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泸州市高2014级第三次教学质量诊断性考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.复数（其中是虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．-1
3.已知等比数列的公比，，则其前3项和的值为（ ）
A．24 B．28 C．32 D．16
4.已知平面向量，，则的值是（ ）
A．1 B．5 C． D．
5.如图，一环形花坛分成四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．12 B．24 C．18 D．6
6.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线的准线交于点，则线段的长为（ ）
A．10 B．6 C．8 D．4
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7.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8.已知函数的图象沿轴向左平移个单位后关于轴对称，则函数的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
9.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩（音gèng，意为道路）厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠目自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果的值为（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
10.已知中，，以为焦点的双曲线（）经过点，且与边交于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
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11.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数与（）的图象有且只有一个公共点，则所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 展开式中，项的系数为 ．
14.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ．
15.若函数，（且）的值域是，则实数的取值范围是 ．
16.已知数列的前项和（），则数列的通项公式 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知的三个内角的对边分别为，若.
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（1）求证：；
（2）若，，求边上的高.
18. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于95为正品，小于95为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
机床甲
8
12
40
32
8
机床乙
7
18
40
29
6
（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为正品的概率；
（2）甲机床生产一件零件，若是正品可盈利160元，次品则亏损20元；乙机床生产一件零件，若是正品可盈利200元，次品则亏损40元，在（1）的前提下，现需生产这种零件2件，以获得利润的期望值为决策依据，应该如何安排生产最佳？
19. 如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段上.
（1）当为何值时，平面？证明你的结论；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20. 已知点是圆上的任意一点，点为圆的圆心，点与点关于平面直角系的坐标原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若轨迹与轴正半轴交于点，直线交轨迹于两点，求
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面积的取值范围.
21. 已知函数（其中为自然对数的底数）
（1）设过点的直线与曲线相切于点，求的值；
（2）若函数的图象与函数的图象在内有交点，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线（为参数）经伸缩变换后的曲线为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）是曲线上两点，且，求的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，若的最小值为2.
（1）求实数的值；
（2）若，且均为正实数，且满足，求的最小值.
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试卷答案
一、选择题
1-5:ACBBC 6-10:DBBAD 11、12:AD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：
（1）因为，
所以，
因为，
所以
所以
即，
即，
因为，，所以，
所以或，
故；
（2）由及得，，
由余弦定理：得，
解得：，
由得，，
设边上的高为，则，
即，
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所以.
18.解：
（1）因为甲机床为正品的频率为，
乙机床为正品的频率约为，
所以估计甲、乙两机床为正品的概率分别为；
（2）若用甲机床生产这2件零件，设可能获得的利润为320元、140元、-40元，它们的概率分别为
，，
，
所以获得的利润的期望，
若用乙机床生产这2件零件，设可能获得的利润为为400元、160元、-80元，它们的概率分别为
，，，
让你以获得的利润的期望；
若用甲、乙机床各生产1件零件，设可能获得的利润为360元、180元、120元、-60元，它们的概率分别为
，，
，
所以获得的利润的期望
，
∵，
所以安排乙机床生产最佳.
19. 解：
（1）当时，平面，证明如下：
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在梯形中，设，连接，
因为，，
所以，又，
因为∽,
因此，
所以，因为是矩形，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）在平面内过点作，
因为平面平面，且交线为，
则平面，即，，
以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，
∴，取，
同理可得平面的法向量，
所以，
因为二面角是锐角，所以其余弦值是.
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20.解：
（1）由题意知圆的圆心为，半径为4，
所以，
由椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，
设椭圆的方程为（），且焦距为，则：
，即，
故椭圆的方程为；
（2）把直线，
代入椭圆方程消去得：，
由得：或，
因为直线与椭圆相交于两点，，
则，，
因为点，直线与轴交于点
的面积
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，
当且仅当，即时取等号，
满足
所心面积的取值范围是.
21.解：
（1）因为函数，所以，
故直线的斜率为，
点的切线的方程为，
因直线过，
所以，
即
解之得，
（2）令，所以，
设，则，
因函数的图象与函数的图象在内有交点，
设为在内的一个零点，
由，
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所以在和上不可能单增，也不可能单减，
所以在和上均存在零点，
即在上至少有两个零点，
当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点；
当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点；
当时，令，得，
∴在上递减，在上递增，
所以
设，则，
令，得，
当时，，递增，
当时，，递减，
所以，
∴恒成立，
若有两个零点，则有，，，
由，，得，
当，设的两个零点为，则在递增，在递减，在递增，
∴，，
所以在内有零点，
即函数的图象与函数的图象在内有交点，
综上，实数的取值范围是.
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22.解：
（1）曲线化为普通方程为：，
又即代入上式可知：
曲线的方程为，即，
∴曲线的极坐标方程为.
（2）设，（），
∴
，
因为，
所以的取值范围是
23.解：
（1）①当时，即时，
则当时，，
解得或（舍）；
②当时，即时，
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则当时，，
解得（舍）或
③当时，即，，
此时，不满足条件，
综上所述，或；
（2）由题意知，，
∵
当且仅当时取“”，
∴，所以的最小值为18
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