北京市朝阳区2017届高三二模数学试卷（理）含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 ‎ 数学学科测试（理工类） ‎ ‎ 2017．5‎ ‎（考试时间120分钟 满分150分）‎ 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知i为虚数单位，则复数对应的点位于 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 开始 结束 输出S 是 否 ‎,‎ ‎2．执行如图所示的程序框图，则输出的值是 A．23 B．31 C．32 D．63‎ ‎3．“”是“”的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知函数的最小正周期为，则 ‎ A．函数的图象关于原点对称 ‎ B．函数的图象关于直线对称 ‎ C．函数图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称 ‎ D．函数在区间上单调递增 ‎5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为 A．12 B． 24 C．36 D． 48‎ ‎6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2‎ ‎1‎ 侧视图 正视图 ‎2‎ ‎1‎ 俯视图 ‎7．已知函数 且．若函数的图象上有且只有两个点关于轴对称，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某 ‎ 中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场 ‎ 传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场 ‎ 知识竞赛前三名的得分都分别为且；选手最后得分为各场 ‎ 得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是 ‎ A．每场比赛第一名得分为4 B．甲可能有一场比赛获得第二名 ‎ ‎ C．乙有四场比赛获得第三名 D．丙可能有一场比赛获得第一名 ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．双曲线的渐近线方程是 ，离心率是 ．‎ ‎10．若平面向量，，且，则的值是 ． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11．等比数列{an}的前n项和为．已知，则{an}的通项公式 ，‎ ‎ ．‎ ‎12．在极坐标系中，圆被直线所截得的弦长为 ．‎ ‎13．已知满足若有最大值8，则实数的值为 ． ‎ ‎14．已知两个集合，满足．若对任意的，存在，使得 ‎ （），则称为的一个基集．若 ‎ ，则其基集元素个数的最小值是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 在△中, 角的对边分别为，且，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求△的面积．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 组距 频率 ‎0.005‎ ‎0.040‎ ‎140‎ ‎150‎ ‎160‎ ‎170‎ ‎180‎ a ‎190‎ ‎0.020‎ 身高(cm)‎ O ‎200‎ ‎ 从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；‎ ‎（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取人，用表示身高在以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎17．（本小题满分14分）‎ ‎ 如图1，在△中，，，分别为边的中点，点分别为线段的中点．将△沿折起到△的位置，使．点为线段上的一点，如图2．‎ 图1‎ 图2‎ B A1‎ F C E D Q G A B C D E F G ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）线段上是否存在点使得平面？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）当时，求直线与平面所成角的大小．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ ‎ 已知椭圆：的上下顶点分别为，且点．分别为椭圆的左、右焦点，且． ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段 ‎ 的中点．直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求 ‎ 的大小．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求 的值；‎ ‎（Ⅲ）若恒成立，求的最大值．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：‎ ‎① ；② ；③是的因数（）．‎ ‎（Ⅰ）当时，写出数列的前五项； ‎ ‎（Ⅱ）若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数．‎ 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 ‎ 数学学科测试答案（理工类） 2017.5‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ 答案 B B A C D C ‎ D C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ 题号 ‎（9）‎ ‎（10）‎ ‎（11）‎ ‎（12）‎ ‎（13）‎ ‎（14）‎ 答案 ‎2‎ ‎4‎ 三、解答题： ‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以．‎ 所以． …………7分 ‎（Ⅱ）因为，所以．‎ ‎ 又因为，所以．‎ 所以． …………13分 ‎（16）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）根据题意得：．‎ ‎ 解得 ． …………3分 ‎ （Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，则 ‎．‎ 所以估计该市中学全体男生的平均身高为． …………7分 ‎ （Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为．‎ 由已知得，随机变量的可能取值为．‎ ‎ 所以；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎ 随机变量的分布列为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 因为~，所以．…………………………………13分 ‎（17）（本小题满分14分）‎ B A1‎ F C E D Q G 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以△为等边三角形．‎ 又因为点为线段的中点，‎ 所以．‎ 由题可知，‎ 所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 又，所以平面．‎ 所以． …………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，，如图 ‎ 建立空间直角坐标系，则，， ‎ F A1‎ B C E D Q G x y z ‎，，，．‎ 设平面的一个法向量为， ‎ ‎,，‎ 所以即 令，所以，所以 假设在线段上存在点，使平面．‎ 设，.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又，所以．‎ 所以.则.‎ 所以.‎ 解得，.‎ 则在线段上存在中点，使平面．‎ 且 ……………………10分 ‎（Ⅲ）因为，又，所以．‎ 所以．又因为，‎ 所以． ‎ 因为设直线与平面所成角为，‎ 则 直线与平面所成角为. ………………………………14分 ‎（18）（本小题满分13分）‎ 解：(Ⅰ)依题意，得．又，‎ 在中，，所以．‎ 所以椭圆的标准方程为． …………4分 ‎(Ⅱ)设，，则，．‎ 因为点在椭圆上，所以．即．‎ 又，所以直线的方程为．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 令，得．‎ 又，为线段的中点，所以．‎ 所以，．‎ 因为 ‎ ‎ ‎，‎ 所以．． ……………………13分 ‎（19）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ），则.‎ 令得，所以在上单调递增.‎ 令得，所以在上单调递减. …………4分 ‎（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.‎ 依题意，，.‎ 于是与抛物线切于点，‎ 由得.‎ 所以 …………8分 ‎（Ⅲ）设,则恒成立.‎ 易得 ‎（1）当时，‎ 因为，所以此时在上单调递增.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ①若，则当时满足条件，此时；‎ ②若，取且 此时，所以不恒成立．‎ 不满足条件；‎ ‎（2）当时，‎ 令，得由，得；‎ 由，得 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 要使得“恒成立”，必须有 ‎“当时，”成立.‎ 所以.则 令则 令，得由，得；‎ 由，得所以在上单调递增，在上单调递减,‎ 所以，当时，‎ 从而，当时，的最大值为.‎ 综上，的最大值为. …………14分 ‎（20）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分 ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 又数列的前3项互不相等，‎ ‎（1）当时，‎ 若，则，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 且对，都为整数，所以；‎ 若，则，‎ 且对，都为整数，所以；‎ ‎（2）当时，‎ 若，则，且对，都为整数，所以，不符合题意；‎ 若，则，‎ 且对，都为整数，所以；‎ 综上，的值为. …………8分 ‎（Ⅲ）对于，令，‎ ‎ 则.‎ ‎ 又对每一个，都为正整数，所以，其中“”至多出现个.故存在正整数，当时，必有成立.‎ ‎ 当时，则.‎ 从而.‎ 由题设知，又及均为整数，‎ 所以，故常数.‎ 从而常数.‎ 故存在正整数，使得时，为常数. ………………………………13分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费