福建省泉州市2017届高三3月质量检测数学理试题含解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年泉州市普通高中毕业班质量检查 理科数学 一、选择题：‎ ‎1.已知为复数的共轭复数，且，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：A 解析：依题意，有：，所以，＝‎ ‎2.已知集合，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：B 解析：集合，‎ ‎＝，所以，‎ ‎3. 若实数满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C．1 D． 4‎ 答案：B 解析：不等式组表示的平面区域如下图所示，‎ 表示平面区域三角形ABC上一点到原点的距离的平方，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 点（0,0）到直线的距离为d＝，所以，z的最小值为d2＝‎ ‎4.已知向量满足，则 （ ）‎ A． 2 B． C. 4 D．‎ 答案：A 解析：因为，所以，，‎ 又，所以，＝3，所以，＝2，‎ ‎。‎ ‎5. 已知为数列的前项和且，则的值为（ ）‎ A． 8 B．10 C. 16 D．32‎ 答案：D 解析：，即＝2，又－2，得＝2，‎ 所以，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎＝，所以，S5－S4＝62－30＝32‎ ‎6.已知函数，且对于任意的，.则 （ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 答案：C 解析：，因为，所以，在处，函数取得最大值，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即为对称轴，所以，令x为，可得：‎ ‎7. 函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ 答案：D 解析：函数f（x）为偶函数，排除A；‎ 当x＞0时，，，‎ 当时，，函数f（x）在递增，排除C；‎ ‎＜0，所以，在内单调递减，‎ 所以，函数f（x）在内先增后减，选D。‎ ‎8.关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 答案：A 解析：原方程化为：，令，则，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在x＝1处取得最小值，，，，‎ 从而原方程有两解，选A。‎ ‎9.机器人（阿法狗）在下围棋时，令人称道的算法策略是：每一手棋都能保证在接下来的十几步后，局面依然是满意的.这种策略给了我们启示：每一步相对完美的决策，对最后的胜利都会产生积极的影响.‎ 下面的算法是寻找“”中“比较大的数”，现输入正整数“42，61，80，12，79，18，82，57，31，18“，从左到右依次为，其中最大的数记为，则 （ ）‎ A．0 B． 1 C. 2 D．3‎ 答案：D 解析：第1次循环：m＝42，t＝61，n＝80，i＝2；‎ 第2次循环：m＝61，t＝80，n＝12，i＝3；‎ 第3次循环：m＝80，t＝12，n＝79，i＝4；‎ 第4次循环：m＝12，t＝79，n＝18，i＝5；‎ T－t＝82-79＝3‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是 （ ）‎ A．圆弧 B．抛物线的一部分 C. 椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 答案：D 解析：如图所示，三视图所对应的几何体为对顶的两个圆锥各沿坚直方程切了一刀，根据圆锥曲线的几何意义知，为双曲线的一部分。‎ ‎11.已知抛物线的焦点为，准线为过的直线与交于两点，分别为在上的射影，为的中点，若与不平行，则是（ ）‎ A．等腰三角形且为锐角三角形 B．等腰三角形且为钝角三角形 ‎ C.等腰直角三角形 D．非等腰的直角三角形 答案：A 解析：如图，不妨设抛物线方程为：‎ 过M点做直线NM垂直CD于N，显然NM是线段CD的中垂线。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故有MC＝MD，即△MCD为等腰三角形，设直线AB的方程为：，t为参数，‎ ‎12. 数列满足，则数列的前100项和为（ ）‎ A． 5050 B．5100 C.9800 D．9850‎ 答案：B 解析：设 ‎1）当时，，即；‎ ‎2）当－1时，；‎ ‎3）当+1时，；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝5050‎ 故前100项和为50+5050＝5100，选B 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.某厂在生产甲产品的过程中，产量（吨）与生产能耗（吨）的对应数据如下表：‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎25‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎45‎ 根据最小二乘法求得回归直线方程为．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为 吨．‎ 答案：59‎ 解析：＝45，，回归直线方程经过样本点中心（45，），‎ 得＝7，故 当x＝80时，。‎ ‎14. 的展开式中，的系数为 ．‎ 答案：8‎ 解析：展开式中含的项为 ‎15.已知为双曲线的一条渐近线，与圆（其中）相交于两点，若，则的离心率为 ．‎ 答案：‎ 解析：如图所示，F为双曲线的右焦点，依题意，有 BF＝AF＝AB＝，故三角形ABF为正三角形，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 点F到渐近线的距离，‎ ‎16.如图，一张纸的长、宽分别为．分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线掀折起，使得四点重合为一点，从而得到一个多面体．关于该多面体的下列命题，正确的是 ．（写出所有正确命题的序号）‎ ‎①该多面体是三棱锥；　②平面平面；③平面平面；‎ ‎④该多面体外接球的表面积为 答案：①②③④‎ 解析：（1）如图所示，知BP⊥AP，BP⊥CP，故BP⊥平面APC，‎ 同理DP⊥平面APC，BP与DP相交于点P，B、P、D共线 所以，该多面体为三棱锥，①正确。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 的内角的对边分别为，且．‎ ‎（1）证明：成等比数列；‎ ‎（2）若角的平分线交于点，且，求．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎18.如图，在以为顶点的多面体中，平面，平面，．‎ ‎（1）请在图中作出平面，使得，且，并说明理由；‎ ‎（2）求直线和平面所成角的正弦值．‎ ‎19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记为0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示.‎ 等级 不合格 合格 得分 频数 ‎6‎ ‎24‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的分布列及数学期望；‎ ‎（3）某评估机构以指标（，其中表示 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的方差）来评估该校安全教育活动的成效．若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？‎ ‎20. 中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且．‎ ‎（1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若是射线上不同两点，，过点的直线与交于，直线与交于另一点．证明：是等腰三角形．‎ ‎21. 已知函数．‎ ‎（1）若直线与曲线恒相切于同一定点，求的方程；‎ ‎（2）当时，，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）当时，与相交于两点，求的最小值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若直线与曲线围成一个三角形，求实数的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ABBAD 6-10: CDADD 11、12：AB 二、填空题 ‎13. 59 14. 8 15. 16. ①②③④‎ 三、解答题 ‎17.解法一:‎ ‎（1）因为，‎ 所以 ，‎ 化简可得，‎ 由正弦定理得，，故成等比数列.‎ ‎（2）由题意，得，‎ 又因为是角平分线，所以，即，‎ 化简得，，即.‎ 由（1）知，，解得，‎ 再由得，（为中边上的高），‎ 即，又因为，所以.‎ ‎【注】利用角平分线定理得到同样得分，‎ 在中由余弦定理可得，，‎ 在中由余弦定理可得，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即，求得.‎ 解法二：（1）同解法一.‎ ‎（2）同解法一，.‎ 在中由余弦定理可得，，‎ 在中由余弦定理可得，，‎ 即，求得.‎ 解法三：‎ ‎（1）同解法一.‎ ‎（2）同解法二，.‎ 在中由余弦定理可得，，‎ 由于，从而可得，‎ 在中由余弦定理可得，，求得，‎ 在中由正弦定理可得，，即.‎ ‎【注】若求得的值后，在中应用正弦定理求得的，请类比得分.‎ 解法四：‎ ‎（1）同解法一.‎ ‎（2）同解法一，.‎ 在中由余弦定理得，，‎ 在中由余弦定理得，，‎ 因为，所以有，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故，‎ 整理得，，即.‎ ‎18.解：（1）如图，取中点，连接，则平面即为所求的平面.‎ 显然，以下只需证明平面；‎ ‎∵，‎ ‎∴且，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 又平面平面，‎ ‎∴平面平面.‎ 又平面，‎ ‎∴平面，即平面.‎ ‎（2）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 过点作并交于，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，即两两垂直，‎ 以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.在等腰梯形中，∵，‎ ‎∴，‎ 则.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎ 设平面的法向量，‎ 由，得，‎ 取，可得平面的一个法向量.‎ 设直线和平面所成角为，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故直线和平面所成角的正弦值为.‎ ‎19.解：（1）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，‎ 故抽取的学生答卷数为：，‎ 又由频率分布直方图可知，得分在的频率为0.2，‎ 所以，‎ 又，得，‎ 所以.‎ ‎.‎ ‎（2）“不合格”与“合格”的人数比例为24：36=2：3，‎ 因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人.‎ 所以有20，15，10，5，0共5种可能的取值.‎ 的分布列为：‎ ‎，.‎ 的分布列为：‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ 所以.‎ ‎（3）由（2）可得 ‎，‎ 所以，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.‎ ‎20.解法一：‎ ‎（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.‎ 依题意得.‎ 由，得，‎ 因为故，‎ 所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），‎ 所以的轨迹方程为.‎ 设，依题意，‎ 所以，即，‎ 代入的轨迹方程得，，‎ 所以点的轨迹的方程为.‎ ‎（2）设.‎ 由题意得直线不与坐标轴平行，‎ 因为，所以直线为，‎ 与联立得，‎ ‎，‎ 由韦达定理，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 同理，‎ 所以或，‎ 当时，轴，‎ 当时，由，得，‎ 同理，轴.‎ 因此，故是等腰三角形.‎ 解法二：‎ ‎（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.‎ 依题意得.‎ 在轴上取，‎ 因为点在线段上，且，‎ 所以，‎ 则，‎ 故的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点），‎ 所以点的轨迹的方程为.‎ ‎（2）设，，‎ 由题意得，直线斜率不为0，且，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故设直线的方程为：，其中，‎ 与椭圆方程联立得，，‎ 由韦达定理可知，，‎ 其中，‎ 因为满足椭圆方程，故有，‎ 所以.‎ 设直线的方程为：，其中，‎ 同理，‎ 故 ‎，‎ 所以，即轴，‎ 因此，故是等腰三角形.‎ ‎21.解：（1）因为直线与曲线恒相切于同一定点，‎ 所以曲线必恒过定点，‎ 由，令，得，‎ 故得曲线恒过的定点为.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为，所以切线的斜率，‎ 故切线的方程为，即.‎ ‎（2）令，‎ ‎.‎ 令，‎ ‎.‎ ① 当时，因为，‎ 所以在上单调递增，故，‎ 因为当时，，‎ 所以在上单调递增，故.‎ 从而，当时，恒成立.‎ ② 当时，‎ 因为在上单调递增，所以，‎ 故与①同理，可得当时，恒成立.‎ ③ 当时，在上单调递增，‎ 所以当时，在内取得最小值.‎ 取，‎ 因为，‎ 所以，‎ 前述说明在内，存在唯一的，使得，且当时，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即在上单调递减，‎ 所以当时，，‎ 所以在上单调递减，‎ 此时存在，使得，不符合题设要求.‎ 综上①②③所述，得的取值范围是.‎ 说明：③也可以按以下方式解答：‎ 当时，在上单调递增，‎ 所以当时，在内取得最小值，‎ 当时，，所以，‎ 故存在，使得，且当时，，‎ 下同前述③的解答.‎ ‎22.解一：（1）由直线的参数方程（为参数），‎ 消去参数得，，‎ 即直线的普通方程为，‎ 由圆的极坐标方程为，得，‎ 将代入(*)得， ，‎ 即的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入得，，‎ ‎，‎ 设两点对应的参数分别为，‎ 则，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以，‎ 因为，‎ 所以当时，取得最小值.‎ ‎【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】‎ 解法二：（1）同解法一 ‎（2）由直线的参数方程知，直线过定点，‎ 当直线时，线段长度最小.‎ 此时，，‎ 所以的最小值为.‎ 解法三：‎ ‎（1）同解法一 ‎（2）圆心到直线的距离，‎ ‎，‎ 又因为，‎ 所以当时，取得最大值.‎ 又，‎ 所以当时，取得最小值.‎ ‎23.解：（1）.‎ ‎①当时，由不等式，解得.‎ 此时原不等式的解集是：.‎ ‎②当时，由不等式，解得.‎ 此时原不等式的解集是：.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎③当时，由不等式，解得，‎ 此时原不等式的解集是：.‎ 综上可得原不等式的解集为.‎ ‎（2）由（1）可得，函数的图像是如下图所示的折线图.‎ 因为，‎ 故当时，直线与曲线围成一个三角形，‎ 即的范围是.‎ ‎【注：范围正确，不倒扣】‎ 且当时，.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费