2.2 一元二次方程的解法
一、选择题
1. 若 9x2 − (k + 2)x + 4 是一个关于 x 的完全平方式，则 k 的值为 ( )
A. 10 B. 10 或 14 C. −10 或 14 D. 10 或 −14
2. 一元二次方程 (x + 6)2 = 16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x + 6 = 4，则另一个一元一
次方程是( )
A. x − 6 = −4 B. x − 6 = 4 C. x + 6 = 4 D. x + 6 = −4
3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 +px+q = 0 的两个根分别为 a，b，则多项式 x2 +px+q 可因式分解为 ( )
A. (x − a) (x − b) B. (x + a) (x + b) C. (x − a) (x + b) D. (x + a) (x − b)
4. 用公式法解方程 x2 − x − 1 = 0，可得方程的根为 ( )
A. x = 1 −
√
5 B. x = 1
√
5
2 C. x = −1 +
√
5 D. x = −1
√
5
2
5. 方程 x2 + x − 1 = 0 的一个根是( )
A. 1 −
√
5 B. 1 −
√
5
2 C. −1 +
√
5 D. −1 +
√
5
2
6. 不论 x，y 为何实数，代数式 x2 + y2 + 2x − 4y + 7 的值 ( )
A. 总不小于 2 B. 总不小于 7 C. 为任何实数 D. 可能为负数
7. 若关于 x 的一元二次方程 a (x − b)2 = 7 的根为 1
2
1
2
√
7，其中 a，b 为常数，则 a + b 的值为 ( )
A. 5
2 B. 9
2 C. 3 D. 5
8. 若关于 x 的一元二次方程 (m − 1) x2 + 5x + m2 − 3m + 2 = 0 的常数项为 0，则 m 的值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 0
9. 若关于 x 的方程 mx2 − 2x + 1 = 0 有实根，则 m 的取值范围是( )
A. m < 1 B. m < 1 且 m ̸= 0 C. m ⩽ 1 D. m ⩽ 1 且 m ̸= 0
10. 若一元二次方程 2x (kx − 4) − x2 + 6 = 0 无实数根，则 k 的最小整数值是 ( )
A. −1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
11. 把方程 2x2 + 4x − 1 = 0 配方后得 (x + m)2 = k，则 m = ；k = ．
12. 一元二次方程 2x2 − 3x + k = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的最大整数值是 ．
13. 方程 x2 − 4 = 0 的解是 ．
14. 方程 (x − 1)2 = 25 的解是 ．
15. 方程 x2 − 2x − 1 = 0 的解是 ．
16. 若 (m2 + n2) (m2 + n2 − 2) − 8 = 0，则 m2 + n2 的值是 ．
17. 解一元二次方程 x2 + 2x − 3 = 0 时，可转化为两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 ．
18. 若
(
x + 1
x
)2
= 17
4 ，则
(
x − 1
x
)2
的值为 ．
19. 若 |b−1|+
√
a − 4 = 0，且关于 x 的一元二次方程 kx2 +ax+b = 0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 ．
第 1 页，共 2 页20. 若
√
x2 + 3x + 2 + |x2 + 4x + 3| = 0，则 x 的值为 ．
三、解答题
21. 用配方法解方程：
(1) 0.2x2 − x − 0.1 = 0；
(2) 3x2 + 12x − 1 = 0．
22. 解方程：
(1) 2x2 −
√
3x − 1 = 0．
(2) (x − 2) (x − 3) = 1．
23. 已知关于 x 的方程 x2 − 5x + 3a + 3 = 0．
(1) 若 a = 1，请你解这个方程；
(2) 若方程有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围．
24. 不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) 3x2 + 2x − 4 = 0
(2) 1
3 x2 − x + 1 = 0
(3) 3x (x − 1) = 1
(4)
√
5x2 − x +
√
5
20 = 0
25. 解下列方程：
(1) (x − 1)2 = (3x + 4)2
(2) x2 + 2ax + a2 = b2 ( a，b 为常数)
第 2 页，共 2 页2.2 一元二次方程的解法—答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D A B D A B B C B
1. ∵ 9x2 − (k + 2)x + 4 是一个完全平方式，
∴ 9x2 −(k + 2)x+4 = (3x + 2)2 或 9x2 −(k + 2)x+4 = (3x − 2)2，
∴ −(k + 2) = 12 或 −(k + 2) = −12，
∴ k = −14 或 k = 10．
2. 由 (x + 6)2 = 16，两边开方可得 x + 6 = 4，
因为其中一个一次方程为 x + 6 = 4，
所以另一个方程为 x + 6 = −4．
6.
x2 + y2 + 2x − 4y + 7
= x2 + 2x + 1 + y2 − 4y + 4 + 2
= (x + 1)2 + (y − 2)2 + 2
．
∵ (x + 1)2 + (y − 2)2 ⩾ 0，
∴ (x + 1)2 + (y − 2)2 + 2 ⩾ 2，
即 x2 + y2 + 2x − 4y + 7 ⩾ 2．
7. (x − b)2 = 7
a
，x − b =
√
7
a
∴ x = b
√
7
a
．
∵ 方程的根为 1
2
1
2
√
7，
∴ b = 1
2
，
√
7
a = 1
2
√
7，
∴ a = 4，
∴ a + b = 4 + 1
2 = 9
2
．
8. 由题意，得 m2 − 3m + 2 = 0，
(m − 1) (m − 2) = 0，
∴ m = 1 或 m = 2．
又 ∵ m − 1 ̸= 0，即 m ̸= 1，
∴ m = 2．
9. 当 m = 0 时，方程为 −2x + 1 = 0，有实根；
当 m ̸= 0 时，方程为一元二次方程，∆ = (−2)2 − 4m ⩾ 0，解得
m ⩽ 1．
综上所述 m ⩽ 1．
10. 原方程整理后，得 (2k − 1) x2 − 8x + 6 = 0．
∵ 方程无实数根，∴ 2k−1 ̸= 0 且 b2 −4ac = (−8)2 −4 (2k − 1)×6 =
88 − 48k < 0，
∴ k > 11
6
，∴ k 的最小整数值为 2．
二、填空题
11. 1； 3
2
12. 1 解析：提示：∆ > 0，解得 k < 9
8
．
13. x1 = −2，x2 = 2
14. x1 = 6，x2 = −4
15. x = 1
√
2
16. 4 解析：原方程可化为
(
m2 + n2
)2 − 2
(
m2 + n2
)
− 8 = 0，
∆ = (−2)2 − 4 × 1 × (−8) = 36，
∴ m2 + n2 = 2
√
36
2 = 2 6
2
，
∴ m2 + n2 = 4 或 m2 + n2 = −2．
∵ m2 + n2 ⩾ 0，
∴ m2 + n2 = 4．
17. x + 3 = 0（或 x − 1 = 0） 解析：由 x2 + 2x − 3 = 0
得 (x + 3) (x − 1) = 0，
∴ x + 3 = 0 或 x − 1 = 0．
18. 1
4
解析：由
Ä
x + 1
x
ä2
= 17
4
得 x2 + 2 + 1
x2 = 17
4
，Ä
x − 1
x
ä2
= x2 − 2 + 1
x2
= 17
4
− 4
= 1
4 .
19. k ⩽ 4 且 k ̸= 0 解析：∵ |b − 1| +
√
a − 4 = 0，
∴ b − 1 = 0 且 a − 4 = 0 .
∴ b = 1，a = 4 .
∴ 一元二次方程为 kx2 + 4x + 1 = 0 .
又该一元二次方程有两个实数根，
∴ ∆ = 16 − 4k ⩾ 0 且 k ̸= 0 .
∴ k ⩽ 4 且 k ̸= 0．
20. −1 解析：由题意，得
ß
x2 + 3x + 2 = 0，x
x2 + 4x + 3 = 0，y
解x，得 x = −2或 − 1．
解y，得 x = −3或 − 1．
∴ x 的值为 −1．
三、解答题
21.
(1)
x2 − 5x = 1
2
，
Ä
x − 5
2
ä2
= 27
4
，
x − 5
2 =
√
27
4
，
x1 = 3
2
√
3 + 5
2
，x2 = − 3
2
√
3 + 5
2 .
(2)
x2 + 4x − 1
3 = 0，
x2 + 4x = 1
3
，
(x + 2)2 = 13
3
，
x + 2 =
√
39
3
，
x1 = −2 +
√
39
3
，x2 = −2 −
√
39
3 .
22.
(1)
a = 2， b = −
√
3， c = −1，b2−4ac = 3+8 = 11. ∴ x =
√
3
√
11
4
， ∴ x1 =
√
3 +
√
11
4
， x2 =
√
3 −
√
11
4 .
(2) 原方程可化为
x2−5x+5 = 0，a = 1， b = −5， c = 5，b2−4ac = 25−20 = 5， ∴ x = 5
√
5
2
， ∴ x1 = 5 +
√
5
2
， x2 = 5 −
√
5
2 .
23.
(1) 当 a = 1 时，
x2 − 5x + 6 = 0
(x − 2) (x − 3) = 0.
∴ x1 = 2，x2 = 3．
(2) ∵ 方程有两个不相等的实数根，
所以
∆ = (−5)2 − 4 (3a + 3) > 0
a < 13
12 .
24.
(1) a = 3，b = 2，c = −4，
b2 − 4ac = 22 − 4 × 3 × (−4) = 52 > 0，
∴ 原方程有两个不相等的实数根．
(2) a = 1
3
，b = −1，c = 1，
b2 − 4ac = (−1)2 − 4 × 1
3
× 1 = − 1
3 < 0，
∴ 原方程无实数根．
(3) 3x2 − 3x − 1 = 0，
a = 3，b = −3，c = −1，
b2 − 4ac = (−3)2 − 4 × 3 × (−1) = 21 > 0，
答案∴ 原方程有两个不相等的实数根．
(4) a =
√
5，b = −1，c =
√
5
20
，
b2 − 4ac = (−1)2 − 4 ×
√
5 ×
√
5
20 = 0，
∴ 原方程有两个相等的实数根．
25.
(1)
x − 1 = (3x + 4) ，
∴ x − 1 = 3x + 4或x − 1 = −3x − 4
∴ x1 = − 5
2
，x2 = − 3
4 .
(2)
(x + a)2 = b2，
x + a = b，
∴ x1 = −a + b，x2 = −a − b.
答案
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