2017届高三数学一模试题(常州市有答案和解析)
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资料简介
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 www.ks5u.com ‎2017年江苏省常州市高考数学一模试卷 ‎ ‎ 一.填空题:本大題共14小败,每小題5分,共70分.不需要写出解答过程 ‎1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},M={x|x2﹣6x+5≤0,x∈Z},则∁UM=  .‎ ‎2.若复数z满足z+i=,其中i为虚数单位,则|z|=  .‎ ‎3.函数f(x)=的定义域为  .‎ ‎4.如图是给出的一种算法,则该算法输出的结果是  ‎ ‎5.某高级中学共有900名学生,现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取1个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,则该校高二年级学生人数为  .‎ ‎6.已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是,则该正四棱锥的体积为  .‎ ‎7.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,则这两个数的和为3的倍数的槪率为  .‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点,则双曲线的离心率为  .‎ ‎9.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列.且a2+a5=4,则a8的值为  .‎ ‎10.在平面直角坐标系xOy中,过点M(1,0)的直线l与圆x2+y2=5交于A,B两点,其中A点在第一象限,且=2,则直线l的方程为  .‎ ‎11.在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠A=60°,若点P满足=+,且•‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=1,则实数λ的值为  .‎ ‎12.已知sinα=3sin(α+),则tan(α+)=  .‎ ‎13.若函数f(x)=,则函数y=|f(x)|﹣的零点个数为  .‎ ‎14.若正数x,y满足15x﹣y=22,则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为  .‎ ‎ ‎ 二.解答题:本大题共6小题,共计90分 ‎15.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.若acosB=3,bcosA=l,且A﹣B=‎ ‎(1)求边c的长;‎ ‎(2)求角B的大小.‎ ‎16.如图,在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1‎ ‎(1)求证:E是AB中点;‎ ‎(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.‎ ‎17.某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图),设计要求彩门的面积为S (单位:m2)•高为h(单位:m)(S,h为常数),彩门的下底BC固定在广场地面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为α,不锈钢支架的长度和记为l.‎ ‎(1)请将l表示成关于α的函数l=f(α);‎ ‎(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=l (a>b>0)的焦距为2,离心率为,椭圆的右顶点为A.‎ ‎(1)求该椭圆的方程:‎ ‎(2)过点D(,﹣)作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q,求证:直线AP,AQ的 斜率之和为定值.‎ ‎19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数,且为常数)‎ ‎(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;‎ ‎(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.‎ ‎20.己知n为正整数,数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,设数列{bn}满足bn=‎ ‎(1)求证:数列{}为等比数列;‎ ‎(2)若数列{bn}是等差数列,求实数t的值:‎ ‎(3)若数列{bn}是等差数列,前n项和为Sn,对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,求满足条件的所有整数a1的值.‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 四.选做题本题包括A,B,C,D四个小题,请选做其中两题,若多做,则按作答的前两题评分.A.[选修4一1:几何证明选讲]‎ ‎21.如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-2:矩阵与变换]‎ ‎22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[],并且矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)变换成(﹣2,4).‎ ‎(1)求矩阵M;‎ ‎(2)求矩阵M的另一个特征值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知a,b,c为正数,且a+b+c=3,求++的最大值.‎ ‎ ‎ 四.必做题:每小题0分,共计20分 ‎25.如图,已知正四棱锥P﹣ABCD中,PA=AB=2,点M,N分别在PA,BD上,且==.‎ ‎(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.‎ ‎26.设|θ|<,n为正整数,数列{an}的通项公式an=sintannθ,其前n项和为Sn ‎(1)求证:当n为偶函数时,an=0;当n为奇函数时,an=(﹣1)tannθ;‎ ‎(2)求证:对任何正整数n,S2n=sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年江苏省常州市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.填空题:本大題共14小败,每小題5分,共70分.不需要写出解答过程 ‎1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},M={x|x2﹣6x+5≤0,x∈Z},则∁UM= {6,7} .‎ ‎【考点】补集及其运算.‎ ‎【分析】解不等式化简集合M,根据补集的定义写出运算结果即可.‎ ‎【解答】解:集合U={1,2,3,4,5,6,7},‎ M={x|x2﹣6x+5≤0,x∈Z}={x|1≤x≤5,x∈Z}={1,2,3,4,5},‎ 则∁UM={6,7}.‎ 故答案为:{6,7}.‎ ‎ ‎ ‎2.若复数z满足z+i=,其中i为虚数单位,则|z|=  .‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z,再由复数求模公式计算得答案.‎ ‎【解答】解:由z+i=,‎ 得=,‎ 则|z|=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎3.函数f(x)=的定义域为 {x|x>且x≠1} .‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法.‎ ‎【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0,得到关于x的不等式组,解出即可.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解:由题意得:,‎ 解得:x>且x≠1,‎ 故函数的定义域是{x|x>且x≠1},‎ 故答案为:{x|x>且x≠1}.‎ ‎ ‎ ‎4.如图是给出的一种算法,则该算法输出的结果是 24 ‎ ‎【考点】伪代码.‎ ‎【分析】模拟程序代码的运行过程,可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值,‎ 由于循环变量的初值为2,终值为4,步长为1,故循环体运行只有3次,由此得到答案.‎ ‎【解答】解:当i=2时,满足循环条件,执行循环 t=1×2=2,i=3;‎ 当i=3时,满足循环条件,执行循环 t=2×3=6,i=4;‎ 当i=4时,满足循环条件,执行循环 t=6×4=24,i=5;‎ 当i=5时,不满足循环条件,退出循环,输出t=24.‎ 故答案为:24.‎ ‎ ‎ ‎5.某高级中学共有900名学生,现用分层抽样的方法从该校学 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 生中抽取1个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,则该校高二年级学生人数为 300 .‎ ‎【考点】分层抽样方法.‎ ‎【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本,根据高一年级抽20人,高三年级抽10人,得到高二年级要抽取的人数,根据该高级中学共有900名学生,算出高二年级学生人数.‎ ‎【解答】解:∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本,‎ 其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,‎ ‎∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15,‎ ‎∵高级中学共有900名学生,‎ ‎∴每个个体被抽到的概率是=‎ ‎∴该校高二年级学生人数为=300,‎ 故答案为:300.‎ ‎ ‎ ‎6.已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是,则该正四棱锥的体积为  .‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【分析】正四棱锥P﹣ABCD中,AB=2,PA=,设正四棱锥的高为PO,连结AO,求出PO,由此能求出该正四棱锥的体积.‎ ‎【解答】解:如图,正四棱锥P﹣ABCD中,AB=2,PA=,‎ 设正四棱锥的高为PO,连结AO,‎ 则AO=AC=.‎ 在直角三角形POA中,PO===1.‎ 所以VP﹣ABCD=•SABCD•PO=×4×1=.‎ 故答案为:.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎7.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,则这两个数的和为3的倍数的槪率为  .‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n==6,再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数,由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率.‎ ‎【解答】解:从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,‎ 基本事件总数n==6,‎ 这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有:(1,2),(2,4),共2个,‎ ‎∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点,则双曲线的离心率为 2 .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】求得抛物线的焦点坐标,可得c=2,由双曲线的方程可得a=1,由离心率公式可得所求值.‎ ‎【解答】解:抛物线y2=8x的焦点为(2,0),‎ 则双曲线﹣=l的右焦点为(2,0),‎ 即有c==2,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 不妨设a=1,‎ 可得双曲线的离心率为e==2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎9.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列.且a2+a5=4,则a8的值为 2 .‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组,求出,由此能求出a8的值.‎ ‎【解答】解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列.且a2+a5=4,‎ ‎∴,‎ 解得,‎ ‎∴a8==(a1q)(q3)2=8×=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎10.在平面直角坐标系xOy中,过点M(1,0)的直线l与圆x2+y2=5交于A,B两点,其中A点在第一象限,且=2,则直线l的方程为 x﹣y﹣1=0 .‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】由题意,设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立,利用韦达定理,结合向量知识,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意,设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立,可得(m2+1)y2+2my﹣4=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=﹣2y2,y1+y2=﹣,y1y2=﹣‎ 联立解得m=1,∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0,‎ 故答案为:x﹣y﹣1=0.‎ ‎ ‎ ‎11.在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠A=60°,若点P满足=+,且•‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=1,则实数λ的值为 ﹣或1 .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】根据题意,利用平面向量的线性运算,把、用、与λ表示出来,再求•即可.‎ ‎【解答】解:△ABC中,AB=1,AC=2,∠A=60°,点P满足=+,‎ ‎∴﹣=λ,‎ ‎∴=λ;‎ 又=﹣=(+λ)﹣=+(λ﹣1),‎ ‎∴•=λ•[+(λ﹣1)]‎ ‎=λ•+λ(λ﹣1)‎ ‎=λ×2×1×cos60°+λ(λ﹣1)×22=1,‎ 整理得4λ2﹣3λ﹣1=0,‎ 解得λ=﹣或λ=1,‎ ‎∴实数λ的值为﹣或1.‎ 故答案为:﹣或1.‎ ‎ ‎ ‎12.已知sinα=3sin(α+),则tan(α+)= 2﹣4 .‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数;两角和与差的正弦函数.‎ ‎【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值,可得tan(α+)的值.‎ ‎【解答】解:sinα=3sin(α+)=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα,∴tanα=.‎ 又tan=tan(﹣)===2﹣,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴tan(α+)====﹣=2﹣4,‎ 故答案为:2﹣4.‎ ‎ ‎ ‎13.若函数f(x)=,则函数y=|f(x)|﹣的零点个数为 4 .‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断.‎ ‎【分析】利用分段函数,对x≥1,通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数,当x<1时,利用数形结合求解函数的零点个数即可.‎ ‎【解答】解:当x≥1时, =,即lnx=,‎ 令g(x)=lnx﹣,x≥1时函数是连续函数,‎ g(1)=﹣<0,g(2)=ln2﹣=ln>0,‎ g(4)=ln4﹣2<0,由函数的零点判定定理可知g(x)=lnx﹣,有2个零点.‎ ‎(结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点.)‎ 当x<1时,y=,函数的图象与y=的图象如图,考查两个函数由2个交点,‎ 综上函数y=|f(x)|﹣的零点个数为:4个.‎ 故答案为:4.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎14.若正数x,y满足15x﹣y=22,则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为 1 .‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义.‎ ‎【分析】由题意可得x>,y>0,又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2),求出y3﹣y2≥﹣y,当且仅当y=时取得等号,设f(x)=x3﹣x2,求出导数和单调区间、极值和最值,即可得到所求最小值.‎ ‎【解答】解:由正数x,y满足15x﹣y=22,可得y=15x﹣22>0,则x>,y>0,‎ 又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2),‎ 其中y3﹣y2+y=y(y2﹣y+)=y(y﹣)2≥0,‎ 即y3﹣y2≥﹣y,‎ 当且仅当y=时取得等号,‎ 设f(x)=x3﹣x2,f(x)的导数为f′(x)=3x2﹣2x=x(3x﹣2),‎ 当x=时,f(x)的导数为×(﹣2)=,‎ 可得f(x)在x=处的切线方程为y=x﹣.‎ 由x3﹣x2≥x﹣⇔(x﹣)2(x+2)≥0,‎ 当x=时,取得等号.‎ 则x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)≥x﹣﹣y≥﹣=1.‎ 当且仅当x=,y=时,取得最小值1.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故答案为:1.‎ ‎ ‎ 二.解答题:本大题共6小题,共计90分 ‎15.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.若acosB=3,bcosA=l,且A﹣B=‎ ‎(1)求边c的长;‎ ‎(2)求角B的大小.‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】(1)由acosB=3,bcosA=l,利用余弦定理化为:a2+c2﹣b2=6c,b2+c2﹣a2=2c.相加即可得出c.‎ ‎(2)由(1)可得:a2﹣b2=8.由正弦定理可得: ==,又A﹣B=,可得A=B+,C=,可得sinC=sin.代入可得﹣16sin2B=,化简即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)∵acosB=3,bcosA=l,∴a×=3,b×=1,‎ 化为:a2+c2﹣b2=6c,b2+c2﹣a2=2c.‎ 相加可得:2c2=8c,解得c=4.‎ ‎(2)由(1)可得:a2﹣b2=8.‎ 由正弦定理可得: ==,‎ 又A﹣B=,∴A=B+,C=π﹣(A+B)=,可得sinC=sin.‎ ‎∴a=,b=.‎ ‎∴﹣16sin2B=,‎ ‎∴1﹣﹣(1﹣cos2B)=,即cos2B﹣=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎,‎ ‎∴﹣2═,‎ ‎∴=0或=1,B∈.‎ 解得:B=.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1‎ ‎(1)求证:E是AB中点;‎ ‎(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的性质.‎ ‎【分析】(1)利用同一法,首先通过连接对角线得到中点,进一步利用中位线,得到线线平行,进一步利用线面平行的判定定理,得到结论.‎ ‎(2)利用菱形的对角线互相垂直,进一步利用线面垂直的判定定理,得到线面垂直,最后转化成线线垂直.‎ ‎【解答】证明:(1)连结BC1,取AB中点E′,‎ ‎∵侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,‎ ‎∴O为AC1的中点,‎ ‎∵E′是AB的中点,‎ ‎∴OE′∥BC1; ‎ ‎∵OE′⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,‎ ‎∴OE′∥平面BCC1B1,‎ ‎∵OE∥平面BCC1B1,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴E,E′重合,‎ ‎∴E是AB中点;‎ ‎(2)∵侧面AA1C1C是菱形,‎ ‎∴AC1⊥A1C,‎ ‎∵AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C⊂平面A1BC,A1B⊂平面A1BC,‎ ‎∴AC1⊥平面A1BC,‎ ‎∵BC⊂平面A1BC,‎ ‎∴AC1⊥BC.‎ ‎ ‎ ‎17.某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图),设计要求彩门的面积为S (单位:m2)•高为h(单位:m)(S,h为常数),彩门的下底BC固定在广场地面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为α,不锈钢支架的长度和记为l.‎ ‎(1)请将l表示成关于α的函数l=f(α);‎ ‎(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用.‎ ‎【分析】(1)求出上底,即可将l表示成关于α的函数l=f(α);‎ ‎(2)求导数,取得函数的单调性,即可解决当α为何值时l最小?并求最小值.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解:(1)设上底长为a,则S=,‎ ‎∴a=﹣,‎ ‎∴l=﹣+(0<α<);‎ ‎(2)l′=h,‎ ‎∴0<α<,l′<0,<α<,l′>0,‎ ‎∴时,l取得最小值m.‎ ‎ ‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=l (a>b>0)的焦距为2,离心率为,椭圆的右顶点为A.‎ ‎(1)求该椭圆的方程:‎ ‎(2)过点D(,﹣)作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q,求证:直线AP,AQ的 斜率之和为定值.‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【分析】(1)由题意可知2c=2,c=1,离心率e=,求得a=2,则b2=a2﹣c2=1,即可求得椭圆的方程:‎ ‎(2)则直线PQ的方程:y=k(x﹣)﹣,代入椭圆方程,由韦达定理及直线的斜率公式,分别求得直线AP,AQ的斜率,即可证明直线AP,AQ的率之和为定值.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解:(1)由题意可知:椭圆+=l (a>b>0),焦点在x轴上,2c=1,c=1,‎ 椭圆的离心率e==,则a=,b2=a2﹣c2=1,‎ 则椭圆的标准方程:;‎ ‎(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),A(,0),‎ 由题意PQ的方程:y=k(x﹣)﹣,‎ 则,整理得:(2k2+1)x2﹣(4k2+4k)x+4k2+8k+2=0,‎ 由韦达定理可知:x1+x2=,x1x2=,‎ 则y1+y2=k(x1+x2)﹣2k﹣2=,‎ 则kAP+kAQ=+=,‎ 由y1x2+y2x1=[k(x1﹣)﹣]x2+[k(x2﹣)﹣]x1=2kx1x2﹣(k+)(x1+x2)=﹣,‎ kAP+kAQ===1,‎ ‎∴直线AP,AQ的斜率之和为定值1.‎ ‎ ‎ ‎19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数,且为常数)‎ ‎(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;‎ ‎(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)求出函数f(x)的导数,问题转化为a≤lnx++1在(0,+∞‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎)恒成立,(a>0),令g(x)=lnx++1,(x>0),根据函数的单调性求出a的范围即可;‎ ‎(2)问题转化为(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恒成立,通过讨论x的范围,结合函数的单调性求出a的范围即可.‎ ‎【解答】解:(1)f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a,f′(x)=lnx++1﹣a,‎ 若f(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 则a≤lnx++1在(0,+∞)恒成立,(a>0),‎ 令g(x)=lnx++1,(x>0),‎ g′(x)=,‎ 令g′(x)>0,解得:x>1,令g′(x)<0,解得:0<x<1,‎ 故g(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,‎ 故g(x)min=g(1)=2,‎ 故0<a≤2;‎ ‎(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立,‎ 即(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恒成立,‎ ‎①x≥1时,只需a≤(x+1)lnx恒成立,‎ 令m(x)=(x+1)lnx,(x≥1),‎ 则m′(x)=lnx++1,‎ 由(1)得:m′(x)≥2,‎ 故m(x)在[1,+∞)递增,m(x)≥m(1)=0,‎ 故a≤0,而a为正实数,故a≤0不合题意;‎ ‎②0<x<1时,只需a≥(x+1)lnx,‎ 令n(x)=(x+1)lnx,(0<x<1),‎ 则n′(x)=lnx++1,由(1)n′(x)在(0,1)递减,‎ 故n′(x)>n(1)=2,‎ 故n(x)在(0,1)递增,故n(x)<n(1)=0,‎ 故a≥0,而a为正实数,故a>0.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎20.己知n为正整数,数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,设数列{bn}满足bn=‎ ‎(1)求证:数列{}为等比数列;‎ ‎(2)若数列{bn}是等差数列,求实数t的值:‎ ‎(3)若数列{bn}是等差数列,前n项和为Sn,对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,求满足条件的所有整数a1的值.‎ ‎【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】(1)数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,化为: =2×,即可证明.‎ ‎(2)由(1)可得: =,可得=n•4n﹣1.数列{bn}满足bn=,可得b1,b2,b3,利用数列{bn}是等差数列即可得出t.‎ ‎(3)根据(2)的结果分情况讨论t的值,化简8a12Sn﹣a14n2=16bm,即可得出a1.‎ ‎【解答】(1)证明:数列{an}满足an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,‎ ‎∴=an+1,即=2,‎ ‎∴数列{}是以a1为首项,以2为公比的等比数列.‎ ‎(2)解:由(1)可得: =,∴=n•4n﹣1.‎ ‎∵bn=,∴b1=,b2=,b3=,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵数列{bn}是等差数列,∴2×=+,‎ ‎∴=+,‎ 化为:16t=t2+48,解得t=12或4.‎ ‎(3)解:数列{bn}是等差数列,由(2)可得:t=12或4.‎ ‎①t=12时,bn==,Sn=,‎ ‎∵对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,‎ ‎∴×﹣a14n2=16×,‎ ‎∴=,n=1时,化为:﹣=>0,无解,舍去.‎ ‎②t=4时,bn==,Sn=,‎ 对任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,‎ ‎∴×﹣a14n2=16×,‎ ‎∴n=4m,‎ ‎∴a1=.∵a1为正整数,∴=k,k∈N*.‎ ‎∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2,n∈N*,m∈N*,且=k,k∈N*}.‎ ‎ ‎ 四.选做题本题包括A,B,C,D四个小题,请选做其中两题,若多做,则按作答的前两题评分.A.[选修4一1:几何证明选讲]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎21.如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.‎ ‎【考点】弦切角.‎ ‎【分析】连接OC,先证得三角形OBC是等边三角形,从而得到∠DCA=60°,再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小;考虑到直角三角形ABE中,利用角的关系即可求得边AE的长.‎ ‎【解答】解:如图,连接OC,因BC=OB=OC=3,‎ 因此∠CBO=60°,由于∠DCA=∠CBO,‎ 所以∠DCA=60°,又AD⊥DC得∠DAC=30°;‎ 又因为∠ACB=90°,‎ 得∠CAB=30°,那么∠EAB=60°,‎ 从而∠ABE=30°,‎ 于是.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-2:矩阵与变换]‎ ‎22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[],并且矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)变换成(﹣2,4).‎ ‎(1)求矩阵M;‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)求矩阵M的另一个特征值.‎ ‎【考点】特征值与特征向量的计算;几种特殊的矩阵变换.‎ ‎【分析】(1)先设矩阵A=,这里a,b,c,d∈R,由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)换成(﹣2,4).得到关于a,b,c,d的方程组,即可求得矩阵M;‎ ‎(2)由(1)知,矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16,从而求得另一个特征值为2.‎ ‎【解答】解:(1)设矩阵A=,这里a,b,c,d∈R,‎ 则=8=,‎ 故,‎ 由于矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)换成(﹣2,4).‎ 则=,‎ 故 联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,故M=.‎ ‎(2)由(1)知,矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16,‎ 故矩阵M的另一个特征值为2.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程;相交弦所在直线的方程.‎ ‎【分析】(1)先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程.‎ ‎(2)先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程,再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解:(1)ρ=2⇒ρ2=4,所以x2+y2=4;因为,‎ 所以,所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.‎ 化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知a,b,c为正数,且a+b+c=3,求++的最大值.‎ ‎【考点】二维形式的柯西不等式.‎ ‎【分析】利用柯西不等式,结合a+b+c=3,即可求得++的最大值.‎ ‎【解答】解:由柯西不等式可得 ‎(++)2≤[12+12+12][()2+()2+()2]=3×12‎ ‎∴++≤3,当且仅当==时取等号.‎ ‎∴++的最大值是6,‎ 故最大值为6.‎ ‎ ‎ 四.必做题:每小题0分,共计20分 ‎25.如图,已知正四棱锥P﹣ABCD中,PA=AB=2,点M,N分别在PA,BD上,且==.‎ ‎(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;‎ ‎(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】(1)设AC与BD的交点为O,AB=PA=2.以点O为坐标原点,,,方向分别是x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz.利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角.‎ ‎(2)求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量,利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值.‎ ‎【解答】解:(1)设AC与BD的交点为O,AB=PA=2.以点O为坐标原点,‎ ‎,,方向分别是x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz.‎ 则A(1,﹣1,0),B(1,1,0),C(﹣1,1,0),D(﹣1,﹣1,0),…‎ 设P(0,0,p),则=(﹣1,1,p),又AP=2,‎ ‎∴1+1+p2=4,∴p=,‎ ‎∵===(),‎ ‎=(),‎ ‎∴=(﹣1,1,﹣),=(0,,﹣),‎ 设异面直线MN与PC所成角为θ,‎ 则cosθ===.‎ θ=30°,‎ ‎∴异面直线MN与PC所成角为30°.‎ ‎(2)=(﹣1,1,﹣),=(1,1,﹣),=(,﹣),‎ 设平面PBC的法向量=(x,y,z),‎ 则,取z=1,得=(0,,1),‎ 设平面PNC的法向量=(a,b,c),‎ 则,取c=1,得=(,2,1),‎ 设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则cosθ===.‎ ‎∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎26.设|θ|<,n为正整数,数列{an}的通项公式an=sintannθ,其前n项和为Sn ‎(1)求证:当n为偶函数时,an=0;当n为奇函数时,an=(﹣1)tannθ;‎ ‎(2)求证:对任何正整数n,S2n=sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】(1)利用sin=,即可得出.‎ ‎(2)a2k﹣1+a2k=(﹣1)tannθ.利用等比数列的求和公式即可得出.‎ ‎【解答】证明:(1)an=sintannθ,‎ 当n=2k(k∈N*)为偶数时,an=sinkπ•tannθ=0;‎ 当n=2k﹣1为奇函数时,an=•tannθ=(﹣1)k﹣1tannθ=(﹣1)tannθ.‎ ‎(2)a2k﹣1+a2k=(﹣1)tannθ.∴‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 奇数项成等比数列,首项为tanθ,公比为﹣tan2θ.‎ ‎∴S2n==sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年4月18日 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

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