2017苏州等四市高三数学调研试卷2及答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）‎ ‎ 数 学 Ⅰ 试 题 2017.5‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置．‎ ‎3．答题时，必须用毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．‎ ‎4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．‎ ‎5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知集合，，则 ▲ ． ‎ ‎2．已知i为虚数单位，复数，，且，则 ▲ ． ‎ ‎3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布．若利用组中值近似计算本组数据的平均数，则的值为　 ▲ ．‎ 数据 频数 ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4．已知直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ．‎ 输入 输出 ‎5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．右图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入的值为1，则输出的值为 ▲ ．‎ ‎6．已知是集合所表示的区域，是集合 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所表示的区域，向区域内随机的投一个点，则该点落在区域内的概率为 ▲ ． ‎ ‎7．已知等比数列的前n项和为，公比，，则 ▲ ． ‎ ‎8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为 ▲ ．‎ ‎9．已知是第二象限角，且，，则 ▲ ．‎ ‎10．已知直线：，圆：，当直线被圆所截得的弦长最短时，实数 ▲ ．‎ ‎11．在△中，角对边分别是，若满足，则角的大小为 ▲ ．‎ ‎12．在△中，，，，是△ABC所在平面内一点，若 ‎，则△PBC面积的最小值为 ▲ ． ‎ ‎13．已知函数 若函数有三个零点，则实数b 的取值范围为 ▲ ．‎ ‎14．已知均为正数，且，则的最小值为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分） ‎ ‎ 已知向量,．‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）若，且，求的值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 P G F E D C B A ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，‎ E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，，‎ ‎．‎ ‎（1）求证：AB⊥平面EDC；‎ ‎（2）若P为FG上任一点，证明EP∥平面BCD．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）．‎ ‎（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 已知函数，a，b为实数，， e为自然对数的底数，…．‎ ‎（1）当，时，设函数的最小值为，求的最大值；‎ ‎（2）若关于x 的方程在区间上有两个不同实数解，求的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ ‎ 已知椭圆的左焦点为，左准线方程为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知直线交椭圆于，两点．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，．求证：为定值；‎ ‎　 ②若A，B两点满足（O为 坐标原点），求△AOB面积的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列满足,其中,,为非零常数．‎ ‎（1）若，求证：为等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列是公差不等于零的等差数列．‎ ‎①求实数的值；‎ ‎②数列的前n项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．‎ ‎2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）‎ ‎ 数学Ⅱ（附加）试题 2017.5‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，如多答，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．‎ ‎3．答题时，必须用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．‎ ‎4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．‎ ‎5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． ‎ ‎21．【选做题】本题包括，，，四小题，每小题10分. 请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．（选修4－1：几何证明选讲）‎ A B C DO E O 如图，直线切圆于点，直线交圆于两点，于点，‎ 且，求证：．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 B．（选修4—2：矩阵与变换）‎ 已知矩阵的一个特征值及对应的特征向量．‎ 求矩阵的逆矩阵．‎ C．（选修4—4：坐标系与参数方程）‎ 在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线的参数方程为为参数)，曲线的极坐标方程为（）．若曲线与曲线有且仅有一个公共点，求实数的值．‎ D.（选修4—5：不等式选讲）‎ 已知为正实数，求证：．‎ ‎【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分. 请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第局得分（）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束． ‎ ‎（1）求在一局游戏中得3分的概率；‎ ‎（2）求游戏结束时局数的分布列和数学期望．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎23．（本小题满分10分） ‎ 已知，‎ 其中．‎ ‎（1）试求，，的值；‎ ‎（2）试猜测关于n的表达式，并证明你的结论．‎ ‎2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）‎ 数学参考答案 2017.5‎ 一、填空题．‎ ‎1． 2．1 3．19.7 4． ‎ ‎5．14 6． 7． 8． ‎ ‎9． 10．-1 11． 12． ‎ ‎13． 14．7 ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．‎ ‎15．解：（1）当时，，， ……………………………4分 ‎　　　　所以．…………………………………………………………6分 ‎（2）‎ ‎　　　　　 ， ………………………8分 ‎　　　若，则，即，‎ ‎　　　因为，所以，所以， ……………10分 ‎　　　则 ……………12分 ‎　　　　　 ． ……………………………14分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎16．（1）因为平面ABC⊥平面ACD，，即CD⊥AC，‎ ‎　　平面ABC 平面ACD=AC，CD平面ACD，‎ 所以CD⊥平面ABC， ………………………………………………………………3分 又AB平面ABC，所以CD⊥AB， ………………………………………………4分 ‎　　因为，E为AB的中点，所以CE⊥AB， …………………………………6分 又，CD平面EDC，CE平面EDC，‎ 所以AB⊥平面EDC． …………………………………………………………………7分 ‎（2）连EF，EG，因为E，F分别为AB，AD的中点，‎ ‎　　所以EF∥BD，又平面BCD，平面BCD，‎ ‎　　所以EF∥平面BCD， ………………………………………………………………10分 ‎　　同理可证EG∥平面BCD，且EFEG=E，EF平面BCD，EG平面BCD，‎ ‎　　所以平面EFG∥平面BCD， ………………………………………………………12分 又P为FG上任一点，所以EP平面EFG，所以EP∥平面BCD．……………14分 ‎17．解：（1）（）．………………4分 ‎（2）法一：‎ ‎．……………………………………8分 当且仅当时，即时取等号．……………………………10分 故．………………………………………………………………12分 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分 法二：，由得，．……………………………7分 故当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减；…………………10分 故．………………………………………………………………12分 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分 ‎18．解：（1）当时，函数，‎ 则， ………………………………………………………2分 令，得，因为时，，‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 所以， ……………………………4分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 令，‎ 则，令，得，‎ 且当时，有最大值1，‎ 所以的最大值为1（表格略），(分段写单调性即可)，此时．………6分 ‎（2）由题意得，方程在区间上有两个不同实数解，‎ 所以在区间上有两个不同的实数解，‎ 即函数图像与函数图像有两个不同的交点，…………………9分 因为，令，得，‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎3e 所以当时，，……………………………………………14分 当时，，‎ 所以满足的关系式为 ，即的取值范围为．…………16分 ‎19．解：（1）由题设知，，即，……………………1分 ‎　　 代入椭圆得到，则，，…………………2分 ‎　 　∴． ……………………………………………………………………3分 ‎（2）①由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则．‎ 设，直线代入椭圆得，整理得，‎ ‎，∴． ……………5分 ‎　　由，知，， ……………………………7分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　 ∴（定值）．………9分 ‎　②当直线分别与坐标轴重合时，易知△AOB的面积，……………10分 ‎　　当直线的斜率均存在且不为零时，设，‎ ‎　　设，将代入椭圆得到，‎ ‎　　∴，同理， …………………12分 ‎　　 △AOB的面积． ………………………………13分 ‎　　令，，‎ ‎　　令，则． ……………15分 ‎　　 综上所述，． ………………………………………………………16分 ‎20．解：（1）当时，，‎ ‎　 ∴．……………………………………………………………………2分 ‎　又，不然，这与矛盾，…………………………………3分 ‎　 ∴为2为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎　 ∴，∴． …………………………………………………4分 ‎（2）①设，‎ ‎　　由得，‎ ‎∴， …………………………5分 ‎　　∴‎ ‎　　对任意恒成立． ………………………………………………………………7分 ‎　 ∴即∴．…………9分 ‎　　综上，． ……………………………………………………10分 ‎　　②由①知．‎ 设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数．‎ 若三个奇数一个偶数，设是满足条件的四项，‎ ‎　　则，‎ ‎∴，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去． ……11分 若一个奇数三个偶数，设是满足条件的四项，‎ 则，∴． ……………………………12分 由504为偶数知，中一个偶数两个奇数或者三个偶数．‎ ‎1）若中一个偶数两个奇数，不妨设 则，这与251为奇数矛盾． ………………………13分 ‎2）若均为偶数，不妨设，‎ 则，继续奇偶分析知中两奇数一个偶数，‎ 不妨设，，，则． …14分 因为均为偶数，所以为奇数，不妨设，‎ 当时，，，检验得，，，‎ 当时，，，检验得，，，‎ 当时，，，检验得，，，‎ 即或者或者满足条件，‎ 综上所述，，，为全部满足条件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（第Ⅱ卷 理科附加卷）‎ ‎21．【选做题】本题包括，，，四小题，每小题10分.‎ A．（选修4－1　几何证明选讲）.‎ 解：连结OD，设圆的半径为R，，则，． …………2分 在Rt△ODE中，∵，∴，即， ①‎ 又∵直线DE切圆O于点D，则，即，② ………6分 ‎∴，代入①，，， ……………………………8分 ‎∴，‎ ‎∴． ……………………………………………………………………10分 B．（选修4—2：矩阵与变换）‎ 解：由题知，……………………4分 ‎∴，.…………………………………………………………6分 ‎， …………………………………………………8分 ‎∴． ………………………………………………………………10分 C．（选修4—4：坐标系与参数方程）‎ 解：，‎ ‎∴曲线的普通方程为． ……………………………………4分 ‎，‎ ‎　　∴曲线的直角坐标方程为， ……………………………………6分 ‎　　曲线圆心到直线的距离为， ………………………8分 ‎∴，∴或．………………………………10分（少一解，扣一分）‎ D．（选修4—5：不等式选讲）‎ 解法一：基本不等式 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　　　∵，，，‎ ‎　　　∴， ………………………………………6分 ‎　　　∴， ………………………………………………………10分 解法二：柯西不等式，‎ ‎　　∴， …………………………………………………………10分 ‎【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.‎ ‎22．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件，‎ ‎　　　则．… …………………………………………………………2分 ‎　　答：在一局游戏中得3分的概率为．………………………………………………3分 ‎（2）的所有可能取值为．‎ 在一局游戏中得2分的概率为，…………………………………5分 ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以 ‎ ‎………………………………………………………………………………………………8分 ‎∴．…………………………………10分 ‎23．解：(1)；………………………………………1分 ‎ ‎ ‎； ………………………………………2分 ‎． ………………………………………3分 ‎（2）猜测：． …………………………………………………………………4分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　而，，‎ ‎　　所以．　 …………………………………………………………………5分 用数学归纳法证明结论成立． ‎ ‎①当时，，所以结论成立．‎ ‎②假设当时，结论成立，即．‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎（）‎ ‎　　由归纳假设知（）式等于．‎ ‎　　所以当时，结论也成立．‎ 综合①②，成立． ………………………………………………………10分 ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费