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郴州市2017届高三第四次教学质量监测试卷
数学理科
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，若，则的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（ ）
4.已知，且（），则等于（ ）
A． B． C． D．
5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为（ ）
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A．4.5 B．6 C．7.5 D．9
6.已知双曲线：（，）过点，过点的直线与双曲线的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
7.若为奇函数，且是的一个零点，则下列函数中，一定是其零点的函数是（ ）
A． B．
C． D．
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
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A． B． C． D．
9.在中，，，，是上一点，且，则等于（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
10.已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11.如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成（平面）．若、分别为线段、的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）
A．与平面垂直的直线必与直线垂直
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B．异面直线与所成角是定值
C．一定存在某个位置，使
D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值
12.若曲线（）和（）上分别存在点、，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知实数，满足条件则的最小值为 ．
14.把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为 ．
15.函数（，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间（）上的值域为，则 ．
16.在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，
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，且，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等差数列的前（）项和为，，且，在等比数列中，，．
（Ⅰ）求数列及的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前（）项和为，且，求．
18.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（Ⅰ）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
（Ⅱ）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
19.如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，点在上，且．
（Ⅰ）已知点在上，且，求证：平面平面；
（Ⅱ）当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？
20.已知是抛物线上的一点，以点和点为直径的圆交直线于，两点，直线与平行，且直线交抛物线于，两点．
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（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程．
21.设函数，（）．
（Ⅰ）若直线和函数的图象相切，求的值；
（Ⅱ）当时，若存在正实数，使对任意，都有恒成立，求的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；
（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（Ⅰ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，求的值．
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郴州市2017届高三第四次教学质量监测试卷数学理科答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）∵，，∴，且，
∴，，①
∵数列是等差数列，∴，即，②
由①②得，，∴，，
∴，，则．
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（Ⅱ）∵，∴，
∴
．
18.解：（Ⅰ）由题意可知，所求概率．
（Ⅱ）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为1,2,3．
，，．
则的分布列为：
1
2
3
∴，
．
设乙公司正确完成面试的题数为，则取值分别为0,1,2,3．
，，，．
则的分布列为：
0
1
2
3
∴，
．
由，可得，甲公司竞标成功的可能性更大．
19.（Ⅰ）证明：∵，，∴，
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∵底面是直角梯形，，，
∴，即，
∴，
∵，，∴，
∴四边形是平行四边形，则，
∴，
∵底面，∴，
∵，
∴平面，∵平面，
∴平面平面．
（Ⅱ）解：∵，，∴平面，则为直线与平面所成的角，
若与平面所成夹角为，则，即，
取的中点为，连接，则，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
设平面的法向量，则即
令，则，，∴，
∵是平面的一个法向量，
∴，
即当二面角的余弦值为时，直线与平面所成的角为．
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20.解：（Ⅰ）设，圆方程为，
令，得，∴，，
．
（Ⅱ）设直线的方程为，，，则
由消去，得，
，，
∵，∴，则，
∴，解得或，
当或时，当到直线的距离，
∵圆心到直线的距离等于直线的距离，∴，
又，消去得，求得，
此时，，直线的方程为，
综上，直线的方程为或．
21. 解：（Ⅰ）设切点的坐标为，由，得，
∴切线方程为，即．
由已知和为同一直线，所以，，
令，则，
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当时，，单调递增，当时，，单调递减，
∴，
当且仅当时等号成立，∴，．
（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）结合函数的图象知：
存在，使得对于任意，都有，
则不等式等价于，即．
设，，
由，得；由，得．
若，，∵，∴在上单调递减，
∵，
∴对任意，，与题设不符．
若，，，∴在上单调递增，
∵，∴对任意，符合题设，
此时取，可得对任意，都有．
②当时，由（Ⅰ）结合函数的图象知（），
对任意都成立，
∴等价于．
设，则w，
由，得；，得，
∴在上单调递减，注意到，
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∴对任意，，不符合题设．
综上所述，的取值范围为．
22.解：（Ⅰ）由，得，
化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，
依题意，设，则
到直线的距离．
当，即，时，．
故点到直线的距离的最小值为．
（Ⅱ）∵曲线上的所有点均在直线的右下方，
∴，有恒成立，
即（其中）恒成立，
∴，又，解得，
故的取值范围为．
23.解：（Ⅰ）当时，取最大值为，
∵，当且仅当，取最小值4，
∵关于的不等式有解，
∴，即实数的取值范围是．
（Ⅱ）当时，，
则，解得，
∴当时，，
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令，得，
∴，则．
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