江苏省常州市2017届高三数学一模试卷含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 www.ks5u.com ‎2017年江苏省常州市高考数学一模试卷 ‎　‎ 一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程 ‎1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM=　　．‎ ‎2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=　　．‎ ‎3．函数f（x）=的定义域为　　．‎ ‎4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是　　‎ ‎5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为　　．‎ ‎6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为　　．‎ ‎7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为　　．‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为　　．‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为　　．‎ ‎11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=1，则实数λ的值为　　．‎ ‎12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=　　．‎ ‎13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为　　．‎ ‎14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为　　．‎ ‎　‎ 二.解答题：本大题共6小题，共计90分 ‎15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=‎ ‎（1）求边c的长；‎ ‎（2）求角B的大小．‎ ‎16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1‎ ‎（1）求证：E是AB中点；‎ ‎（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．‎ ‎17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．‎ ‎（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；‎ ‎（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．‎ ‎（1）求该椭圆的方程：‎ ‎（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的 斜率之和为定值．‎ ‎19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）‎ ‎（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；‎ ‎（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎20．己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=‎ ‎（1）求证：数列{}为等比数列；‎ ‎（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：‎ ‎（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]‎ ‎21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．‎ ‎（1）求矩阵M；‎ ‎（2）求矩阵M的另一个特征值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．‎ ‎（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．‎ ‎　‎ 四.必做题：每小题0分，共计20分 ‎25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．‎ ‎（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．‎ ‎26．设|θ|＜，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sintannθ，其前n项和为Sn ‎（1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=（﹣1）tannθ；‎ ‎（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年江苏省常州市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程 ‎1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM=　{6，7}　．‎ ‎【考点】补集及其运算．‎ ‎【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．‎ ‎【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，‎ M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，‎ 则∁UM={6，7}．‎ 故答案为：{6，7}．‎ ‎　‎ ‎2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=　　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．‎ ‎【解答】解：由z+i=，‎ 得=，‎ 则|z|=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎3．函数f（x）=的定义域为　{x|x＞且x≠1}　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：由题意得：，‎ 解得：x＞且x≠1，‎ 故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，‎ 故答案为：{x|x＞且x≠1}．‎ ‎　‎ ‎4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是　24　‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，‎ 由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．‎ ‎【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环 t=1×2=2，i=3；‎ 当i=3时，满足循环条件，执行循环 t=2×3=6，i=4；‎ 当i=4时，满足循环条件，执行循环 t=6×4=24，i=5；‎ 当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．‎ 故答案为：24．‎ ‎　‎ ‎5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为　300　．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．‎ ‎【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，‎ 其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，‎ ‎∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，‎ ‎∵高级中学共有900名学生，‎ ‎∴每个个体被抽到的概率是=‎ ‎∴该校高二年级学生人数为=300，‎ 故答案为：300．‎ ‎　‎ ‎6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．‎ ‎【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，‎ 设正四棱锥的高为PO，连结AO，‎ 则AO=AC=．‎ 在直角三角形POA中，PO===1．‎ 所以VP﹣ABCD=•SABCD•PO=×4×1=．‎ 故答案为：．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为　　．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n==6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．‎ ‎【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，‎ 基本事件总数n==6，‎ 这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，‎ ‎∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），‎ 则双曲线﹣=l的右焦点为（2，0），‎ 即有c==2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 不妨设a=1，‎ 可得双曲线的离心率为e==2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为　2　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为　x﹣y﹣1=0　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my﹣4=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣‎ 联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，‎ 故答案为：x﹣y﹣1=0．‎ ‎　‎ ‎11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=1，则实数λ的值为　﹣或1　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求•即可．‎ ‎【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足=+，‎ ‎∴﹣=λ，‎ ‎∴=λ；‎ 又=﹣=（+λ）﹣=+（λ﹣1），‎ ‎∴•=λ•[+（λ﹣1）]‎ ‎=λ•+λ（λ﹣1）‎ ‎=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1，‎ 整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，‎ 解得λ=﹣或λ=1，‎ ‎∴实数λ的值为﹣或1．‎ 故答案为：﹣或1．‎ ‎　‎ ‎12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=　2﹣4　．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．‎ ‎【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．‎ 又tan=tan（﹣）===2﹣，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴tan（α+）====﹣=2﹣4，‎ 故答案为：2﹣4．‎ ‎　‎ ‎13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为　4　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．‎ ‎【解答】解：当x≥1时， =，即lnx=，‎ 令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，‎ g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0，‎ g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点．‎ ‎（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．）‎ 当x＜1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数由2个交点，‎ 综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个．‎ 故答案为：4．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为　1　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．‎ ‎【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞，y＞0，‎ 又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），‎ 其中y3﹣y2+y=y（y2﹣y+）=y（y﹣）2≥0，‎ 即y3﹣y2≥﹣y，‎ 当且仅当y=时取得等号，‎ 设f（x）=x3﹣x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），‎ 当x=时，f（x）的导数为×（﹣2）=，‎ 可得f（x）在x=处的切线方程为y=x﹣．‎ 由x3﹣x2≥x﹣⇔（x﹣）2（x+2）≥0，‎ 当x=时，取得等号．‎ 则x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥x﹣﹣y≥﹣=1．‎ 当且仅当x=，y=时，取得最小值1．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故答案为：1．‎ ‎　‎ 二.解答题：本大题共6小题，共计90分 ‎15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=‎ ‎（1）求边c的长；‎ ‎（2）求角B的大小．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．‎ ‎（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得： ==，又A﹣B=，可得A=B+，C=，可得sinC=sin．代入可得﹣16sin2B=，化简即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×=3，b×=1，‎ 化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．‎ 相加可得：2c2=8c，解得c=4．‎ ‎（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．‎ 由正弦定理可得： ==，‎ 又A﹣B=，∴A=B+，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin．‎ ‎∴a=，b=．‎ ‎∴﹣16sin2B=，‎ ‎∴1﹣﹣（1﹣cos2B）=，即cos2B﹣=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ ‎∴﹣2═，‎ ‎∴=0或=1，B∈．‎ 解得：B=．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1‎ ‎（1）求证：E是AB中点；‎ ‎（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．‎ ‎【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．‎ ‎（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．‎ ‎【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，‎ ‎∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，‎ ‎∴O为AC1的中点，‎ ‎∵E′是AB的中点，‎ ‎∴OE′∥BC1； ‎ ‎∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，‎ ‎∴OE′∥平面BCC1B1，‎ ‎∵OE∥平面BCC1B1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴E，E′重合，‎ ‎∴E是AB中点；‎ ‎（2）∵侧面AA1C1C是菱形，‎ ‎∴AC1⊥A1C，‎ ‎∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，‎ ‎∴AC1⊥平面A1BC，‎ ‎∵BC⊂平面A1BC，‎ ‎∴AC1⊥BC．‎ ‎　‎ ‎17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．‎ ‎（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；‎ ‎（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；‎ ‎（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：（1）设上底长为a，则S=，‎ ‎∴a=﹣，‎ ‎∴l=﹣+（0＜α＜）；‎ ‎（2）l′=h，‎ ‎∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，‎ ‎∴时，l取得最小值m．‎ ‎　‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．‎ ‎（1）求该椭圆的方程：‎ ‎（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的 斜率之和为定值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：‎ ‎（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+=l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，‎ 椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，‎ 则椭圆的标准方程：；‎ ‎（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），‎ 由题意PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，‎ 则，整理得：（2k2+1）x2﹣（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，‎ 由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，‎ 则y1+y2=k（x1+x2）﹣2k﹣2=，‎ 则kAP+kAQ=+=，‎ 由y1x2+y2x1=[k（x1﹣）﹣]x2+[k（x2﹣）﹣]x1=2kx1x2﹣（k+）（x1+x2）=﹣，‎ kAP+kAQ===1，‎ ‎∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．‎ ‎　‎ ‎19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）‎ ‎（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；‎ ‎（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；‎ ‎（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，‎ 若f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），‎ 令g（x）=lnx++1，（x＞0），‎ g′（x）=，‎ 令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，‎ 故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，‎ 故g（x）min=g（1）=2，‎ 故0＜a≤2；‎ ‎（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，‎ 即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，‎ ‎①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，‎ 令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），‎ 则m′（x）=lnx++1，‎ 由（1）得：m′（x）≥2，‎ 故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，‎ 故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；‎ ‎②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，‎ 令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），‎ 则n′（x）=lnx++1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，‎ 故n′（x）＞n（1）=2，‎ 故n（x）在（0，1）递增，故n（x）＜n（1）=0，‎ 故a≥0，而a为正实数，故a＞0．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎20．己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=‎ ‎（1）求证：数列{}为等比数列；‎ ‎（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：‎ ‎（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，化为： =2×，即可证明．‎ ‎（2）由（1）可得： =，可得=n•4n﹣1．数列{bn}满足bn=，可得b1，b2，b3，利用数列{bn}是等差数列即可得出t．‎ ‎（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn﹣a14n2=16bm，即可得出a1．‎ ‎【解答】（1）证明：数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，‎ ‎∴=an+1，即=2，‎ ‎∴数列{}是以a1为首项，以2为公比的等比数列．‎ ‎（2）解：由（1）可得： =，∴=n•4n﹣1．‎ ‎∵bn=，∴b1=，b2=，b3=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵数列{bn}是等差数列，∴2×=+，‎ ‎∴=+，‎ 化为：16t=t2+48，解得t=12或4．‎ ‎（3）解：数列{bn}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．‎ ‎①t=12时，bn==，Sn=，‎ ‎∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，‎ ‎∴×﹣a14n2=16×，‎ ‎∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．‎ ‎②t=4时，bn==，Sn=，‎ 对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，‎ ‎∴×﹣a14n2=16×，‎ ‎∴n=4m，‎ ‎∴a1=．∵a1为正整数，∴=k，k∈N*．‎ ‎∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N*}．‎ ‎　‎ 四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．‎ ‎【考点】弦切角．‎ ‎【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．‎ ‎【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，‎ 因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，‎ 所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；‎ 又因为∠ACB=90°，‎ 得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，‎ 从而∠ABE=30°，‎ 于是．‎ ‎　‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．‎ ‎（1）求矩阵M；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）求矩阵M的另一个特征值．‎ ‎【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．‎ ‎【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；‎ ‎（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．‎ ‎【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，‎ 则=8=，‎ 故，‎ 由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．‎ 则=，‎ 故 联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．‎ ‎（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，‎ 故矩阵M的另一个特征值为2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．‎ ‎（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．‎ ‎【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．‎ ‎（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，‎ 所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．‎ ‎（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．‎ 化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．‎ ‎【考点】二维形式的柯西不等式．‎ ‎【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．‎ ‎【解答】解：由柯西不等式可得 ‎（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12‎ ‎∴++≤3，当且仅当==时取等号．‎ ‎∴++的最大值是6，‎ 故最大值为6．‎ ‎　‎ 四.必做题：每小题0分，共计20分 ‎25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．‎ ‎（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；‎ ‎（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．‎ ‎（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，‎ ‎，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．‎ 则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…‎ 设P（0，0，p），则=（﹣1，1，p），又AP=2，‎ ‎∴1+1+p2=4，∴p=，‎ ‎∵===（），‎ ‎=（），‎ ‎∴=（﹣1，1，﹣），=（0，，﹣），‎ 设异面直线MN与PC所成角为θ，‎ 则cosθ===．‎ θ=30°，‎ ‎∴异面直线MN与PC所成角为30°．‎ ‎（2）=（﹣1，1，﹣），=（1，1，﹣），=（，﹣），‎ 设平面PBC的法向量=（x，y，z），‎ 则，取z=1，得=（0，，1），‎ 设平面PNC的法向量=（a，b，c），‎ 则，取c=1，得=（，2，1），‎ 设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则cosθ===．‎ ‎∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎26．设|θ|＜，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sintannθ，其前n项和为Sn ‎（1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=（﹣1）tannθ；‎ ‎（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用sin=，即可得出．‎ ‎（2）a2k﹣1+a2k=（﹣1）tannθ．利用等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】证明：（1）an=sintannθ，‎ 当n=2k（k∈N*）为偶数时，an=sinkπ•tannθ=0；‎ 当n=2k﹣1为奇函数时，an=•tannθ=（﹣1）k﹣1tannθ=（﹣1）tannθ．‎ ‎（2）a2k﹣1+a2k=（﹣1）tannθ．∴‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为﹣tan2θ．‎ ‎∴S2n==sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年4月18日 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费