2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 www.ks5u.com ‎2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）‎ ‎1．已知复数z=1+2i，则=（　　）‎ A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i ‎2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2}‎ ‎3．设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（　　）‎ A． B． C．4 D．3‎ ‎5．下列命题中错误的是（　　）‎ A．如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线 B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γ C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β D．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 ‎6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（　　）‎ A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎8．某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作ai 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（　　）‎ A．求24名男生的达标率 B．求24名男生的不达标率 C．求24名男生的达标人数 D．求24名男生的不达标人数 ‎9．等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（　　）‎ A．9 B．15 C．18 D．30‎ ‎10．函数y=的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．（1，） B．[0，2] C．[1，2） D．[1，]‎ ‎12．对，23x≤logax+1恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.‎ ‎13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为　　．‎ ‎14．若函数f（x）=ex•sinx，则f'（0）=　　．‎ ‎15．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是　　．‎ ‎16．F为双曲线（a＞b＞0）的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.‎ ‎17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；‎ ‎（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：‎ 女性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎10‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 男性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎45‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；‎ ‎（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求两名用户中评分都小于90分的概率．‎ ‎19． 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABE；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥C﹣PBD外接球的体积．‎ ‎20．已知函数f（x）=ax﹣lnx．‎ ‎（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；‎ ‎（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），求实数a的取值范围．‎ ‎21．已知椭圆C：，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；‎ ‎（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．‎ ‎（1）求证：2a+b=2；‎ ‎（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）‎ ‎1．已知复数z=1+2i，则=（　　）‎ A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由已知直接利用求解．‎ ‎【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．‎ ‎【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，‎ B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：由a＞|b|”能推出“a3＞b3”，是充分条件，‎ 反之，不成立，比如a=1，b=﹣2，不是必要条件，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（　　）‎ A． B． C．4 D．3‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程，代入圆的弦长公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的圆心坐标为（1，3），半径r=，‎ 圆心到直线x﹣3y+3=0的距离d==，‎ 故弦AB=2=，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．下列命题中错误的是（　　）‎ A．如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线 B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γ C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β D．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案．‎ ‎【解答】解：如果平面α外的直线a不平行于平面α，则a与α相交，则α内不存在与a平行的直线，故A正确；‎ 如图：α⊥γ，α∩γ=a，β⊥γ，β∩γ=b，α∩β=l，‎ 在γ内取一点P，过P作PA⊥a于A，作PB⊥b于B，由面面垂直的性质可得PA⊥l，PB⊥l，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则l⊥γ，故B正确；‎ 如果平面α⊥平面β，那么平面α内的直线与平面β有三种位置关系：平行、相交、异面，故C错误；‎ 一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交，故D正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（　　）‎ A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．‎ ‎【解答】解：不等式组所表示的平面区域位于 直线x+y﹣3=0的下方区域和直线 x﹣y+1=0的上方区域，‎ 根据目标函数的几何意义，‎ 可知目标函数经过A时，z取得最大值．‎ 由可得A（1，2），‎ 所以目标函数z的最大值为4．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．4 B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，‎ 底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，‎ 所以四棱锥的体积．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作ai（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（　　）‎ A．求24名男生的达标率 B．求24名男生的不达标率 C．求24名男生的达标人数 D．求24名男生的不达标人数 ‎【考点】程序框图．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】由题意，从成绩中搜索出大于6.8s的成绩，计算24名中不达标率．‎ ‎【解答】解：由题意可知，k记录的是时间超过6.8s的人数，而i记录是的参与测试的人数，因此表示不达标率；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（　　）‎ A．9 B．15 C．18 D．30‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q＞0，由2S3=8a1+3a2，可得2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q，进而得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，‎ ‎∴2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2a3=6a1+a2，可得=6a1+a1q，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q=2．‎ 又a4=16，可得a1×23=16，解得a1=2．‎ 则S4==30．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．函数y=的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】利用函数的定义域排除选项，值域排除选项即可得到结果．‎ ‎【解答】解：由函数定义域排除A，函数的值域．可知x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，排除C，D．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（　　）‎ A．（1，） B．[0，2] C．[1，2） D．[1，]‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】把方程2sin（2x+）=m化为sin（2x+）=，画出函数f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m的取值范围．‎ ‎【解答】解：方程2sin（2x+）=m可化为 sin（2x+）=，‎ 当x∈[0，]时，2x+∈[，]，‎ 画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象如图所示；‎ 根据方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，‎ 得≤＜1‎ ‎1≤m＜2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴m的取值范围是[1，2）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．对，23x≤logax+1恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；全称命题．‎ ‎【分析】先构造函数f（x）=x2+x，g（x）=﹣logax．h（x）=f（x）+g（x），将问题等价转化为函数h（x）在区间（0，）上恒有h（x）≤0，又函数为增函数，故可求答案．‎ ‎【解答】解：构造函数f（x）=23x，g（x）=﹣logax﹣1．‎ h（x）=f（x）+g（x）．（0＜x＜）‎ 易知，在区间（0，）上，函数f（x），g（x）均是递增函数，‎ ‎∴函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（0，）上是递增函数．‎ 由题设可知，函数h（x）在区间（0，）上恒有h（x）≤0．‎ ‎∴必有h（）≤0．‎ 即有2﹣loga（）﹣1≤0．‎ 整理就是logaa=1≤loga（），‎ ‎∴实数a的取值范围是≤a＜1．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.‎ ‎13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为　95　．‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，得到关于x的方程，解出即可．‎ ‎【解答】解：设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，‎ 则92×50=90×30+20x，解得：x=95，‎ 故答案为：95．‎ ‎　‎ ‎14．若函数f（x）=ex•sinx，则f'（0）=　1　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】先求f（x）的导数，再求导数值．‎ ‎【解答】解：f（x）=ex•sinx，f′（x）=（ex）′sinx+ex．（sinx）′=ex•sinx+ex•cosx，∴f'（0）=0+1=1‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎15．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是　15斤　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，由等差数列的前n项和得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，‎ 则S5=，‎ ‎∴金杖重15斤．‎ 故答案为：15斤．‎ ‎　‎ ‎16．F为双曲线（a＞b＞0）的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由条件可得A为FB的中点，运用中点坐标公式，可得a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：设F（﹣c，0），则过F作斜率为1的直线为：y=x+c，‎ 而渐近线的方程是：y=±x，‎ 由得：A（﹣，），‎ 由得，B（﹣，﹣），‎ 若=，可得A为FB的中点，‎ 可得﹣c﹣=﹣2•，‎ 化为b=3a，c==a，‎ e==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.‎ ‎17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；‎ ‎（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用向量数量积运算，即可求函数f（x）的解析式及最小正周期；‎ ‎（2）利用，△ABC的面积为，求出bc，利用余弦定理，求出，即可求△ABC的周长．‎ ‎【解答】解：（1），‎ ‎∴==4﹣2sin（x+），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 f（x）的最小正周期为2π； ‎ ‎（2）因为f（A）=4，所，因为0＜A＜π，所以，‎ 因为，所以bc=3，‎ 根据余弦定理，所以，‎ 即三角形的周长为．‎ ‎　‎ ‎18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：‎ 女性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎10‎ 男性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎45‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；‎ ‎（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求两名用户中评分都小于90分的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）作出女性用户和男性用户的频率分布表，由图可得女性用户更稳定．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为A，B，C，D，评分不小于90分的人数为2，记为a，b，设事件M为“两名用户评分都小于90分”从6人人任取2人，利用列举法能求出两名用户中评分都小于90分的概率．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：‎ 由图可得女性用户更稳定．‎ ‎（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，‎ 其中评分小于90分的人数为4，记为A，B，C，D，‎ 评分不小于90分的人数为2，记为a，b，‎ 设事件M为“两名用户评分都小于90分”从6人人任取2人，‎ 基本事件空间为Ω={（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），‎ ‎（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），‎ ‎（Da），（Db），（ab）}，共有15个元素．‎ M={（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD）}，共有6个元素．‎ P（M）=．‎ ‎　‎ ‎19． 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABE；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥C﹣PBD外接球的体积．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD⊥平面ABE．‎ ‎（Ⅱ）三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，由此能求出三棱锥C﹣PBD外接球的体积．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，1），‎ ‎=（0，2，﹣2），=（2，0，0），=（0，1，1），‎ ‎=0， =0，‎ ‎∴PD⊥AB，PD⊥AE，‎ ‎∵AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．‎ 解：（Ⅱ）∵AD，AP，AB两垂直，底面ABCD为矩形，‎ ‎∴三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，‎ ‎∴三棱锥C﹣PBD外接球的半径R==3，‎ ‎∴三棱锥C﹣PBD外接球的体积V===36π．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎20．已知函数f（x）=ax﹣lnx．‎ ‎（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；‎ ‎（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求出切线方程，即可求切点的横坐标；‎ ‎（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），化为ax2﹣ax﹣lnx≥0对∀x∈[1，+∞）恒成立，分类讨论，即可求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）设切点为（x0，ax0﹣lnx0），∴，‎ 直线的切线方程为y﹣（ax0﹣lnx0）=（a﹣）（x﹣x0），‎ 又切线过原点﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1，‎ 所以lnx0=1，解得x0=e，所以切点的横坐标为e．‎ ‎（2）因为不等式ax﹣lnx≥a（2x﹣x2）对∀x∈[1，+∞）恒成立，‎ 所以ax2﹣ax﹣lnx≥0对∀x∈[1，+∞）恒成立．‎ 设g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，g′（x）=2ax﹣a﹣．‎ ‎①当a≤0时，∵，∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，‎ 即g（x）≤g（1）=0，∴a≤0不符合题意．‎ ‎②当a＞0时，．设，‎ 在[1，+∞）上单调递增，即a≥1．‎ ‎（ i）当a≥1时，由h（x）≥0，得g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，‎ 即g（x）≥g（1）=0，∴a≥1符合题意；‎ ‎（ ii）当0＜a＜1时，∵a﹣1＜0，∴∃x0∈[1，+∞）使得h（x0）=0，‎ 则g（x）在[1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴g（x0）＜g（1）=0，则0＜a＜1不合题意．‎ 综上所述，a≥1．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎21．已知椭圆C：，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）根据题意，分析可得b=c=1，计算可得a的值，代入椭圆的方程即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，设直线AB的方程为y=k（x+1），与联立可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），由根与系数的关系分析可得直线AB的垂直平分线方程，由弦长公式可以表示|AB|，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，‎ 所以b=c=1，‎ 即a==，‎ 即椭圆C的方程为，‎ ‎（2）根据题意，过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，即直线AB的斜率存在，‎ 设直线AB的方程为y=k（x+1），‎ 与联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），‎ ‎，，‎ ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即，‎ 设直线AB的垂直平分线方程为，‎ 令y=0，得，‎ 因为，所以 ‎=；‎ 即线段AB长的范围是（，2）．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；‎ ‎（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，‎ 可得直角坐标方程：．‎ 直线l的参数方程为（t为参数），‎ 消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．‎ ‎（2），直角坐标为（2，2），，‎ ‎∴M到l的距离≤，‎ 从而最大值为．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．‎ ‎（1）求证：2a+b=2；‎ ‎（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；‎ ‎（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，‎ ‎∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，‎ ‎∴a+=1，2a+b=2；‎ 法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，‎ 显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（x）的最小值为f（）=a+，‎ ‎∴a+=1，2a+b=2．‎ ‎（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，‎ ‎=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），‎ 当a=b=时，取得最小值，‎ ‎∴≥t，即实数t的最大值为；‎ 方法二：∵a+2b≥tab恒成立，‎ ‎∴≥t恒成立，‎ t≤=+恒成立，‎ ‎+=+≥=，‎ ‎∴≥t，即实数t的最大值为；‎ 方法三：∵a+2b≥tab恒成立，‎ ‎∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，‎ ‎∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，‎ ‎∴（3+2t）2﹣326≤0，‎ ‎∴≤t≤，实数t的最大值为．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年4月18日 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费