程必有相异实根．
（2）若方程有两个正根x1，x2，则x1+x2=2a＞0，x1x2=a﹣4＞0，解得：a＞4．
（3）若方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，则可得：x1+x2=2a＜0，x1x2=a﹣4＜0，解得：a＜0．
（4）若方程有一根为零，把x=0代入方程x2﹣2ax+a=4，得：a=4．
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【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是熟记x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．
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