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第五章《生活中的轴对称》检测题 A
一．选择题（共12小题）
1．以下图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM
3．已知△ABC的周长是l，BC=l﹣2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（ ）
A．△ABC的边AB的垂直平分线 B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边BC上的中线所在的直线 D．△ABC的边AC上的高所在的直线
4．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（ ）
A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm
5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）
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A．25° B．30° C．35° D．40°
6．如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
7．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（ ）
A．115° B．120° C．130° D．140°
8．如图，△ABC的面积为6，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5.5 D．10
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
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10．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
11．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共6小题）
13．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为 ．
14．如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 ．
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16．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC= cm．
17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
18．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种．
三．解答题（共8小题）
19．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．
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21．图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；
（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．
22．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l．
23．作图题：在方格纸中：画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
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24．请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）
25．如图，直线l同侧有A、B两点，请利用直尺和圆规在直线l上求作一点P，使AP+BP值最小．（不写作法，保留作图痕迹）
26．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，且PD∥AB，PE∥AC，BC=5，求△PDE的周长．
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参考答案与解析
一．选择题
1．【分析】根据对称轴的概念求解．
解：A、有4条对称轴；
B、有6条对称轴；
C、有4条对称轴；
D、有2条对称轴．
故选D．
2．【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，
∵点P时直线MN上的点，
∴∠MAP=∠MBP，
∴A，C，D正确，B错误，
故选B．
3．【分析】根据条件可以推出AB=AC，由此即可判断．
解：∵l=AB+BC+AC，
∴BC=l﹣2AB=AB+BC+AC﹣2AB，
∴AB=AC，
∴△ABC中BC边中线所在的直线是△ABC的对称轴，
故选C．
4．【分析】利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用MN=4cm，得出NQ的长，即可得出QR的长．
解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴PM=MQ，PN=NR，
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∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，
∴RN=3cm，MQ=2.5cm，
即NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5（cm），
则线段QR的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．
故选：A．
5．【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：B．
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6．【分析】利用两点之间线段最短分析并验证即可即可．
解：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，
∴CB=CB′，
又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，
∴CB′+CA最短，
即CA+CB的值最小，
将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．
故选D．
7．【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得出∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，根据三角形内角和定理求出∠CFB'=50°，进而解答即可．
解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，
∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，
∵∠2=40°，
∴∠CFB'=50°，
∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，
即∠1+∠1﹣50°=180°，
解得：∠1=115°，
故选A．
8．【分析】过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB=∠CAB，根据角平分线性质得出BN=BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是4，得出选项即可．
解：如图：
过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，
∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，
∴∠C′AB=∠CAB，
∴BN=BM，
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∵△ABC的面积等于6，边AC=3，
∴×AC×BN=6，
∴BN=4，
∴BM=4，
即点B到AD的最短距离是4，
∴BP的长不小于4，
即只有选项A的3不正确，
故选A．
9．【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．
故选B．
10．【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
11．【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
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故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选C．
12．【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠BDE，从而得到∠ABD=∠BDE，再根据等角对等边可得BE=DE，然后求出△AED的周长=AB+AD，代入数据计算即可得解．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵ED∥BC，
∴∠CBD=∠BDE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE，
△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，
∵AB=3，AD=1，
∴△AED的周长=3+1=4．
故选C．
二．填空题
13．【分析】过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PC，从而得解．
解：如图，过P作PD⊥OA于D，
∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB，
∴PD=PC，
∵PC=3，
∴PD=3．
故答案为：3．
14．【分析】
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根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
故答案为：13．
15．【分析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM∽△ABC，得到=求出FM即可解决问题．
解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．（点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小）
∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴=，
∵CF=2，AC=6，BC=8，
∴AF=4，AB==10，
∴=，
∴FM=3.2，
∵PF=CF=2，
∴PM=1.2
∴点P到边AB距离的最小值是1.2．
故答案为1.2．
16．【分析】延长原矩形的边，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACB，根据翻折变换的性质可得∠1=∠ABC，从而得到∠ABC=∠ACB，再根据等角对等边可得AC=AB，从而得解．
解：如图，延长原矩形的边，
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∵矩形的对边平行，
∴∠1=∠ACB，
由翻折变换的性质得，∠1=∠ABC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AC=AB，
∵AB=6cm，
∴AC=6cm．
故答案为：6．
17．【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数．
解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=48°，
∴∠A=90°﹣48°=42°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C==69°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，
∴∠BAC=180°﹣42°=138°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C==21°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．
故答案为：69°或21°．
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18．【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．
解：如图所示：
故一共有13做法，
故答案为：13．
三．解答题
19．【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC，从而得证；
（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
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∴∠BEC=∠BDC=90°
∴△BEC≌△CDB
∴∠DBC=∠ECB，BE=CD
在△BOE和△COD中
∵∠BOE=∠COD，BE=CD，∠BEC=∠BDE=90°
∴△BOE≌△COD，
∴OB=OC；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，
∴∠A=180°﹣2×50°=80°，
∴∠DOE+∠A=180°
∴∠BOC=∠DOE=180°﹣80°=100°．
20．【分析】由AB=AC，AD是角平分线，即可利用（SAS）证出△ABD≌△ACD，同理可得出△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD．
解：△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD．
以△ABE≌△ACE为例，证明如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS）．
21．【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；
（2）直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案．
解：（1）如图1所示：四边形AQCP即为所求，它的周长为：4×=4；
（2）如图2所示：四边形ABCD即为所求．
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22．【分析】根据轴对称的性质，对应边所在直线的交点一定在对称轴上，图1过点A和BC与EF的交点作直线即为对称轴直线l；图2，延长两组对应边得到两个交点，然后过这两点作直线即为对称轴直线l．
解：如图所示．
23．【分析】分别作A、B、C三点关于直线MN的对称点A′、B′、C′，连接A′、B′、C′即可．
解：如图所示：
①过点A作AD⊥MN，延长AD使AD=A1D；
②过点B作BE⊥MN，延长BE使B1E=BE；
③过点C作CF⊥MN，延长CF使CF=C1F；
④连接A1、B1、C1即可得到△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
24．【分析】可分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可．
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解：
25．【分析】过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′即可．
解：作A点关于直线l的对称点A′，
连接A′B交l于点P，
则P点为所求．
26．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，且PD∥AB，PE∥AC，BC=5，求△PDE的周长．
【分析】由BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，易证得△PBD与△PCE是等腰三角形，继而可求得△PDE的周长．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
又∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE
∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5．
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