2017年山东省临沂市中考数学模拟试卷（4）
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．±3 C．+3 D．以上都不对
2．我省大力开展节能增产活动，开发利用煤矿安全“杀手”煤层瓦斯发电．经测算，我省深层煤层瓦斯资源量可发电1400亿千瓦时以上，1400亿千瓦时用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×1012千瓦时 B．1.4×1011千瓦时
C．1.4×1010千瓦时 D．14×1010千瓦时
3．如图，直线a∥b，则∠A的度数是（ ）
A．38° B．48° C．42° D．39°
4．下列各式中计算正确的是（ ）
A．x3•x3=2x6 B．（xy2）3=xy6 C．（a3）2=a5 D．t10÷t9=t
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．化简的结果是（ ）
A． B． C．（x+1）2 D．（x﹣1）2
7．一个立体图形的三视图如图所示．根据图中数据求得这个立体图形的表面积为（ ）
A．2π B．6π C．7π D．8π
8．一个不透明的袋子中有3个分别标有3，1，﹣2的球，这些球除了所标的数字不同外其他都相同，若从袋子中随机摸出两个球，则这两个球上的两个数字之和为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），若反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
10．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
11．一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2 B．k＜2 C．k＜2且k≠1 D．k＞2且k≠1
12．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，D是梯上一点，梯脚B与墙脚的距离为1.6m（即BC的长），点D与墙的距离为1.4m（即DE的长），BD长为0.55m，则梯子的长为（ ）
A．4.50m B．4.40m C．4.00m D．3.85m
13．在图1、图2、图3…中，菱形A1B1C1D1、菱形A2B2C2D2、菱形A3B3C3D3…都是由全等的小三角形拼成，菱形AnBnCnDn中有200个全等的小三角形，则n的值为（ ）2-1-c-n-j-y
A．10 B．15 C．20 D．25
14．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．分解因式：﹣3x3y+27xy= ．
16．已知5个数据：8，8，x，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 ．
17．设x，y为任意实数，定义运算：x*y=（x+1）（y+1）﹣1，得到下列五个命题：
①x*y=y*x；②x*（y+z）=x*y+x*z；③（x+1）*（x﹣1）=（x*x）﹣1；④x*0=0；⑤（x+1）*（x+1）=x*x+2*x+1；
其中正确的命题的序号是 ．
18．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是 ．
19．如图，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y=的图象上，CD平行于y轴，S△OCD=，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．计算：|1﹣|+（π﹣2015）0﹣2sin45°+（）﹣2．
21．已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
22．某中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动．通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，下面两图（如图）是根据这组数据绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中所提供的信息解答下列问题：
（1）求在这次活动中一共调查了多少名学生；
（2）在扇形统计图中，求“教师”所在扇形的圆心角的度数；
（3）补全两幅统计图．
23．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）描述乙队在0～6（h）内所挖河渠的长度变化情况；
（2）请你求出：乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，甲队在施工过程中所挖河渠的长度y的值在30和50之间变化？
24．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A；2·1·c·n·j·y
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的长．
25．问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）
特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．
归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．
26．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
2017年山东省临沂市中考数学模拟试卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．±3 C．+3 D．以上都不对
【考点】绝对值．
【分析】根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣3|=3．
故﹣3的绝对值是3．
故选C．
2．我省大力开展节能增产活动，开发利用煤矿安全“杀手”煤层瓦斯发电．经测算，我省深层煤层瓦斯资源量可发电1400亿千瓦时以上，1400亿千瓦时用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×1012千瓦时 B．1.4×1011千瓦时
C．1.4×1010千瓦时 D．14×1010千瓦时
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1 400亿千瓦时用科学记数法表示为1.4×1011千瓦时．
故选B．
3．如图，直线a∥b，则∠A的度数是（ ）
A．38° B．48° C．42° D．39°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质求解．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠DBC=80°（两直线平行，内错角相等）
∵∠DBC=∠ADB+∠A（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和），
∴∠A=∠DBC﹣∠ADB=80°﹣32°=48°．
故选B．
4．下列各式中计算正确的是（ ）
A．x3•x3=2x6 B．（xy2）3=xy6 C．（a3）2=a5 D．t10÷t9=t
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】分别进行同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法等运算结合选项选出正确答案即可．
【解答】解；A、x3•x3=x6，原式计算错误，故本选项错误；
B、（xy2）3=x3y6，原式计算错误，故本选项错误；
C、（a3）2=a6，原式计算错误，故本选项错误；
D、t10÷t9=t，原式计算正确，故本选项正确；
故选D．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：
由①得x＞3，
由②得x≤﹣1，
则不等式组的解集为空集．
故选D．
6．化简的结果是（ ）
A． B． C．（x+1）2 D．（x﹣1）2
【考点】分式的混合运算．
【分析】将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并，同时将除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到最简结果．
【解答】解：（1﹣）÷
=÷
=•（x+1）（x﹣1）
=（x﹣1）2．
故选D
7．一个立体图形的三视图如图所示．根据图中数据求得这个立体图形的表面积为（ ）
A．2π B．6π C．7π D．8π
【考点】由三视图判断几何体；圆柱的计算．
【分析】从三视图可以看正视图以及俯视图为矩形，而左视图为圆形，可以得出该立体图形为圆柱，再由三视图可以圆柱的半径，长和高求出体积．
【解答】解：∵正视图和俯视图是矩形，左视图为圆形，
∴可得这个立体图形是圆柱，
∴这个立体图形的侧面积是2π×3=6π，
底面积是：π•12=π，
∴这个立体图形的表面积为6π+2π=8π；
故选D．
8．一个不透明的袋子中有3个分别标有3，1，﹣2的球，这些球除了所标的数字不同外其他都相同，若从袋子中随机摸出两个球，则这两个球上的两个数字之和为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出这两个球上的两个数字之和为负数的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表得：
3
1
﹣2
3
﹣﹣﹣
（1，3）
（﹣2，3）
1
（3，1）
﹣﹣﹣
（﹣2，1）
﹣2
（3，﹣2）
（1，﹣2）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有6种，其中两个数字之和为负数的情况有2种，
则P==．
故选：B．
9．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），若反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据菱形的对称性求出点A的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可得解．
【解答】解：∵菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），
∴点A的坐标为（3，2），
∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A，
∴=2，
解得k=6．
故选D．
10．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE=OC=2，
∴CD=2CE=4．
故选：C．
11．一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2 B．k＜2 C．k＜2且k≠1 D．k＞2且k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，以及二次项系数不等于0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围．
【解答】解：∵a=1﹣k，b=﹣2，c=﹣1，方程有两个不相等的实数根．
∴△=b2﹣4ac=4+4（1﹣k）=8﹣4k＞0
∴k＜2
又∵一元二次方程的二次项系数不为0，即k≠1．
∴k＜2且k≠1．
故选C．
12．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，D是梯上一点，梯脚B与墙脚的距离为1.6m（即BC的长），点D与墙的距离为1.4m（即DE的长），BD长为0.55m，则梯子的长为（ ）
A．4.50m B．4.40m C．4.00m D．3.85m
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】可由平行线分线段成比例建立线段之间的关系，进而求解线段AB的长度即可．
【解答】解：由图可得，，又BC=1.6m，DE=1.4，BD=0.55m，
代入可得：，
解得：AB=4.40m，
故选：B．
13．在图1、图2、图3…中，菱形A1B1C1D1、菱形A2B2C2D2、菱形A3B3C3D3…都是由全等的小三角形拼成，菱形AnBnCnDn中有200个全等的小三角形，则n的值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】仔细观察图形发现图形变化的规律，利用发现的规律解题即可．
【解答】解：第一个图形中有1×2=2个小三角形，
第二个图形有2×4=8个小三角形，
第三个图形有3×6=18个小三角形，
…
第n个图形有n×2n=2n2个小三角形，
当2n2=200时，解得：n=10，
故选A．
14．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据等边三角形，菱形，正方形，圆的性质，分析得到y随x的增大的变化关系，然后选择答案即可．
【解答】解：A、等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化，
在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a，
则y=（a＜x＜2a），符合题干图象；
B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，
在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；
C、正方形，点P在开始与结束的两边上直线变化，
在另两边上，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；
D、圆，AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合．
故选：A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．分解因式：﹣3x3y+27xy= ﹣3xy（x+3）（x﹣3） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式﹣3xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：﹣3x3y+27xy，
=﹣3xy（x2﹣9），﹣﹣（提取公因式）
=﹣3xy（x+3）（x﹣3）．﹣﹣（平方差公式）．
16．已知5个数据：8，8，x，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 8或10 ．
【考点】中位数；算术平均数；众数．
【分析】根据这组数据的某个众数与平均数相等，得出平均数等于8或10，求出x从而得出中位数，即是所求答案．
【解答】解：设众数是8，则由，
解得：x=4，故中位数是8；
设众数是10，则由，
解得：x=14．
故中位数是10．
故答案为：8或10．
17．设x，y为任意实数，定义运算：x*y=（x+1）（y+1）﹣1，得到下列五个命题：
①x*y=y*x；②x*（y+z）=x*y+x*z；③（x+1）*（x﹣1）=（x*x）﹣1；④x*0=0；⑤（x+1）*（x+1）=x*x+2*x+1；
其中正确的命题的序号是 ①③ ．
【考点】整式的混合运算．
【分析】根据题中规定的运算法则对各选项新定义的运算进行计算，判断即可解答．
【解答】解：①x*y=y*x=xy+x+y，正确；
②x*（y+z）=（x+1）*（y+z+1）﹣1，错误；
③（x+1）*（x﹣1）=（x+2）x﹣1=（x*x）﹣1，正确；
④x*0=x，错误；
⑤（x+1）*（x+1）=x*x﹣1，错误．
故答案为①③．
18．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是 （1，0） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【分析】先画出旋转后的图形，然后写出B′点的坐标．
【解答】解：如图，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，点B的对应点B′的坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
19．如图，直线y=x﹣2与x轴、y
轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y=的图象上，CD平行于y轴，S△OCD=，则k的值为 5 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据点C在直线y=x﹣2，可得点C的坐标，根据三角形的面积，可得DC的长，可得D点的坐标，根据待定系数法，可得答案．
【解答】解；∵直线y=x﹣2，点C在直线上，且点C的纵坐标为﹣1，
∴x=2，
∴点C（2，﹣1），
∵CD平行于y轴，
∴O到CD的距离是2，
设D（2，y），则DC=y+1
∵S△OCD==，
∴y=，
∴D（2，）
∵点D在反比例函数y=的图象上
∴k=xy=2×=5，
故答案为：5．
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．计算：|1﹣|+（π﹣2015）0﹣2sin45°+（）﹣2．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】根据绝对值的性质、零指数幂、三角函数值及负整数指数幂分别计算可得．
【解答】解：原式=﹣1+1﹣+4=4．
21．已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．
【分析】①根据DE∥AC，DF∥AB可判断四边形AEDF为平行四边形；
②由四边形AEDF为菱形，能得出AD为∠BAC的平分线即可；
③由四边形AEDF为正方形，得∠BAC=90°，即当△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
【解答】解：①∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形；
②∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形；
③由四边形AEDF为正方形，∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
22．某中学开展以“我最喜欢的职业”为主
题的调查活动．通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，下面两图（如图）是根据这组数据绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中所提供的信息解答下列问题：
（1）求在这次活动中一共调查了多少名学生；
（2）在扇形统计图中，求“教师”所在扇形的圆心角的度数；
（3）补全两幅统计图．
【考点】折线统计图；全面调查与抽样调查；扇形统计图．
【分析】（1）通过对比条形统计图和扇形统计图可知：喜欢的职业是公务员的有40人，占样本的20%，所以被调查的学生数即可求解；
（2）各个扇形的圆心角的度数=360°×该部分占总体的百分比，乘以360度即可得到“教师”所在扇形的圆心角的度数；
（3）找出两个统计图中共同的已知量，就可以求出教师、其它所占的百分比，以及教师、医生的人数，将图形补充完整即可．
【解答】解：
（1）被调查的学生数为（人）
（2）“教师”所在扇形的圆心角的度数为（1﹣15%﹣20%﹣10%﹣×100%）×360°=72°
（3）如图，补全图
如图，补全图
23．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）描述乙队在0～6（h）内所挖河渠的长度变化情况；
（2）请你求出：乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，甲队在施工过程中所挖河渠的长度y的值在30和50之间变化？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的图象关系即可作出描述．
（2）设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据函数过点（2，30）、（6，50），可求出k与b的值，进而确定关系式．
（3）设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y=kx，由图可知，函数图象过点（6，60），从而解出k的值，然后根据30≤y≤50可得出x的范围．
【解答】解：（1）如图，乙队从挖河渠开始至2时，长度由0米增加到30米，从第2时至6时，长度由30米增加到60米．
（2）设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），
∴，
解得，
∴y=5x+20；
（3）设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y=kx，
由图可知，函数图象过点（6，60），
∴6k=60，
解得k=10，
∴y=10x．
当y=30时，x=3；
当y=50时，x=5．
∴当3≤x≤5时，甲队所挖河渠的长度y的值在30和50之间变化．
24．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A；
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的长．
【考点】直线与圆的位置关系；直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）结论：BD是圆的切线，已知此线过圆O上点D，连接圆心O和点D（即为半径），再证垂直即可；
（2）通过作辅助线，根据已知条件求出∠CBD的度数，在Rt△BCD中求解即可．
【解答】解：（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图，连接OD．
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=90°
∴直线BD与⊙O相切．
（2）解法一：如图，连接DE．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°
∵AD：AO=8：5
∴cosA=AD：AE=4：5
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
cos∠CBD=BC：BD=4：5
∵BC=2，BD=；
解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H．
∴AH=DH=AD
∵AD：AO=8：5
∴cosA=AH：AO=4：5
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
∴cos∠CBD=BC：BD=4：5，
∵BC=2，
∴BD=．
25．问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）
特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．
归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
【分析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE．
归纳证明：△ABD与△CAE全等．利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质以及三角形外角定理推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=120°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE；
拓展应用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的对应角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度数．
【解答】特例探究：
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，
在△ABD与△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
解：归纳证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：
∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠DBA=∠EAC=120°．
在△ABD与△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
拓展应用：∵点O在AB的垂直平分线上，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=50°，
∴∠EAC=∠DBC．
在△ABD与△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠BDA=∠AEC=32°，
∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．
26．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】方法一：
（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．
（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．
（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．
方法二：
（1）略．
（2）通过求出A，B，C三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC，从而求出圆心坐标．
（3）利用三角形面积公式，过M点作x轴垂线，水平底与铅垂高乘积的一半，得出△MBC的面积函数，从而求出M点．
【解答】方法一：
解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：
0=16a﹣×4﹣2，即：a=；
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．
（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；
所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．
（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：
x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；
∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；
∴直线l：y=x﹣4．
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：
，
解得：
即 M（2，﹣3）．
过M点作MN⊥x轴于N，
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．
方法二：
（1）略．
（2）∵y=（x﹣4）（x+1），
∴A（﹣1，0），B（4，0）．C（0，﹣2），
∴KAC==﹣2，KBC==，
∴KAC×KBC=﹣1，∴AC⊥BC，
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，△ABC的外接圆的圆心是AB的中点，△ABC的外接圆的圆心坐标为（，0）．
（3）过点M作x轴的垂线交BC′于H，
∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴lBC：y=x﹣2，
设H（t， t﹣2），M（t， t2﹣t﹣2），
∴S△MBC=×（HY﹣MY）（BX﹣CX）=×（t﹣2﹣t2+t+2）（4﹣0）=﹣t2+4t，
∴当t=2时，S有最大值4，
∴M（2，﹣3）．
2017年4月17日
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