2.1 一元二次方程
一、选择题
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是 ( )
A. 2x2 + x − 2 B. 1
x2
+ x − 1 = 0 C. 2x2 + y − 2 = 0 D. x2 +
√
2x − 1 = 0
2. 如果关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + b = 0 的两个根分别为 x1 = 3，x2 = 1，那么这个一元二次方程是
( )
A. x2 + 3x + 4 = 0 B. x2 − 4x + 3 = 0 C. x2 + 4x − 3 = 0 D. x2 + 3x − 4 = 0
3. 关于 x 的方程 (a2 − a − 2) x2 + ax + b = 0 是一元二次方程的条件是 ( )
A. a ̸= −1 B. a ̸= 2 C. a ̸= −1 且 a ̸= 2 D. a ̸= −1 或 a ̸= 2
4. 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ̸= 0)，下列说法中，错误的是 ( )
A. 若 a + b + c = 0，则方程有一个根为 1 B. 若方程有一个根为 1，则 a + b + c = 0
C. 若 b = 0，则方程的两个根互为相反数 D. 若方程的两个根互为相反数，则 b = 0
5. 若关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 满足 a − b + c = 0，则方程必有一根为 ( )
A. 0 B. 1 C. −1 D. 1
6. 若 x = 2 是方程 3x2 − mx − 1 = 0 的一个解，则 m 的值是 ( )
A. 2 B. 11
2 C. 11 D. 15
2
7. 将一元二次方程 −3x2 − 2 = −4x 化成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a > 0) 后，一次项和常数项分别是 ( )
A. −4，2 B. −4x，2 C. 4x，−2 D. 3x2，2
8. 将方程 (4 + 3x) (2x − 1) = 1 化为一般形式是 ( )
A. 8x2 + 6x − 5 = 0 B. 8x2 − 5x + 5 = 0 C. 6x2 + 5x − 5 = 0 D. 6x2 − 6x + 5 = 0
9. 对于方程 ax2 + bx + c = 0，若 4a + 2b + c = 0，则方程必有一根为 ( )
A. x = −2 B. x = 2 C. x = 0 D. x = 2
10. 若 t 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ̸= 0) 的根，则判别式 ∆ = b2 − 4ac 和完全平方式 M = (2at + b)2 的关
系是( )
A. ∆ = M B. ∆ > M C. ∆ < M D. 大小关系不能确定
二、填空题
11. 一元二次方程 2x2 + 4x − 1 = 0 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
12. 关于 x 的一元二次方程 m (3x2 − 1) − 2mx = (m + 1) x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常
数项是 ．
13. 方程 3x2 − 5x + 2 = 0 的二次项系数为 ，一次项系数为 ．
14. 方程 (2x − 1) (3x + 1) = x2 +2 化成一般形式为 ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，
常数项为 ．
15. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 − bx + 3 = 0 的一个实数根为 1，则 b = ．
16. 若 b (b ̸= 0) 是关于 x 的方程 x2 + cx + 2b = 0 的根，则 b + c 的值为 ．
17. 写出一个以 − 1
2 和 3
5 为根的一元二次方程： ．
18. 将一元二次方程 (1 + 3x) (x − 3) = 2x2 + 1 化为一般形式为 ．
19. 已知关于 x 的一元二次方程 (k − 1) x2 + 6x + k2 − 3k + 2 = 0 的常数项为零，则 k 的值为 ．
第 1 页，共 2 页20. 已知关于 x 的一元二次方程 2x2 − 3kx + 4 = 0 的一个根是 1，则 k = ．
三、解答题
21. 把下列方程化成二次项系数为正的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) 2x (1 + 3x) = 3 + 2x；
(2) (x − 2)2 − (2x + 1)2 = 0．
22. 判断下列各方程后面括号内的两个数是不是它的解．
(1) x2 − 6x − 7 = 0，（−1，7）；
(2) x2 − 4x + 1 = 0，（−2 +
√
3，2 −
√
3）
23. 若 x2a+b − 2xa−b + 3 = 0 是关于 x 的一元二次方程，试求整数 a，b 的值．
24. 请阅读下列材料：
问题：已知方程 x2 + x − 1 = 0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍．
解：设所求方程的根为 y，则 y = 2x，所以 x = y
2 ．
把 x = y
2 代入已知方程，得
( y
2
)2
+ y
2
− 1 = 0．
化简，得 y2 + 2y − 4 = 0．
故所求方程为 y2 + 2y − 4 = 0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1) 已知方程 x2 + x − 2 = 0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：
．
(2) 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ̸= 0) 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使
它的根分别是已知方程根的倒数．
25. 判断下列方程后面括号里的数是否为一元二次方程的根．
(1) 2x2 − 3x + 1 = 0，（ 1
2 ，1）
(2) x2 − 2
√
3x + 3 = 0．（
√
3，1）
第 2 页，共 2 页2.1 一元二次方程—答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B C C C B B C B A
2. 将 x1 = 3，x2 = 1 代入方程，得
ß
32 + 3a + b = 0，
1 + a + b = 0， ，解得
ß
a = −4，
b = 3.
∴ 这个一元二次方程是 x2 − 4x + 3 = 0．
5. ∵ 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 满足 a − b + c = 0，
把 x = −1 代入方程，得 a − b + c = 0，
∴ 方程必有一根为 −1．
10. t 是一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a ̸= 0) 的根，则 at2+bt+c = 0
，
所以 4a2t2 + 4abt + 4ac = 0 ，
4a2t2 + 4abt = −4ac ，
4a2t2 + 4abt + b2 = b2 − 4ac ，
(2at + b)2 = b2 − 4ac = ∆ ．
二、填空题
11. 2；4；−1
12. 3m；−3m−1；−m 解析：去括号，得 3mx2−m−2mx = mx+x，
移项，得 3mx2 − 2mx − mx − x − m = 0，
合并同类项，得 3mx2 − (3m + 1) x − m = 0，
故二次项系数是 3m，一次项系数是 −3m − 1，常数项是 −m．
13. 3；−5
14. 5x2 − x − 3 = 0；5；−1；−3
15. 4
16. −2
17.
Ä
x + 1
2
ä Ä
x − 3
5
ä
= 0 (答案不唯一)
18. x2 − 8x − 4 = 0．
19. 2 解析：k 需要满足
ß
k − 1 ̸= 0，
k2 − 3k + 2 = 0.
20. 2 解析：∵ 关于 x 的一元二次方程 2x2 − 3kx + 4 = 0 的一个
根是 1，
∴ 2 − 3k + 4 = 0，解得 k = 2．
三、解答题
21.
(1) 2x + 6x2 = 3 + 2x，
6x2 − 3 = 0．
这个方程的二次项系数为 6，一次项系数为 0，常数项为 −3．
(2) x2 − 4x + 4 − 4x2 − 4x − 1 = 0，
−3x2 − 8x + 3 = 0，
3x2 + 8x − 3 = 0．
这个方程的二次项系数为 3，一次项系数为 8，常数项为 −3．
22.
(1) 当 x = −1 时，左边 = 1 + 6 − 7 = 0 = 右边，
∴ x = −1 是原方程的解．
当 x = 7 时，左边 = 49 − 42 − 7 = 0 = 右边，
∴ x = 7 是原方程的解．
(2) 当 x = −2+
√
3 时，左边 =
(
−2 +
√
3
)2 −4×
(
−2 +
√
3
)
+1 =
4 − 4
√
3 + 3 + 8 − 4
√
3 + 1 = 16 − 8
√
3 ̸= 右边，
∴ x = −2 +
√
3 不是原方程的解．
当 x = 2 −
√
3 时，左边 =
(
2 −
√
3
)2 − 4 ×
(
2 −
√
3
)
+ 1 =
4 − 4
√
3 + 3 − 8 + 4
√
3 + 1 = 0 = 右边，
∴ x = 2 −
√
3 是原方程的解．
23. 分五种情况讨论：
x
ß
2a + b = 2，
a − b = 1， 解得
ß
a = 1，
b = 0.
y
ß
2a + b = 2，
a − b = 0， 解得
{
a = 2
3
，
b = 2
3
，
不合题意，舍去．
z
ß
2a + b = 1，
a − b = 2， 解得
ß
a = 1，
b = −1.
{
ß
2a + b = 0，
a − b = 2， 解得
{
a = 2
3
，
b = − 4
3
，
不合题意，舍去．
|
ß
2a + b = 2，
a − b = 2， 解得
{
a = 4
3
，
b = − 2
3
不合题意，舍去．
∴ 整数 a，b 的值为
ß
a = 1，
b = 0
或
ß
a = 1，
b = −1.
24.
(1) y2 −y −2 = 0 解析：设新一元二次方程的根是 y，则 x+y = 0，
所以 x = −y．
把 x = −y 带入方程 x2 + x − 2 = 0 得到 y2 − y − 2 = 0．
(2) 设所求方程的根为 y，则 y = 1
x (x ̸= 0)，于是 x = 1
y (y ̸= 0)，
把 x = 1
y
代入方程 ax2 + bx + c = 0，得 a
(
1
y
)2
+ b · 1
y + c = 0，
去分母，得 a + by + cy2 = 0，
若 c = 0，有 ax2 + bx = 0，
于是方程 ax2 + bx + c = 0 有一个根为 0，不符合题意．
所以 c ̸= 0．故所求方程为 cy2 + by + a = 0 (c ̸= 0)．
25.
(1) 当 x = 1
2
时，左边 = 2 ×
Ä
1
2
ä2 − 3 × 1
2 + 1 = 0 = 右边；
当 x = 1 时，左边 = 2 − 3 + 1 = 0 = 右边．
所以 1
2
，1 都是方程的根．
(2) 当 x =
√
3 时，左边 =
(√
3
)2 − 2
√
3 ×
√
3 + 3 = 0 = 右边；
当 x = 1 时，左边 = 12 − 2
√
3 + 3 ̸= 右边．
所以 1 不是方程的根，
√
3 是方程的根．
答案
微信/支付宝扫码支付