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2017届高考模拟测试
数学(理科)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知全集,集合,,则( )
A． B． C． D．
3.高三某班有50名学生,一次数学考试的成绩服从正态分布:,已知,该班学生此次考试数学成绩在115分以上的概率为( )
A．0.1587 B．0.3413 C．0.1826 D．0.5000
4.函数满足,那么函数的图象大致是( )
5.已知是第四象限角,且,则( )
A． B． C． D．
6.运行如图所示的流程图,则输出的结果是( )
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A． B． C． D．
7.5位大学毕业生分配到3家单位,每家单位至少录用1人,则不同的分配方法共有( )
A．25种 B．60种 C．90种 D．150种
8.如图所示是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
9.设点为抛物线的焦点,,是抛物线上两点,线段的中垂线交轴于点,则( )
A．5 B．6 C．8 D．10
10.三棱锥中,平面,,是边长为2的等边三角形,则该几何体外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
11.已知锐角的内角,,的对边分别为,,,若,,则面积的取值范围是( )
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A． B． C． D．
12.已知曲线:与曲线:,直线是曲线和曲线的公切线,设直线与曲线切点为,则点的横坐标满足( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设向量,不平行,向量与平行,则实数 ．
15.若，满足约束条件则的最小值是 ．
15.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为，，，为其左、右顶点，以线段为直径的圆与双曲线的渐进线在第一象限的交点为，且，则双曲线的离心率为 ．
16.已知函数，以下四个结论：
①既是偶函数，又是周期函数； ②图象关于直线对称；
③图象关于中心对称； ④的最大值．
其中，正确的结论的序号是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设数列的前项和为,,(,),且、、成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
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（Ⅱ）设，求数列的前项和．
18.如图，点是菱形所在平面外一点，平面，，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
19.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（1,2，…，6），如表所示：
试销单价（元）
4
5
6
7
8
9
产品销量（件）
84
83
80
75
68
已知．
（Ⅰ）求出的值；
（Ⅱ）已知变量，具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回归方程；
（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值．当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望．
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（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为,)
20.已知动员过定点且与圆：相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点且斜率不为零的直线交曲线于，两点，在轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.已知，函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，对任意的，（），不等式恒成立，求的最小值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（），且曲线与直线有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设、为曲线上的两点，且，求的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数的最大值（）．
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（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若（，），试比较与的大小．
2017届高考模拟测试数学(理科)试题答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.①②③
三、解答题
17.解：（Ⅰ）∵（），∴，
∴，即（），，
又，，
∴数列是以1为首项，公比为的等比数列，
∴，∴，整理得，得，
∴．
（Ⅱ），
∴ ，①
∴，②
①②得，
整理得．
18.（Ⅰ）证明：取中点，连交于，连，．
在菱形中，，
∵平面，平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
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∵，分别是，的中点，
∴，，
又，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，则，
∴平面，
又平面，
∴平面平面．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得平面，则，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，则即
取，得，，∴，
设是平面的一个法向量，
同理得，．
∴，
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∴二面角的余弦值为．
19.解：（Ⅰ），可求得．
（Ⅱ），
，
所以所求的线性回归方程为．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程可得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．
与销售数据对比可知满足（1,2，…，6）的共有3个“好数据”：、、．
于是的所有可能取值为，，，．
；；；，
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∴的分布列为：
0
1
2
3
于是．
20.解：（Ⅰ）设动圆的半径为，
由：及知点在圆内，则有
从而，
所以的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
设曲线的方程为，则，，
所以，，
故曲线的轨迹方程为．
（Ⅱ）依题意可设直线的方程为，，，
由得，
所以则，
，
假设存在定点，使得直线，的斜率之积为非零常数，则
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，
所以，
要使为非零常数，当且仅当解得，
当时，常数为，
当时，常数为，
所以存在两个定点和，使直线，的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为．
21.解：（Ⅰ）的定义域为，
∵．
设，，
当时，，恒成立，
恒成立，
∴在上递增．
当时，，令，得，，
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极大
极小
∴的增区间，，减区间为．
综上，当时，的增区间为；当时，增区间，，减区间．
（Ⅱ）∵，，
∴当时，，，∴成立，
∴在上递增．
设，则，∴，
又∵，∴，
∴可化为
，
即恒成立．
设，
∴当时，，∴在上为减函数，
在上恒成立，
即恒成立，
设，
，
∵，，∴，
∴在上递增，，
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∴，又存在，，
∴，故．
22.解：（Ⅰ）直线的普通方程是，
曲线的直角坐标方程是，
依题意直线与圆相切，则，解得或，
因为，所以．
（Ⅱ）如图，不妨设，，则，，
，
所以，即，时，最大值是．
23.解：（Ⅰ）由于
的最大值为，故.
（Ⅱ）∵，且，，
∴，
当且仅当，即，等号成立．
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所以.
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