2017年河北省沧州市东光县中考数学一模试卷含答案解析.doc

‎2017年河北省沧州市东光县中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题有16个小题，共42分）‎ ‎1．﹣7的绝对值是（　　）‎ A．﹣7 B．7 C．±7 D．‎ ‎2．计算|﹣6|﹣（﹣）0的值是（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．5 D．7‎ ‎3．下列四个图形中，对称轴最多的图形是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）‎ A．x≥﹣1 B．x＞2 C．x≠2 D．x≥﹣1且x≠2‎ ‎5．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长是（　　）‎ A．5 B．7.5 C．10 D．25‎ ‎6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=6，DH⊥AB于H，则AH等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在数轴上实数a，b的位置如图所示，化简|a+b|+的结果是（　　）‎ A．﹣2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣2b D．﹣2a ‎8．如图，已知正方形铁丝框ABCD边长为10，现使其变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为（　　）‎ A．50 B．100 C．150 D．200‎ ‎9．如图，OA，OB分别为⊙O的半径，若CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠P=70°，则∠DCE的度数为（　　）‎ A．70° B．60° C．50° D．40°‎ ‎10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长为（　　）‎ A．13 B．17 C．18 D．25‎ ‎11．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则关于点D的说法正确的是（　　）‎ 甲：点D在第一象限 乙：点D与点A关于原点对称 丙：点D的坐标是（﹣2，1）‎ 丁：点D与原点距离是．‎ A．甲乙 B．丙丁 C．甲丁 D．乙丙 ‎12．下列各式变形中，不正确的是（　　）‎ A．x4•x3=x7 B． =|x|‎ C．（x2﹣）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣）2+‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上，则这四个点组成的四边形ABB′A′的面积是（　　）‎ A．4 B．6 C．9 D．13‎ ‎14．若关于x的一元二次方程x2+x+tana=0有两个相等的实数根，则锐角a等于（　　）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎15．如图，在任意△ABC中，DE∥BC，连接BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的有几个（　　）‎ ‎①=②=③=④=．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎16．已知如图，点O为△ABD的外心，点C为直径BD下方弧BCD上一点，且不与点B，D重合，∠ACB=∠ABD=45°，则下列对AC，BC，CD之间的数量关系判断正确的是（　　）‎ A．AC=BC+CD B． AC=BC+CD C． AC=BC+CD D．2AC=BC+CD ‎　‎ 二、填空题（本大题有3个小题，共10分）‎ ‎17．计算3﹣的结果是　　．‎ ‎18．当x=2时，分式（﹣1）÷的值是　　．‎ ‎19．已知，如下图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭正多边形组成图案，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，搭建第n个图案需要　　根火柴棒，搭建第2017个图案需要　　根火柴棒．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题有7个小题，共68分）‎ ‎20．计算：‎ ‎（1）﹣10﹣1+﹣5sin30°+（3.14﹣π）0‎ ‎（2）已知m2﹣5=3m，求代数式2m2﹣6m﹣1的值．‎ ‎21．已知直线l1∥l2∥l3，等腰直角△ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，若∠ACB=90°，l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为3，‎ 求：（1）线段AB的长；‎ ‎（2）的值．‎ ‎22．旭日商场销售A，B两种品牌的钢琴，这两种钢琴的进价和售价如下表所示：‎ A B 进价（万元/．套）‎ ‎1.5‎ ‎1.2‎ 售价（万元/套）‎ ‎1.65‎ ‎1.4‎ 该商场计划购进两种钢琴若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）‎ ‎（1）该商场计划购进A，B两种品牌的钢琴各多少套？‎ ‎（2）通过市场调查，该商场决定在原计划的基础上，减少A种钢琴的购进数量，增加B种钢琴的购进数量，已知B种钢琴增加的数量是A种钢琴减少数量的1.5倍，若用于购进这两种钢琴的总资金不超过69万元，问A种钢琴购进数量至多或减少多少套？‎ ‎23．在元旦来临之际，腾飞中学举行了隆重的庆祝活动，在校图书馆展开了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），“希望班”全班同学都参加了比赛，为了解这个班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图1）和扇形统计图（图2），根据图表中的信息解答下列各题：‎ ‎（1）请求出“希望班”全班人数；‎ ‎（2）请把折线统计图补充完整；‎ ‎（3）欢欢和乐乐参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率．‎ ‎24．在一条笔直的公路的同侧依次排列着A，C，B三个村庄，某天甲、乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止，从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．‎ 求：（1）甲的速度是　　，乙的速度是　　；‎ ‎（2）分别求出甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系式，并写出取值范围；‎ ‎（3）若甲、乙两车到C地后继续沿该公路原速度行驶，求甲车出发多少小时，两车相距350km．‎ ‎25．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．‎ 发现：△CMP和△BPA是否相似，若相似给出证明，若不相似说明理由；‎ 思考：线段AM是否存在最小值？若存在求出这个最小值，若不存在，说明理由；‎ 探究：当△ABP≌△ADN时，求BP的值是多少？‎ ‎26．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O，且与直线y=x﹣2交于B，C两点．‎ ‎（1）求抛物线的顶点A的坐标及点B，C的坐标；‎ ‎（2）求证：∠ABC=90°；‎ ‎（3）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017年河北省沧州市东光县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题有16个小题，共42分）‎ ‎1．﹣7的绝对值是（　　）‎ A．﹣7 B．7 C．±7 D．‎ ‎【考点】绝对值．‎ ‎【分析】当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数，据此求出﹣7的绝对值是多少即可．‎ ‎【解答】解：﹣7的绝对值是7．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．计算|﹣6|﹣（﹣）0的值是（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．5 D．7‎ ‎【考点】零指数幂；有理数的混合运算．‎ ‎【分析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质分别化简求出答案．‎ ‎【解答】解：|﹣6|﹣（﹣）0‎ ‎=6﹣1‎ ‎=5．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．下列四个图形中，对称轴最多的图形是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】轴对称图形．‎ ‎【分析】分别得出各图形的对称轴条数进而得出答案．‎ ‎【解答】解：A、D不是轴对称图形，‎ B、的对称轴有6条，‎ C的对称轴有1条，‎ ‎∴对称轴最多的图形是B，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）‎ A．x≥﹣1 B．x＞2 C．x≠2 D．x≥﹣1且x≠2‎ ‎【考点】二次根式有意义的条件．‎ ‎【分析】直接利用二次根式有意义的条件结合分式有意义的条件得出答案．‎ ‎【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，‎ ‎∴x+1≥0，且x﹣2≠0，‎ 解得：x≥﹣1且x≠2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长是（　　）‎ A．5 B．7.5 C．10 D．25‎ ‎【考点】一次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．‎ ‎【分析】根据待定系数法求得直线AB的解析式y=﹣x+5，设P点坐标为（m，﹣m+5），然后根据周长公式可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵A（5，0），B（0，5），‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣x+5，‎ ‎∵P是线段AB上任意一点（不包括端点），‎ ‎∴设P点坐标为（m，﹣m+5），‎ 如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，‎ ‎∵P点在第一象限，‎ ‎∴PD=﹣m+5，PC=m，‎ ‎∴矩形PDOC的周长为：2（m﹣m+5）=10，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=6，DH⊥AB于H，则AH等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平行四边形的性质．‎ ‎【分析】易证四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．‎ ‎【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AC⊥BD，‎ ‎∴平行四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，‎ ‎∴BC=5cm，‎ ‎∴S菱形ABCD=AC•BD=×6×8=24cm2，‎ ‎∵S菱形ABCD=BC×AH，‎ ‎∴BC×AH=24，‎ ‎∴AH=cm．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．在数轴上实数a，b的位置如图所示，化简|a+b|+的结果是（　　）‎ A．﹣2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣2b D．﹣2a ‎【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．‎ ‎【分析】直接利用数轴得出a+b＜0，a﹣b＜0，进而化简求出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：可得，a+b＜0，a﹣b＜0，‎ 故原式=﹣（a+b）﹣（a﹣b）‎ ‎=﹣2a．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．如图，已知正方形铁丝框ABCD边长为10，现使其变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为（　　）‎ A．50 B．100 C．150 D．200‎ ‎【考点】扇形面积的计算．‎ ‎【分析】由正方形的边长为10，可得的弧长为20，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=lr，计算即可．‎ ‎【解答】解：∵正方形的边长为20，‎ ‎∴的长=20，‎ ‎∴S扇形DAB=lr=×20×10=100，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．如图，OA，OB分别为⊙O的半径，若CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠P=70°，则∠DCE的度数为（　　）‎ A．70° B．60° C．50° D．40°‎ ‎【考点】圆周角定理；垂径定理．‎ ‎【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵∠P=70°，‎ ‎∴∠AOB=140°．‎ ‎∵CD⊥OA，CE⊥OB，‎ ‎∴∠ODC=∠OEC=90°，‎ ‎∴∠DCE=180°﹣140°=40°．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长为（　　）‎ A．13 B．17 C．18 D．25‎ ‎【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质．‎ ‎【分析】利用勾股定理可得AB的长，然后根据题意可得EF是AB的垂直平分线，进而可得AD的长和CD的长，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=12，AC=5，‎ ‎∴AB==13，‎ 根据题意可得EF是AB的垂直平分线，‎ ‎∴D是AB的中点，‎ ‎∴AD=AB=6.5，CD=AB=6.5，‎ ‎∴△ACD的周长为：13+5=18，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则关于点D的说法正确的是（　　）‎ 甲：点D在第一象限 乙：点D与点A关于原点对称 丙：点D的坐标是（﹣2，1）‎ 丁：点D与原点距离是．‎ A．甲乙 B．丙丁 C．甲丁 D．乙丙 ‎【考点】平行四边形的性质；两点间的距离公式；关于原点对称的点的坐标．‎ ‎【分析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标，再由勾股定理求出即可．‎ ‎【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），‎ ‎∴点A和点C关于原点对称，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴D和B关于原点对称，‎ ‎∵B（2，﹣1），‎ ‎∴点D的坐标是（﹣2，1），‎ ‎∴点D到原点的距离==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．下列各式变形中，不正确的是（　　）‎ A．x4•x3=x7 B． =|x|‎ C．（x2﹣）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣）2+‎ ‎【考点】分式的混合运算；同底数幂的乘法；完全平方公式；二次根式的性质与化简．‎ ‎【分析】A、根据同底数幂的乘法法则计算即可求解；‎ B、根据二次根式的性质化简即可求解；‎ C、根据分式的除法计算即可求解；‎ D、根据完全平方公式计算即可求解．‎ ‎【解答】解：A、x4•x3=x7是正确的，不符合题意；‎ B、=|x|是正确的，不符合题意；‎ C、（x2﹣）÷x=x﹣，原来的是错误的，符合题意；‎ D、x2﹣x+1=（x﹣）2+是正确的，不符合题意．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上，则这四个点组成的四边形ABB′A′的面积是（　　）‎ A．4 B．6 C．9 D．13‎ ‎【考点】坐标与图形变化﹣平移．‎ ‎【分析】首先根据平移的性质得出AB∥A′B′，且AB=A′B′，那么四边形ABB′A′是平行四边形，再利用勾股定理求出AB=BB′，那么▱ABB′A′是正方形，根据正方形的面积公式即可求解．‎ ‎【解答】解：∵线段AB经过平移得到线段A′B′，‎ ‎∴AB∥A′B′，且AB=A′B′，‎ ‎∴四边形ABB′A′是平行四边形，‎ ‎∵AB==，BB′==，‎ ‎∴AB=BB′，‎ ‎∴▱ABB′A′是正方形，‎ ‎∴四边形ABB′A′的面积=AB2=13．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎14．若关于x的一元二次方程x2+x+tana=0有两个相等的实数根，则锐角a等于（　　）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】由方程有两个相等的实数根得出△=3﹣4×tana=0，求得tana的值即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵方程x2+x+tana=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=3﹣4×tana=0，‎ 解得：tana=，‎ 则锐角a等于60°，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎15．如图，在任意△ABC中，DE∥BC，连接BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的有几个（　　）‎ ‎①=②=③=④=．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴=，①正确，‎ ‎=，②错误，‎ ‎=，③错误，‎ ‎，④错误，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎16．已知如图，点O为△ABD的外心，点C为直径BD下方弧BCD上一点，且不与点B，D重合，∠ACB=∠ABD=45°，则下列对AC，BC，CD之间的数量关系判断正确的是（　　）‎ A．AC=BC+CD B． AC=BC+CD C． AC=BC+CD D．2AC=BC+CD ‎【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，证明△ABC≌△ADE，得到△EAF是等腰直角三角形即可得出结论．‎ ‎【解答】解：在CD的延长线上截取DE=BC，连接EA，‎ ‎∵∠ABD=∠ACB=∠ABD=45°，‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∵∠ADE+∠ADC=180°，‎ ‎∠ABC+∠ADC=180°，‎ ‎∴∠ABC=∠ADE，‎ 在△ABC与△ADE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△ADE（SAS），‎ ‎∴∠BAC=∠DAE，‎ ‎∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，‎ ‎∴∠BAD=∠CAE=90°，‎ ‎∴∠ACD=∠ABD=45°，‎ ‎∴△CAE是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC=CE，‎ ‎∴AC=CD+DE=CD+BC，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题有3个小题，共10分）‎ ‎17．计算3﹣的结果是　﹣2　．‎ ‎【考点】二次根式的加减法．‎ ‎【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案．‎ ‎【解答】解：3﹣‎ ‎=3×﹣3‎ ‎=﹣3‎ ‎=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎18．当x=2时，分式（﹣1）÷的值是　﹣2　．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】先化简所求的式子，然后将x的值代入即可解答本题．‎ ‎【解答】解：（﹣1）÷‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ 当x=2时，原式=，‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎19．已知，如下图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭正多边形组成图案，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，搭建第n个图案需要　7n+1　根火柴棒，搭建第2017个图案需要　14120　根火柴棒．‎ ‎【考点】规律型：图形的变化类．‎ ‎【分析】（1）根据图案①、②、③中火柴棒的数量可知，第1个图形中火柴棒有8根，每多一个多边形就多7根火柴棒，由此可知第n个图案需火柴棒8+7（n﹣1）=7n+1根；www-2-1-cnjy-com ‎（2）根据（1）的结果，当n=2017时可得结果．‎ ‎【解答】解：（1）∵图案①需火柴棒：8根；‎ 图案②需火柴棒：8+7=15根；‎ 图案③需火柴棒：8+7+7=22根；‎ ‎…‎ ‎∴图案n需火柴棒：8+7（n﹣1）=7n+1根；‎ ‎（2）当n=2017时，7n+1=7×2017+1=14120，‎ ‎∴搭建第2017个图案需要14120根火柴棒；‎ 故答案为：7n+1；14120．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题有7个小题，共68分）‎ ‎20．计算：‎ ‎（1）﹣10﹣1+﹣5sin30°+（3.14﹣π）0‎ ‎（2）已知m2﹣5=3m，求代数式2m2﹣6m﹣1的值．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】（1）原式利用算术平方根、立方根定义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；‎ ‎（2）原式变形后，将已知等式整理代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：（1）原式=11﹣0.1+3﹣2.5+1=12.4；‎ ‎（2）∵m2﹣5=3m，即m2﹣3m=5，‎ ‎∴原式=2（m2﹣3m）﹣1=10﹣1=9．‎ ‎　‎ ‎21．已知直线l1∥l2∥l3，等腰直角△ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，若∠ACB=90°，l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为3，‎ 求：（1）线段AB的长；‎ ‎（2）的值．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．‎ ‎【分析】（1）过A作AN⊥直线l3于N，过B作BM⊥l3于M，根据全等三角形的判定得出△BMC≌△CNA，根据全等得出BM=CN，AN=CM，求出BM和CM，根据勾股定理求出BC、AC，再求出AB即可；‎ ‎（2）根据平行线性质得出∠DBC=∠BCM，根据相似三角形的判定得出△BCD∽△CMB，得出比例式，求出BD，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）‎ 过A作AN⊥直线l3于N，过B作BM⊥l3于M，‎ 则∠BMC=∠ANC=∠BCA=90°，‎ ‎∴∠BCM+∠MBC=90°，∠BCM+∠ACN=90°，‎ ‎∴∠MBC=∠ACN，‎ 在△BMC和△CNA中 ‎∴△BMC≌△CNA，‎ ‎∴BM=CN，AN=CM，‎ ‎∵l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为3，‎ ‎∴BM=CN=3，CM=AN=1+3=4，‎ 在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC=AC==5，‎ 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB==5；‎ ‎（2）∵直线l2∥直线l3，‎ ‎∴∠DBC=∠BCM，‎ ‎∵∠BCD=∠BMC=90°，‎ ‎∴△BCD∽△CMB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BD=，‎ ‎∵AB=5，‎ ‎∴==．‎ ‎　‎ ‎22．旭日商场销售A，B两种品牌的钢琴，这两种钢琴的进价和售价如下表所示：‎ A B 进价（万元/．套）‎ ‎1.5‎ ‎1.2‎ 售价（万元/套）‎ ‎1.65‎ ‎1.4‎ 该商场计划购进两种钢琴若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）‎ ‎（1）该商场计划购进A，B两种品牌的钢琴各多少套？‎ ‎（2）通过市场调查，该商场决定在原计划的基础上，减少A种钢琴的购进数量，增加B种钢琴的购进数量，已知B种钢琴增加的数量是A种钢琴减少数量的1.5倍，若用于购进这两种钢琴的总资金不超过69万元，问A种钢琴购进数量至多或减少多少套？‎ ‎【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】（1）首先设该商场计划购进A种品牌的钢琴x套，B种品牌的钢琴y套，根据题意即可列方程组，解此方程组即可求得答案；‎ ‎（2）首先设A种钢琴购进数量减少a套，则B种钢琴购进数量增加1.5a套，根据题意即可列不等式1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，解此不等式组即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）设该商场计划购进A种品牌的钢琴x套，B种品牌的钢琴y套，依题意有 ‎，‎ 解得：．‎ 答：该商场计划购进A种品牌的钢琴20套，B种品牌的钢琴30套；‎ ‎（2）设A种钢琴购进数量减少a套，则B种钢琴购进数量增加1.5a套，‎ ‎1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，‎ 解得：a≤10．‎ 答：A种钢琴购进数量至多减少10套．‎ ‎　‎ ‎23．在元旦来临之际，腾飞中学举行了隆重的庆祝活动，在校图书馆展开了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），“希望班”全班同学都参加了比赛，为了解这个班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图1）和扇形统计图（图2），根据图表中的信息解答下列各题：‎ ‎（1）请求出“希望班”全班人数；‎ ‎（2）请把折线统计图补充完整；‎ ‎（3）欢欢和乐乐参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；折线统计图．‎ ‎【分析】（1）由演讲人数12人，占25%，即可求得九（2）全班人数；‎ ‎（2）首先求得书法与国学诵读人数，继而补全折线统计图；‎ ‎（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们参加的比赛项目相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵演讲人数12人，占25%，‎ ‎∴九（2）全班人数为：12÷25%=48（人）；‎ ‎（2）∵国学诵读占50%，‎ ‎∴国学诵读人数为：48×50%=24（人），‎ ‎∴书法人数为：48﹣24﹣12﹣6=6（人）；‎ 补全折线统计图；‎ ‎（3）分别用A，B，C，D表示书法、国学诵读、演讲、征文，‎ 画树状图得：‎ ‎∵共有16种等可能的结果，他们参加的比赛项目相同的有4种情况，‎ ‎∴他们参加的比赛项目相同的概率为： =．‎ ‎　‎ ‎24．在一条笔直的公路的同侧依次排列着A ‎，C，B三个村庄，某天甲、乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止，从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．2-1-c-n-j-y 求：（1）甲的速度是　60km/h　，乙的速度是　80km/h　；‎ ‎（2）分别求出甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系式，并写出取值范围；‎ ‎（3）若甲、乙两车到C地后继续沿该公路原速度行驶，求甲车出发多少小时，两车相距350km．‎ ‎【考点】一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据速度=路程÷时间即可算出甲、乙两车的速度；‎ ‎（2）根据y甲=240﹣速度×时间即可列出y甲关于t的函数关系式；当0≤t≤1时，y乙=240；当1≤t≤4时，根据y乙=240﹣速度×时间即可列出y乙关于t的函数关系式；‎ ‎（3）当两车经过C地继续行驶时，先分析二者相距350km时，乙车有没有到达A地，再根据时间=路程÷速度和+4即可求出二者相距350km的时间．‎ ‎【解答】解：（1）240÷4=60（km/h）；‎ ‎240÷（4﹣1）=80（km/h）．‎ 故答案为：60km/h；80km/h．‎ ‎（2）根据题意得：y甲=﹣60t+240（0≤t≤4）．‎ 当0≤t≤1时，y乙=240；‎ 当1≤t≤4时，y乙=240﹣80（t﹣1）=﹣80t+320．‎ ‎∴y乙=．‎ ‎（3）当甲、乙两车经过C地继续行驶时，350÷（80+60）=（h），‎ ‎∵80×=200（km），200＜240，‎ ‎∴当甲、乙两车离开C地并相距350km时，乙车尚未到达A地，‎ ‎∴+4=（h）．‎ 答：甲车出发h时，两车相距350km．‎ ‎　‎ ‎25．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．‎ 发现：△CMP和△BPA是否相似，若相似给出证明，若不相似说明理由；‎ 思考：线段AM是否存在最小值？若存在求出这个最小值，若不存在，说明理由；‎ 探究：当△ABP≌△ADN时，求BP的值是多少？‎ ‎【考点】相似形综合题．‎ ‎【分析】发现：先证明∠MPA=90°，然后依据同角的余角相等可证明∠CPM=∠PAB，结合条件∠C=∠B=90°，可证明量三角形相似；‎ 思考：设PB=x，则CP=4﹣x，依据相似三角形的性质可得到CM=x（4﹣x），作MG⊥AB于G，依据勾股定理可得到AM=，则AG最小值时，AM最小，然后由AG=AB﹣BG=AB﹣CM得到AG与x的函数关系，依据二次函数的性质可求得当x=2时，AG最小值=3；‎ 探究：依据全等三角形的性质和翻折的性质可得到∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z．然后可证明△BPK为等腰直角三角形，故此得到PB=BK=z，AK=PK=z，最后依据AK+BK=4列出关于z的方程求解即可．‎ ‎【解答】解：发现．∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∠CPN+∠NPB=180°，‎ ‎∴2∠NPM+2∠APE=180°，‎ ‎∴∠MPN+∠APE=90°，‎ ‎∴∠APM=90°，‎ ‎∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，‎ ‎∴∠CPM=∠PAB．‎ 又∵∠C=∠B=90°，‎ ‎∴△CMP∽△BPA．‎ 思考：设PB=x，则CP=4﹣x．‎ ‎∵△CMP∽△BPA，‎ ‎∴，‎ ‎∴CM=x（4﹣x）．‎ 如图1所示：作MG⊥AB于G．‎ ‎∵AM==，‎ ‎∴AG最小值时，AM最小．‎ ‎∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣x（4﹣x）=（x﹣2）2+3，‎ ‎∴x=2时，AG最小值=3．‎ ‎∴AM的最小值==5．‎ 探究：∵△ABP≌△ADN，‎ ‎∴∠PAB=∠DAN，AP=AN，‎ 又∵∠PAB=∠EAP，∠AEP=∠B=90°，‎ ‎∴∠EAP=∠EAN，‎ ‎∴∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°．‎ 如图2：在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z．‎ ‎∴∠KPA=∠KAP=22.5°，‎ ‎∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，‎ ‎∴∠BPK=∠BKP=45°，‎ ‎∴PB=BK=z，AK=PK=z，‎ ‎∴z+z=4，‎ ‎∴z=4﹣4．‎ ‎∴PB=4﹣4．‎ ‎　‎ ‎26．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O，且与直线y=x﹣2交于B，C两点．‎ ‎（1）求抛物线的顶点A的坐标及点B，C的坐标；‎ ‎（2）求证：∠ABC=90°；‎ ‎（3）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；2·1·c·n·j·y ‎（4）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标；‎ ‎（2）由A、B、C的坐标可求得AB2、BC2和AC2，由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；‎ ‎（3）过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，设出P点坐标，则可表示出G点坐标，从而可表示出PG的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标；‎ ‎（4）设出M、N的坐标，则可表示出MN和ON的长度，由相似三角形的性质可得到关于N点坐标的方程可求得N点坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，‎ ‎∴抛物线顶点坐标A（1，1），‎ 联立抛物线与直线解析式可得，解得或，‎ ‎∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；‎ ‎（2）证明：‎ 由（1）可知B（2，0），C（﹣1，﹣3），A（1，1），‎ ‎∴AB2=（1﹣2）2+12=2，BC2=（﹣1﹣2）2+（﹣3）2=18，AC2=（﹣1﹣1）2+（﹣3﹣1）2=20，‎ ‎∴AC2=AB2+BC2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，‎ ‎∴∠ABC=90°；‎ ‎（3）如图，过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，‎ 设P（t，﹣t2+2t），则G（t，t﹣2），‎ ‎∵点P在直线BC上方，‎ ‎∴PG=﹣t2+2t﹣（t﹣2）=﹣t2+t+2=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∴S△PBC=S△PGB+S△PGC=PG[2﹣（﹣1）]= PG=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴当t=时，S△PBC有最大值，此时P点坐标为（，），‎ 即存在满足条件的点P，其坐标为（，）；‎ ‎（4）∵∠ABC=∠ONM=90°，‎ ‎∴当△OMN和△ABC相似时，有=或=，‎ 设N（m，0），‎ ‎∵MN⊥x轴，‎ ‎∴M（m，﹣m2+2m），‎ ‎∴MN=|﹣m2+2m|，ON=|m|，‎ ‎①当=时，即=，解得m=5或m=﹣1或m=0（舍去）；‎ ‎②当=时，即=，解得m=或m=或m=0（舍去）；‎ 综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（5，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）．‎ ‎　‎ ‎2017年4月19日