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第六章《平行四边形》检测题B
一．选择题（共12小题）
1．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边相等，一组对角相等
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
2．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°
3．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3
4．在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（ ）
①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
5．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（ ）
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A．8 B．10 C．12 D．14
7．如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（ ）
A． B．4 C．2 D．
8．如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（ ）
A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH
9．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66° B．104° C．114° D．124°
10．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（ ）
A．10 B．14 C．20 D．22
11．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
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从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
12．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤
二．填空题（共6小题）
13．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD= ．
14．如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是 ．
15．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件 （写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
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16．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为 ．
17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．
18．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于 cm．
三．解答题（共8小题）
19．如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．
20．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
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21．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
22．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上
（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
23．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
24．如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．
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（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．
（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．
25．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：
（1）DE=BF；
（2）四边形DEBF是平行四边形．
26．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．
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参考答案与解析
一．选择题
1．【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．
解：A、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．
B、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．
C、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．
D、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．
故选C．
2．【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．
解：∵四边形的内角和等于a，
∴a=（4﹣2）•180°=360°．
∵五边形的外角和等于b，
∴b=360°，
∴a=b．
故选B．
3．【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．
解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
则S2=（a+c）（a﹣c）=a2﹣c2，
∴S2=S1﹣S3，
∴S3=2S1﹣2S2，
∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．
故选A．
4．【分析】当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．
解：根据题意得：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，
∴AC==5，
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①正确，②正确，④正确；③不正确；
故选：B．
5．【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB，证出BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，
∴∠F=∠DCF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠FCB=∠DCF，
∴∠F=∠FCB，
∴BF=BC=8，
同理：DE=CD=6，
∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，
∴AE+AF=4；
故选：C．
6．【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
则∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=6，
同理可证：DE=DC=6，
∵EF=AF+DE﹣AD=2，
即6+6﹣AD=2，
解得：AD=10；
故选：B．
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7．【分析】先由平行四边形的性质和角平分线的定义，判断出∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，从而得到CF=BC=8，AE=AB=12，再用平行线分线段成比例定理求出BE，然后用等腰三角形的三线合一求出BG，最后用勾股定理即可．
解：∵∠ABC的平分线交CD于点F，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，
∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，
∵AD=8，
∴DE=4，
∵DC∥AB，
∴，
∴，
∴EB=6，
∵CF=CB，CG⊥BF，
∴BG=BF=2，
在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，
根据勾股定理得，CG===2，
故选：C．
8．【分析】根据作图过程可得得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAH=∠DHA，进而得到AD=DH，
解：根据作图的方法可得AG平分∠DAB，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAH=∠BAH，
∵CD∥AB，
∴∠DHA=∠BAH，
∴∠DAH=∠DHA，
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∴AD=DH，
∴BC=DH，
故选D．
9．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，
∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；
故选：C．
10．【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，
∴AO+BO=8，
∴△ABO的周长是：14．
故选：B．
11．【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△
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CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选：B．
12．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．
解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN=AB，
即线段MN的长度不变，故①错误；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．
故选：B．
二．填空题
13．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD，得出∠D1AD=∠BAE=55°即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C，
由折叠的性质得：∠D1AE=∠C，
∴∠D1AE=∠BAD，
∴∠D1AD=∠BAE=55°；
故答案为：55°．
14．【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠
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APB=90°，由勾股定理求出BP，证出AD=DP=5，BC=PC=5，得出DC=10=AB，即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，
在△APB中，∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB=∠DPA
∴∠DAP=∠DPA
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD=DP=5，
同理：PC=CB=5，
即AB=DC=DP+PC=10，
在Rt△APB中，AB=10，AP=8，
∴BP==6，
∴△APB的周长=6+8+10=24；
故答案为：24．
15．【分析】根据平行四边形的定义或判定定理即可解答．
解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．
故答案是：AD∥BC．
16．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可得出结果．
解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；
第②是5个三角形，5=4×2﹣3；
第③是9个三角形，9=4×3﹣3；
∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；
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故答案为：4n﹣3．
17．【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．
解：连接CM，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，
∴MN=CD，又MN∥BC，
∴四边形DCMN是平行四边形，
∴DN=CM，
∵∠ACB=90°，M是AB的中点，
∴CM=AB=3，
∴DN=3，
故答案为：3．
18．【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．
解：∵BD=AD，BE=EC，
∴DE=AC=4cm，DE∥AC，
∵CF=FA，CE=BE，
∴EF=AB=3cm，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．
故答案为14．
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三．解答题
19．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E是▱ABCD的边CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）解：∵ADE≌△FCE，
∴AE=EF=3，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠BAF=90°，
在▱ABCD中，AD=BC=5，
∴DE===4，
∴CD=2DE=8．
20．【分析】（1）由在▱ABCD中，E是BC的中点，利用ASA，即可判定△ABE≌△FCE，继而证得结论；
（2）由AD=2AB，AB=FC=CD，可得AD=DF，又由△ABE≌△FCE，可得AE=EF，然后利用三线合一，证得结论．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABE=∠FCE，
∵E为BC中点，
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∴BE=CE，
在△ABE与△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB=FC；
（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD，
∴AD=DF，
∵△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，
∴DE⊥AF．
21．【分析】利用平行线的性质得出∠BAE=∠CFE，由AAS得出△ABE≌△FCE，得出对应边相等AE=EF，再利用平行四边形的判定得出即可．
解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠CFE，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
∴AE=EF，
又∵BE=CE
∴四边形ABFC是平行四边形．
22．【分析】（1）选取①②，利用ASA判定△BEO≌△DFO即可；
（2）根据△BEO≌△DFO可得EO=FO，BO=DO，再根据等式的性质可得AO=CO，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．
证明：（1）选取①②，
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∵在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO（ASA）；
（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，
∴EO=FO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
23．【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．
解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG∥BC，DG=BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴DG=EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=3，
∴EF=2OM=6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF=6．
24．【分析】（1）只要证明CM∥AN，AM∥CN即可．
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（2）先证明△DEM≌△BFN得BN=DM，再在RT△DEM中，利用勾股定理即可解决问题．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴CM∥AN，AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形．
（2）∵四边形AMCN是平行四边形，
∴CM=AN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，
在△MDE和△NBF中，
，
∴△MDE≌△NBF，
∴ME=NF=3，
在Rt△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，
∴DM===5，
∴BN=DM=5．
25．【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．
（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
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∴AD∥CB，AD=CB，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF，
∴DE=BF．
（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，
∴∠DEF=∠BFE，
∴DE∥BF，
又∵DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
26．【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DEBC，进而得出DE=FC；
（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．
（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DEBC，
∵延长BC至点F，使CF=BC，
∴DE=FC；
（2）解：∵DEFC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
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∴DC=EF=．
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