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遂宁市高中2017届三诊考试
数学(理科)试题
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题,满分60分)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束后,将答题卡收回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.若集合,,则为
A. B.
C. D.
2.复数,则(其中为复数的共轭复数)在复平面内对应的点在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3. 已知向量,的夹角为,且,,则
A. B. C. D.
4.我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器------商鞅铜方升,其三视图如下图所示(单位:寸),若取3,且图中的为(寸).则其体积为
A.立方寸
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B.立方寸
C.立方寸
D.立方寸
5.已知直线与圆心为的圆相交于两点,且△为等边三角形,则实数
A. B.
C.或 D.
6.某教育局体育股计划将足球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的学校举办,每个项目的比赛只能安排在一个学校进行,则在同一个学校比赛的项目不超过个的安排方案共有
A.60种 B.42种
C.36种 D.24种
7.函数的部分图象如图所
示,则其在区间上的单调递减区间是
A.和
B.和
C.和
D.和
8.某程序框图如图所示,若该程序运行后输
出的值是,则整数的值为
A.
B.
C.
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D.
9. 已知,
且,则的值是
A. B.
C. D.
10. 如图,点等可能分布在菱形内,则
的概率是
A. B.
C. D.
11.如图,已知双曲线上有一点,它关于原点的对称点为,点为双曲线的右焦点,且满足,设,且,
则该双曲线离心率的取值范围为
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数,在上有三个不同的极值点(为自然对数的底数),则实数的取值范围是
A. B.
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C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,满分90分)
注意事项:
1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。
2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题,每个试题考生都作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分。
13.在的展开式中,的系数是 ▲
14.设变量满足约束条件,则的取值范围是 ▲
15.已知在△中,,则角的大小为 ▲
16.已知函数,是自然对数的底数.若存在,使得,则实数的取值范围是 ▲ .(参考公式:)
三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
等比数列的各项均为正数,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设 ,求数列
的前项和.
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▲
18.(本小题满分12分)
某市拟定2017年城市建设三项重点工程,该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标,假设这三个工程竞标成功与否相互独立,该公司对三项重点工程竞标成功的概率分别为,,,已知三项工程都竞标成功的概率为,至少有一项工程竞标成功的概率为.
(1)求与的值;
(2)公司准备对该公司参加三个项目的竞标团队进行奖励,项目竞标成功奖励2万元,项目竞标成功奖励4万元,项目竞标成功奖励6万元,求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望.
▲
19.(本小题满分12分)
已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点.沿BD将翻折到,使得平面⊥平面.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
▲
20.(本小题满分12分)
已知抛物线:的焦点为。若过点且斜率为1的直线与抛物线相交于两点,又△的面积为
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.
(1)求抛物线的方程;
(2)若点是抛物线上的动点,点在轴上,圆内切于,求的面积的最小值.
▲
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,当恒成立时,求的取值范围;
(3)若存在,,使得,判断
与的大小关系,并说明理由。
▲
请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
直角坐标系的原点和极坐标系的极点重合,轴正半轴与极轴重合,单位长度相同.在直角坐标系下,曲线的参数方程为 (为常数,为参数).
(1)当时,在极坐标系下,此时曲线C与射线和射线分别交于两点,求的面积;
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(2)当时,又在直角坐标系下,直线的参数方程为(为参数),求此时曲线与直线的交点坐标.
▲
23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数,.
(1)当时,解方程;
(2)当时,若对任意,都存在,使得成立,求实数的取值范围.
▲
遂宁市高中2017届三诊考试
数学(理科)试题参考答案及评分意见
一、选择题(12×5=60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
C
D
A
B
C
A
D
B
B
二、填空题(45=20分)
13. 20 14. 15. 16.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.
17.(本小题满分12分)
【解析】(1)设数列的公比为,由,所以,由条件可知,故; ………………2分
由,所以, ………………4分
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故数列的通项公式为 ………………6分
(2)
………………9分
∴
∴数列的前项和 ………………12分
18.(本小题满分12分)
解:(1)由题意得,因为,解得. ……4分[
(2)由题意,令竞标团队获得奖励金额为随机变量,则的值可以为0,2,4,6,8,10,12. ………………5分
而;;
; ;
; ;
. ………………9分
所以的分布列为:
0
2
4
6
8
10
12
于是=……12分
19.(本小题满分12分)
解:(1)由题意可知,,BD=8,即,故. ………………2分
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因为平面⊥平面,平面平面=,平面,所以平面. ………………5分
(2)由(1)知平面ABD,且,以D为原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,.
由于E是线段AD的中点,所以,.
在平面中,,,
设平面的法向量为,则,即,令,得,
所以平面的一个法向量为. ………………9分
而平面的一个法向量为 ………………10分
故,
由图易知二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为. ………………12分
20.(本小题满分12分)
【解析】(1)由题意得,则过点且斜率为1的直线方程为.
联立方程得,消去并整理得:,
设,则, ………………3分
所以
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又∵,∴,而,故得.
所以抛物线的方程为 ………………5分
(2)设,不妨设,
直线的方程为,化简得,
又圆心(1,0)到直线的距离为1,故,
即,故,不难发现.
同理有, ………………8分
所以可以看作关于的一元二次方程的两个实数根,
则,
所以,
因为点是抛物线上的点,所以,
则,又,所以. ………………10分
所以,当且仅当时取等号,此时.
所以的面积的最小值为8 ………………12分
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21.(本小题满分12分)
【解析】因为,所以且
(1)易知的定义域为,…………1分
又,在区间上,;在区间上,.
所以在上是增函数,在上是减函数 ………………3分
(2)因为, ,则,
由于, ………………5分
所以在区间上,;在区间上,.
故的最小值为,所以只需,即,即,解得. 故的取值范围是. ………………8分
(3)与的大小关系是。
构造函数,则,,因为,所以,,,,则,即,
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所以函数在区间上为减函数.
因为,所以,于是,又,则,由在上为减函数可知,即 ………………12分
请考生在第22、23、二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)
【解析】(1) 当时,曲线C在直角坐标系下的普通方程为,
将其化为极坐标方程为, ………………2分
分别代入和,得,
因为,故的面积 ………………5分
(2)当时,曲线的普通方程,将的参数方程代入曲线的普通方程,得,即,代入的参数方程,得,所以曲线与直线的交点坐标为 ………………10分
23.(本小题满分10分)
【解析】(1)当时,,由
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………………2分
∴原方程等价于或
或解得:或或。
即方程的解为 ………………5分
(2)当时,,,∵对任意,都存在,使得成立,
∴, ………………6分
,
(当且仅当时等号成立),
,所以, ………………8分
∴或,
∴或,∴实数的取值范围为. ………………10分
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