2017年中考数学《转化思想在代数中的应用》专题练习含解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 转化思想在代数中的应用 ‎　‎ 一、填空题 ‎1．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（c+4）x+‎4c+8=0的两个根，判断△ABC的形状　　．‎ ‎2．已知∠A为三角形一个内角，抛物线y=﹣x2+xcosA+2的对称轴是y轴，则∠A=　　度．‎ ‎3．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，判断△ABC的形状　　．‎ ‎4．在直角坐标系中，两圆的圆心都在y轴上，并且两圆相交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，tan60°），则点B的坐标为　　．‎ ‎5．设两圆半径分别为2、5，圆心距d使点A（6﹣2d，7﹣d）在第二象限，判断两圆位置关系　　．‎ ‎6．a、b、c为△ABC的三条边，满足条件点（a﹣c，a）与点（0，﹣b）关于x轴对称，判断△ABC的形状　　．‎ ‎　‎ 二、解答题 ‎7．如图所示，AD为⊙O的直径，一条直线l与⊙O交于E、F两点，过A、D分别作直线l的垂线，垂足是B、C，连接CD交⊙O于G．‎ ‎（1）求证：AD•BE=FG•DF；‎ ‎（2）设AB=m，BC=n，CD=p，求证：tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2﹣nx+p=0的两个实数根．‎ ‎8．设关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，若2x1x2=x1﹣3x2，试求a的值．‎ ‎9．△ABC中，AD是高，AD与AB的夹角为锐角α，Rt△ADC的面积和周长都为30，又x1、x2是关于x的方程8x2﹣4x﹣2cosα+1=0的两个实数根，且 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，求：‎ ‎（1）cosa的值．‎ ‎（2）AD和AC的长（“三角函数的值”的有关“代数式”作为方程的系数）‎ ‎10．如图所示，以正方形ABCD平行于边的对称轴为坐标轴建立直角坐标系，若正方形的边长为4．‎ ‎（1）求过B、E、F三点的二次函数的解析式；‎ ‎（2）求此抛物线的顶点坐标．（先转化为点的坐标，再求函数解析式）‎ ‎11．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后P、Q间的距离等于2厘米？（把实际问题转化为几何问题）‎ ‎12．在直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点P在直线y=﹣4x上，且P到坐标原点距离为，又知抛物线与x轴两交点A、B（A在B的左侧）的横坐标的平方和为10．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式．‎ ‎（2）若Q是抛物线上异于A、B、P的点，且∠QAP=90°，求点Q的坐标．（利用“点坐标的绝对值等于线段长”沟通函数与几何，转化为点坐标用函数知识，转化为线段长用几何知识）‎ ‎13．已知抛物线y=（9﹣m2）x2﹣2（m﹣3）x+‎3m的顶点D在双曲线y=﹣上，直线y=kx+c经过点D和点C（a，b），且使y随x的增大而减小，a，b满足方程组 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，求这条直线的解析式．（a、b具有两重性，视为点的坐标用函数知识，视为方程的根用方程知识）．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 转化思想在代数中的应用 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题 ‎1．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（c+4）x+‎4c+8=0的两个根，判断△ABC的形状　直角三角形　．‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（c+4）x+‎4c+8=0的两个根，则a+b=c+4，ab=‎4c+8，根据a，b，c之间的关系式即可判断．‎ ‎【解答】解：∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（c+4）x+‎4c+8=0的两个根，‎ ‎∴a+b=c+4，ab=‎4c+8，‎ ‎∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（c+4）2﹣2（‎4c+8）=c2，‎ ‎∵∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，‎ ‎∴根据勾股定理，△ABC的形状为直角三角形．‎ 故答案为：直角三角形．‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，然后根据勾股定理判断．‎ ‎　‎ ‎2．已知∠A为三角形一个内角，抛物线y=﹣x2+xcosA+2的对称轴是y轴，则∠A=　90　度．‎ ‎【考点】二次函数的性质；特殊角的三角函数值．‎ ‎【专题】计算题；方程思想．‎ ‎【分析】先根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣及已知条件得出方程=0，再由特殊角的三角函数值及∠A为三角形一个内角，即可求出∠A的度数．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+xcosA+2的对称轴是直线x=﹣=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵抛物线y=﹣x2+xcosA+2的对称轴是y轴，即直线x=0，‎ ‎∴=0，‎ ‎∴cosA=0，‎ 又∵∠A＜180°，‎ ‎∴∠A=90°．‎ 故答案为90．‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数的性质及特殊角的三角函数值，难度中等．本题关键在于知道y轴的解析式为x=0，从而列出方程．‎ ‎　‎ ‎3．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，判断△ABC的形状　直角三角形　．‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0，根据顶点的纵坐标公式，列方程求解．‎ ‎【解答】解：抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，‎ ‎∴=0，‎ 整理，得a2+b2=c2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ 故本题答案为：直角三角形．‎ ‎【点评】本题是抛物线顶点纵坐标公式的运用．抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，）．‎ ‎　‎ ‎4．在直角坐标系中，两圆的圆心都在y轴上，并且两圆相交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，tan60°），则点B的坐标为　（2，）　．‎ ‎【考点】相交两圆的性质；坐标与图形性质．‎ ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，可知A、B两点关于y轴对称，再根据两点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数进行求解．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：∵圆心都在y轴上的两圆相交于A、B两点，相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，‎ ‎∴A、B两点关于y轴对称．‎ ‎∵点A的坐标为（﹣2，tan60°），‎ ‎∴B（2，），‎ 故答案为：（2，）．‎ ‎【点评】本题主要考查相交两圆的性质及坐标与图形的性质，解决本题的关键是由题意得出相交两圆的交点也关于y轴对称，从而解决问题．‎ ‎　‎ ‎5．设两圆半径分别为2、5，圆心距d使点A（6﹣2d，7﹣d）在第二象限，判断两圆位置关系　两圆相交　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系；点的坐标．‎ ‎【专题】推理填空题．‎ ‎【分析】由点A在第二象限，得到d的取值范围，再与两圆的半径和与差进行比较，确定两圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：因为点A在第二象限，所以，‎ 解得：3＜d＜7．‎ 而两圆的半径的差为3，和为7，‎ 因此两圆相交．‎ 故答案是：两圆相交．‎ ‎【点评】本题考查的是圆与圆的位置关系，根据第二象限点的特点，求出d的取值范围，然后与两圆的半径和与差进行比较，得到两圆的位置关系．‎ ‎　‎ ‎6．a、b、c为△ABC的三条边，满足条件点（a﹣c，a）与点（0，﹣b）关于x轴对称，判断△ABC的形状　等边三角形　．‎ ‎【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．‎ ‎【专题】几何图形问题；压轴题．‎ ‎【分析】由两点关于x轴对称可得a﹣c=0，a=b，进而根据三角形三边关系判断△ABC的形状即可．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：∵点（a﹣c，a）与点（0，﹣b）关于x轴对称，‎ ‎∴a﹣c=0，a=b，‎ ‎∴a=b=c，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ 故答案为：等边三角形．‎ ‎【点评】主要考查两点关于x轴对称的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．‎ ‎　‎ 二、解答题 ‎7．如图所示，AD为⊙O的直径，一条直线l与⊙O交于E、F两点，过A、D分别作直线l的垂线，垂足是B、C，连接CD交⊙O于G．‎ ‎（1）求证：AD•BE=FG•DF；‎ ‎（2）设AB=m，BC=n，CD=p，求证：tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2﹣nx+p=0的两个实数根．‎ ‎【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】（1）连GF，过O点作OP⊥EF，P为垂足，则PE=PF，又DC⊥BC，AB⊥BC，则OP为直角梯形的中位线，得到PB=PC，则有BE=CF；由∠GFC=∠FAD，得到Rt△GFC∽Rt△ADF即可；‎ ‎（2）由AD为⊙O的直径，∠DFA=90°，则∠DFC+∠AFB=90°，得到∠DFC=∠ABF，则Rt△DFC∽Rt△FAB，得DF：FA=FC：AB=DC：FB，而tan∠FAD=、tan∠BAF=，再计算它们的和与积，即可证明tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2﹣nx+p=0的两个实数根．‎ ‎【解答】证明：（1）连GF，过O点作OP⊥EF，P为垂足，则PE=PF，如图，‎ ‎∵DC⊥BC，AB⊥BC，‎ ‎∴OP为直角梯形的中位线，‎ ‎∴PB=PC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴BE=CF，‎ 又∵∠GFC=∠FAD，AD为⊙O的直径，∠DFA=90，‎ ‎∴Rt△GFC∽Rt△ADF，‎ ‎∴AD•BE=FG•DF；‎ ‎（2）∵∠DFA=90°，‎ ‎∴∠DFC+∠AFB=90°，‎ ‎∴∠DFC=∠FAB，‎ ‎∴Rt△DFC∽Rt△FAB，‎ ‎∴DF：FA=FC：AB=DC：FB，‎ ‎∵tan∠FAD=，tan∠BAF=，‎ ‎∴，‎ ‎∴tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2﹣nx+p=0的两个实数根．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为90度．同时考查了直角梯形的中位线性质，三角形相似的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系．‎ ‎　‎ ‎8．设关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，若2x1x2=x1﹣3x2，试求a的值．‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2及x1•x2，代入2x1x2=x1﹣3x2中即可求出a的值，再把所得a的值代入原方程检验即可．‎ ‎【解答】解：∵关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，‎ ‎∴①，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎②‎ ‎∵2x1x2=x1﹣3x2，‎ ‎∴2x1x2+（x1+x2）=2（x1﹣x2），平方得4（x1x2）2+4x1x2（x1+x2）=3（x1+x2）2﹣16x1x2，‎ 将式①、②代入后，解得a=3，a=﹣1，‎ 当a=3时，原方程可化为10x2﹣12x+2=0，△=122﹣4×10×2=64＞0，原方程成立；‎ 当a=﹣1时，原方程可化为2x2+4x+2=0，△=42﹣4×2×2=0，原方程成立．‎ ‎∴a=3或a=﹣1．‎ ‎【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，在解答此类题目时一定要把所得结果代入原方程进行检验，舍去不合题意的未知数的值．‎ ‎　‎ ‎9．△ABC中，AD是高，AD与AB的夹角为锐角α，Rt△ADC的面积和周长都为30，又x1、x2是关于x的方程8x2﹣4x﹣2cosα+1=0的两个实数根，且，求：‎ ‎（1）cosa的值．‎ ‎（2）AD和AC的长（“三角函数的值”的有关“代数式”作为方程的系数）‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义；根与系数的关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及余弦的定义，得到cosα的范围，然后利用根与系数的关系求出cosα的值．‎ ‎（2）在直角三角形中根据周长和面积都是30，可以列出两个方程，然后利用勾股定理计算能求出AD和AC的值．‎ ‎【解答】解：（1）因为方程有两个实数根，所以判别式为非负数．‎ ‎△=16﹣4×8（﹣2cosα+1）≥0，‎ 得到：cosα≥．‎ ‎∵0＜cosα＜1，‎ ‎∴≤cosα＜1．‎ 根据根与系数的关系有：‎ x1+x2=，x1x2=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎32（x13x22+x12x23）=‎ ‎32（x1x2）2（x1+x2）=‎ ‎32××=‎ 整理得：﹣2cosα+1=±‎ ‎∴cosα=，cosα=﹣（舍去）；‎ ‎（2）根据直角三角形的周长和面积都是30以及勾股定理，得到：‎ AD+DC=30﹣AC ①‎ AD•DC=60 ②‎ AD2+DC2=AC2=（AD+DC）2﹣2AD•DC ‎∴AC2=（30﹣AC）2﹣120‎ 解得：AC=13．‎ ‎∴有①②有：‎ AD+DC=17‎ AD•DC=60‎ 解得：AD=5，DC=12，或AD=12，DC=5‎ 故AC的长为13，AD的长为5或12．‎ ‎【点评】本题考查的是三角函数的定义，（1）根据三角函数的定义一元二次方程根的判别式得到cosα的取值范围，然后利用根与系数的关系求出cosα的值．（2）根据直角三角形的周长和面积，运用勾股定理可以求出直角三角形的斜边和直角边．‎ ‎　‎ ‎10．如图所示，以正方形ABCD平行于边的对称轴为坐标轴建立直角坐标系，若正方形的边长为4．‎ ‎（1）求过B、E、F三点的二次函数的解析式；‎ ‎（2）求此抛物线的顶点坐标．（先转化为点的坐标，再求函数解析式）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）根据B、E、F三点的坐标，设函数解析式为y=ax2+bx+c，即可求解；‎ ‎（2）把函数解析式化为顶点式后即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知：点B（﹣2，﹣2），点E（0，2），点F（2，0），‎ 分别代入y=ax2+bx+c，‎ 解得：a=﹣，b=，c=2，‎ 故函数解析式为：；‎ ‎（2）∵y=﹣x2+x+2=﹣+，‎ ‎∴顶点坐标为（，）．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，属于基础题，关键是正确设出二次函数解析式的一般形式．‎ ‎　‎ ‎11．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后P、Q间的距离等于2厘米？（把实际问题转化为几何问题）‎ ‎【考点】勾股定理．‎ ‎【专题】计算题；动点型．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】设t秒后PQ=，则BP=6﹣2t，BQ=3﹣t，在直角△BPQ中，根据勾股定理BP2+BQ2=PQ2可求t的值．‎ ‎【解答】解：在直角三角形中AB=‎6cm=2BC=2×‎3cm，‎ 且P的移动速度是Q的移动速度的2倍，‎ ‎∴BP，BQ满足BP=2BQ的关系 设t秒后PQ=，‎ 则BP=6﹣2t，BQ=3﹣t，‎ 且（6﹣2t）2+（3﹣t）2=，‎ 解得t=1．‎ 答：1秒后PQ间的距离为2．‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中抓住BP=2BQ并且根据勾股定理求t是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．在直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点P在直线y=﹣4x上，且P到坐标原点距离为，又知抛物线与x轴两交点A、B（A在B的左侧）的横坐标的平方和为10．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式．‎ ‎（2）若Q是抛物线上异于A、B、P的点，且∠QAP=90°，求点Q的坐标．（利用“点坐标的绝对值等于线段长”沟通函数与几何，转化为点坐标用函数知识，转化为线段长用几何知识）‎ ‎【考点】二次函数综合题；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；勾股定理．‎ ‎【分析】（1）由顶点P在直线y=﹣4x上，且P到坐标原点距离为，可得出点P的坐标，再利用勾股定理可以解决，‎ ‎（2）假设出点Q的坐标，表示出AQ，QP的长度，利用勾股定理可以解决．‎ ‎【解答】解：（1）∵顶点P在直线y=﹣4x上，‎ 可设P（a1，﹣‎4a），则有，‎ 解得：a=±1，‎ ‎∴P（1，﹣4）或（﹣1，4）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵抛物线开口向上，又与x轴有交点，‎ ‎∴（﹣1，4）不合题意舍去．‎ 设y=a（x﹣1）2﹣4=ax2﹣2ax+a﹣4与x轴交于点A（x1，0）、‎ B（{x2，0），‎ ‎，‎ 消x1、x2，‎ 解得a=1；‎ ‎（2）如图所示，设抛物线上点Q（m，n），过Q作QM⊥x轴于点M．‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎∵∠QAP=90°，由勾股定理，得=（m﹣1）2+（n+4）2，‎ 整理，得m﹣2n+1=0，又n=m2﹣‎2m﹣3．‎ 解得（不合题意舍去）或．‎ ‎∴Q（）．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，以及勾股定理的应用，计算量较大，应认真计算．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎13．已知抛物线y=（9﹣m2）x2﹣2（m﹣3）x+‎3m的顶点D在双曲线y=﹣上，直线y=kx+c经过点D和点C（a，b），且使y随x的增大而减小，a，b满足方程组，求这条直线的解析式．（a、b具有两重性，视为点的坐标用函数知识，视为方程的根用方程知识）．‎ ‎【考点】待定系数法求一次函数解析式．‎ ‎【专题】压轴题；分类讨论．‎ ‎【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后代入反比例函数，可求得m的值及顶点坐标，再由顶点坐标与一次函数的关系可得出a和b的值，从而可得出函数解析式．‎ ‎【解答】解：抛物线y=（9﹣m2）x2﹣2（m﹣3）x+‎3m的顶点D的坐标为，‎ 由于点D在双曲线y=﹣上，得=﹣，‎ 整理，得m2+‎10m+24=0，解得m1=﹣4，m2=﹣6，‎ ‎∴D1（1，﹣5），D2（，﹣15），‎ 又由方程组组，‎ 解得和，‎ ‎∴C1（2，1），C2（﹣2，﹣1），‎ 其中C1（2，1）不符合题意，舍去．‎ ‎①C2（﹣2，﹣1）和D1（1，﹣5）代入y=kx+b可得：，解得：，‎ ‎∴直线D‎1C2的解析式为y=﹣；‎ ‎②C2（﹣2，﹣1）和D2（，﹣15）代入可得：，解得：，‎ ‎∴将直线D‎2C2的解析式为y=﹣6x﹣13．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题综合考查一次函数、反比例函数及抛物线的知识，综合性比较强，注意细心研究每种函数的特点．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费