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第四章 三角形
(2013~2016)
第19课时 等腰三角形
江苏近4年中考真题精选
命题点1 (2016年5次,2015年12次,2014年12次,2013年8次)
1. (2014盐城7题3分)若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
2. (2015苏州7题3分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为( )
A. 35° B. 45° C. 55° D. 60°
第2题图 第3题图
3. (2014扬州7题3分)如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=( )2
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. (2016淮安16题3分)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是________.
5. (2014徐州16题3分)如图,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC,∠A=50°,折叠该纸片,使点A落在点B处,折痕为DE,则∠CBE=________.
第5题图 第6题图
6. (2016宿迁16题3分)如图,在矩形ABCD中,AD=4,点P是直线AD上一动点,若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个,则AB的长为________.
7. (2015南通16题3分)如图,△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=DB,∠BAC=102°,则∠ADC=______度.
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第7题图
8. (2015南京25题10分)如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)
第8题图
9. (2015宿迁21题6分)如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC.求证:∠C=2∠D.
第9题图
命题点2 等边三角形的性质与判定(2016年1次,2015年2次,2014年2次,2013年2次)
10. (2016常州18题2分)如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD,正△APE和正△PBC,则四边形PCDE面积的最大值是________.
第10题图
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答案
1. D 【解析】∵等腰三角形的两个底角相等,顶角是40°,∴其底角为=70°.
2. C 【解析】∵AB=AC,D为BC中点,∴∠BAC=2∠BAD=70°,∴∠C==55°.
3. C 【解析】如解图,过点P作PD⊥OB,交OB于点D,在Rt△OPD中,∵∠AOB=60°,∴∠OPD=30°,∴OD=OP=×12=6,∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2,∴MD=ND=MN=1,∴OM=OD-MD=6-1=5.2
第3题解图
4. 10 【解析】若三条线段的长分别为2,2,4,∵2+2=4,∴它们不能构成三角形,即此种情况不存在;若三条线段的长分别为2,4,4,此时能构成三角形,且周长为10.故该等腰三角形的周长为10.
5. 15° 【解析】∵AB=AC,∠A=50°,∴∠ACB=∠ABC=(180°-50°)=65°,∵将△ABC折叠,使点A落在点B处,折痕为DE,∠A=50°,∴∠ABE=∠A=50°,∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=65°-50°=15°.
6. 4或2 【解析】满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个,以BC为底的三角形必有一个:(1)如解图①,分别以B,C为圆心,BC长为半径的圆与直线AD有两个交点时,满足题意,以BC为腰的等腰三角形中有一个与以BC为底的三角形重合,∴△P1BC是等边三角形,∠ABP1=30°,利用三角函数可求出AB=2;(2)如解图②,当以B为圆心,BC长为半径的圆与直线AD只有一个交点,此时也满足题意,AB=BC=4.
第6题解图
7. 52 【解析】∵AC=AD=DB,∴∠B=∠BAD,∠ADC=∠C,设∠B=∠BAD=x,∴∠ADC=2x,∴∠
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C=2x,∴∠B+∠C=3x,∵∠BAC=102°,∴∠B+∠C=78°,∴3x=78°,解得x=26°,∴∠ADC=52°.
8. 【思维教练】3可能是等腰三角形的腰长,也可能是等腰三角形的底边长,等腰三角形的顶角可能是锐角,可能是直角,也可能是钝角.要把所有的问题考虑全.
解:如解图所示.
第8题解图
9. 证明:∵AB=AD=AC,
∴∠ABC=∠C,∠ABD=∠D,
∵AD∥BC,
∴∠D=∠DBC=∠ABD,
∴∠C=∠ABC=2∠ABD=2∠D.
10. 1 【解析】连接DE、DC,∵△ABD,△APE,△BPC都是等边三角形,∴∠EAD=∠EAP-∠DAP=∠PAB,同理∠PBA=∠CBD,∴△AED≌△APB(SAS),△APB≌△DCB(SAS),∴ED=PB,AP=DC,∵PB=PC,AP=EP,∴ED=PC,EP=DC,∴四边形PCDE是平行四边形,∠BCD=∠AED=90°,∴S五边形ABCDE=S△ABD+S△AED+S△BCD,S▱PCDE=S五边形ABCDE-S△APB-S△APE-S△BCP,S△AED=S△BCD=S△APB,S▱PCDE=S△ABD+2S△APB-S△APB-S△APE-S△BPC=S△ABD+S△APB-S△APE-S△BPC,设AP=x,BP=y,原式=×22+xy-x2-y2=+xy-(x2+y2)=+xy-=xy=S△APB,∴当AP=BP时,S▱PCDE最大=S△ABP最大=××=1.
第10题解图
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