广东省惠州市2017届高三4月模拟数学理科试题含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 惠州市2017届高三模拟考试 数 学(理科)2017.04‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎（1）已知集合，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）若复数（为虚数单位），则=（ ） ‎ ‎（A）3 （B）2 （C） （D）‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，‎ 那么输入的为（ ）‎ ‎（A） （B）或 （C） （D）‎ ‎（4）已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上一点满足轴．若，则该双曲线的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　)‎ ‎（A）y＝1－x2 　　（B）y＝log2|x| （C）y＝－　 （D）y＝x3－1‎ ‎（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）的展开式中的系数为（ ）‎ ‎（A）25 （B）5 （C）15 （D）20‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（8）设，变量x，y满足条件，则z的最小值为（　　）‎ ‎（A）2 （B）4 （C）8 （D）16‎ ‎（9）已知的最小正周期是，将图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则（ ）‎ ‎（A）在区间上单调递减 （B）在区间上单调递增 ‎（C）在区间上单调递减 （D）在区间上单调递增 ‎（10）已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），‎ 若，则直线的斜率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（11）三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，点在上，且满足，直线与平面所成角的正切值取最大值时的值为（  ）‎ ‎（A）       （B）    （C）    （D）‎ ‎（12）设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎（13）在边长为1的正三角形中，设，则 ．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（14）已知，则 ．‎ ‎（15）我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”是面积。意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 ___________．‎ ‎（16）已知中，,，若线段的延长线上存在点，使，则____________．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为等；分数在内，记为等；分数在内，记为等；60分以下，记为等.同时认定为合格，为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示. ‎ ‎（Ⅰ）求图1中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图所示，四棱锥的底面是梯形，且，面，是中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，‎ 求直线与平面所成角的大小．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的一个焦点为，其左顶点在圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴的交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数在处的切线方程为 ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若为整数，当时，恒成立，求的最大值（其中 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 为的导函数）．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎（22）（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，若点的直角坐标为，‎ 试求当时，的值.‎ ‎（23）（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）若，恒有成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，使得成立，求实数的取值范围.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 惠州市2017届高三模拟考试 数学（理科）参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C ‎ B D B A B C C B D A D ‎1．【解析】 ,,故选C．‎ ‎2．【解析】，所以=2 ,故选B．‎ ‎3．【解析】程序框图表示，所以，解得：，，解集为空，所以，故选D.‎ ‎4【解析】，故．‎ ‎5【解析】函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项A符合要求，故应选A.‎ ‎6．【解析】画出满足条件的四棱锥，底面是边长为3的正方形，顶点在底面的射影为点B，高为4，根据垂直关系可得，，为直角三角形和和的公共斜边，所以取中点，为四棱锥外接圆的圆心，，，那么四棱锥外接球的表面积为，故选B.‎ ‎7．【解析】，含有项的构成为，故选C．‎ ‎8．【解析】作出不等式组对应的平面区域，由解得，设 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，由图可知，直线经过点A时，m取最小值，同时取得最小值，所以. 故选C．‎ ‎9．【解析】, 平移得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴ ，，故选B．‎ ‎10．【解析】设，则，又，，选D．‎ ‎11．【解析】过作，则，故当最小时最大。此时 ‎12．【解析】，在上取点，在上取点，要，需，，，，，故选D．‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎13．【解析】因为，所以为的中点即，∵，‎ ‎∴，∴．‎ ‎14．【解析】因为，所以，所以，所以＝＝‎ ‎15．【解析】类比祖暅原理，可得两个图形的面积相等，梯形面积为，‎ 所以图1的面积为.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎16．【解析】因为线段的延长线上存在点，使，，‎ 所以，即，所以，‎ 所以，‎ 中，根据正弦定理.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解（Ⅰ）设等差数列的公差为，由已知得 ……2分 即所以解得 ……4分 所以． ……6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，①‎ ‎，② ……8分 得： ……10分 所以． ……12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解（Ⅰ）由题意，可知，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎∴甲学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 而乙学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎∴甲、乙两校的合格率均为96%．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（Ⅱ）样本中甲校等级的学生人数为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 而乙校等级的学生人数为4．‎ ‎∴随机抽取3人中，甲校学生人数的可能取值为0，1，2，3．．．．．．．．．．．7分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴ ‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ‎ 数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：取的中点，连结，如图所示．‎ 因为，所以． 1分 因为平面，平面，所以．‎ 又因为，所以平面． 3分 因为点是中点，所以，且． 4分 又因为，且，所以，且，‎ 所以四边形为平行四边形，所以，‎ 所以平面． 6分 ‎（Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结，则，‎ 因为平面，平面，‎ 所以，所以． 7分 因为，由（Ⅰ）知，‎ 又因为，所以，‎ 所以 所以为正三角形，所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以．‎ 又因为，所以平面． 8分 故两两垂直，可以点O为原点，分别以的方向为轴的正方向，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 建立空间直角坐标系，如图所示．‎ ‎，，，‎ 所以，，， 9分 设平面的法向量，‎ 则 所以 取，则， 10分 设与平面所成的角为，‎ 则， 11分 因为，所以，‎ 所以与平面所成角的大小为． 12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵椭圆的左顶点在圆上，∴‎ 又∵椭圆的一个焦点为，∴ ∴‎ ‎∴椭圆的方程为　 ………………４分 ‎（Ⅱ）设，则直线与椭圆方程联立 化简并整理得， ‎ ‎∴， ………………５分 由题设知 ∴直线的方程为 令得 ‎ ∴点　　 ………………７分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　………………９分 ‎（当且仅当即时等号成立）‎ ‎∴的面积存在最大值，最大值为1.　　　 ………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ），由已知得，故，解得 ‎ 又，得，解得 ………………2分 ‎ ，所以 当时，；当时，‎ 所以的单调区间递增区间为 ，递减区间为 …………4分 ‎（Ⅱ）法一.由已知，及整理得 ‎，当时恒成立 令， ………………………………6分 当时， ；由（Ⅰ）知在上为增函数，‎ 又 ……………………………………8分 所以存在 使得，此时 当时， ；当时，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以 …………………10分 故整数的最大值为. ………………12分 法二.由已知，及整理得，‎ 令 ，‎ 得， ………………………6分 当时，因为，所以，在上为减函数，‎ ‎ ………………………8分 ‎，为增函数。‎ 为减函数。‎ 由已知 ……………………10分 令，，在上为增函数.‎ 又，故整数的最大值为 ……………12分 ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）曲线：，可以化为，‎ ‎，[来源:学&科&网]‎ 因此，曲线的直角坐标方程为………………４分 它表示以为圆心、为半径的圆．　 ………………５分 ‎（Ⅱ）法一：当时，直线的参数方程为(为参数) ‎ 点在直线上，且在圆内，把 代入中得 ………………6分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设两个实数根为，则两点所对应的参数为，‎ 则， ………………8分 ‎　 ………………10分 法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为 即圆心的坐标为半径为，点在直线上，且在圆内 ‎ ………………6分 圆心到直线的距离 ………………8分 所以弦的长满足 ‎ ‎ ………………10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由知，‎ 欲使，恒有成立，则需满足……………4分 所以实数的取值范围为　　 ………………５分 ‎（Ⅱ）由题意得 ……………6分 使得成立 ‎ 即有 ……………8分 又可等价转化为或或 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以实数的取值范围为　　 ……………10分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费