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丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（二）
数 学（文科）
2017. 05
（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在 答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，那么
（A） （B）] （C）[ （D）
2. 下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是
（A） （B） （C） （D）
3. 某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：
则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是
（A）14，9.5 （B）9，9 （C）9，10 （D）14，9
4. 圆的圆心到直线的距离为
（A） （B） （C） （D）
5. 执行如图所示的程序框图，若输出的为4，则输入的值为
（A）
（B）
（C）或
（D）或
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6. 已知向量，，则的夹角为
（A）
（B）
（C）
（D）
7. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则最长侧棱（不包括底面的棱）的长度为
（A）
（B）
（C）
（D）
8. 血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是
（A）首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
（B）每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
（C）每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
（D）首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 双曲线的焦点坐标为 ．
10. 已知复数，则 ．
11. 在中，角A，B，C对应的边长分别是a，b，c，且，则角A的大小为 .
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12. 若实数，满足约束条件且的最大值为4，则实数的值为 ．
13. 已知函数下列四个命题：
①；
②，；
③的极大值点为；
④，
其中正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）
14. 在平面直角坐标系xOy中，点M不与点O重合，称射线OM与圆的交点N为点M的“中心投影点”.
（1）点M的“中心投影点”为________；
（2）曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15. （本小题共13分）
已知等比数列的公比，前3项和是7，等差数列满足，
.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
16.（本小题共13分）
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已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求的单调递增区间．
17.（本小题共14分）
如图，四棱锥中，平面，
//，，，分别为
线段，的中点.
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）写出三棱锥与三棱锥的体积之比.（结论不要求证明）
18.（本小题共13分）
某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析. 将200名学生编号为001，002，…，200，采用系统抽样的方法等距抽取10名学生，将10名学生的两科成绩(单位：分)绘成折线图如下：
（Ⅰ）若第一段抽取的学生编号是006，写出第五段抽取的学生编号；
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（Ⅱ）在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈，求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率；
（Ⅲ）根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出你的结论和理由.
19.（本小题共14分）
已知椭圆C：，点P，过右焦点F作与y轴不垂直的直线l交椭圆C于A，B两点.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求证：以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切.
20.（本小题共13分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：总存在，使得当，恒有.
丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习
高三数学（文科）参考答案及评分参考
2017．05
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
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答案
C
B
A
C
D
B
C
D
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9． 10． 11．
12． 13．①②③④ 14．；
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
解 ：（Ⅰ）由已知，得，且等比数列的公比，
所以，解得， ……………………1分
所以数列的通项公式为。 ……………………2分
由此解得，， ……………………4分
则， ……………………5分
又，则等差数列的公差， ……………………6分
所以。 ……………………7分
（Ⅱ）因为， ……………………9分
所以， ……………………11分
，
故数列的前项和。 ……………………13分
16. （本小题共13分）
解：（Ⅰ）
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……………………2分 ……………………3分
……………………5分
的最小正周期为 。 ……………………7分
（Ⅱ）由求得， ……………………9分
， ……………………12分
所以的单调递增区间为 …………………13分
17.（本小题共14分）
证明：（Ⅰ）因为//， ，
为线段的中点，
所以//且，
所以四边形为平行四边形，
……………………2分
所以//， ……………………3分
又有平面，平面，
所以//平面． ……………………5分
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（Ⅱ）因为，分别为线段，中点，所以//， ……………………6分
又因为平面，平面，
所以，；
所以， ……………………8分
又//，所以 ……………………9分因为，
所以平面． ……………………11分
（III）结论：． ……………………14分
18．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）第五段抽取的编号是086号； ……………………3分
（Ⅱ）记：“2人成绩均是语文成绩高于英语成绩”为事件A，
这两科成绩差超过20分的学生共5人，其中语文成绩高于英语成绩的共3人，记为a，b，c，另2人记为1，2.
在5人中随机取2人共有：（a，b）（a，c）（a，1）（a，2）（b，c）（b，1）（b，2）
（c，1）（c，2）（1，2）10种取法；其中2人成绩均是语文成绩高于英语成绩共3种.
由古典概型公式得：
所以2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率为； ……………………9分
（III）根据折线图可以估计该校高二年级语文成绩平均分高，语文成绩相对更稳定.
其他结论合理即可得分． ……………………13分
19．（本小题共14分）
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解：（Ⅰ）由椭圆C：得：
，，
所以， 椭圆C的离心率为 .……………………4分
（Ⅱ）因为，所以点F（1,0），
当直线l斜率不存在时，直线l的方程：，A，B两点关于x轴对称，
点P（4,0）在x轴上，所以直线PA与直线PB关于x轴对称，
所以， 点O到直线PA与直线的距离PB相等，
所以，以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切…………………6分
当直线l斜率存在时，设直线l的方程：，，
由得：
， .……………………8分
， .……………………10分
.……………………12分
所以，，于是点O到直线PA与直线的距离PB相等，
故以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切.……………………14分
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（也可以用点O到直线PA与直线的距离PB的距离相等来证明）
20．（本小题共13分）
解：的定义域为． ………………………1分
（Ⅰ）当时，，， ………………………2分
，， ………………………3分
所以，所求切线方程为． ………………………4分
（Ⅱ）因为，所以..Û， ………………………5分
令，则， ………………………6分
由得，，
所以，，，，， ………………………7分
所以的单调增区间是，单调减区间是， ………………………8分
所以，所以. ………………………9分
（III）Û， ………………………10分
令，，
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所以，，，，，
所以的单调增区间是，单调减区间是， ………………………11分
因为，所以，
当时，存在，使得当，恒有，即， …………12分
当时，由（Ⅱ）知，，即，
所以，
由得，，所以.
，存在，使得当，恒有，即.
综合上所述，总存在，使得当，恒有． ……………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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