北京市海淀区2017届高三5月期末(二模)数学试题(理)含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 海淀区高三年级第二学期期末练习 数学（理科）2017.5‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1.若集合，或，则 A. B. C. D. ‎ ‎2.二项式的展开式的第二项是 A. B.C. D. ‎ ‎3.已知实数满足则的最小值为 A. B.C. D. ‎ ‎4.圆与曲线的公共点个数为 A．4 B．3C．2 D.0‎ ‎5.已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是 A. B. C.是递增数列 D. 存在最小值 ‎6.已知是上的奇函数，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 ‎7. 现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是 A. ①B.①② C.②③D.①②③‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎8.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为，大圆盘上所写的实数分别记为,如图所示.将小圆盘逆时针旋转次，每次转动，记为转动次后各区域内两数乘积之和，例如. 若，，则以下结论正确的是 A.中至少有一个为正数B.中至少有一个为负数 C.中至多有一个为正数D.中至多有一个为负数 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9.在极坐标系中，极点到直线的距离为.‎ ‎10.已知复数，则____.‎ ‎11.在中，，，则_______.‎ ‎12.已知函数，则____（填“”或“”）；在区间上存在零点，则正整数_____.‎ ‎13.在四边形中，. 若，则=____.‎ ‎14.已知椭圆G：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点P在椭圆G上，且满足. 当变化时，给出下列三个命题：‎ ‎①点P的轨迹关于轴对称；‎ ‎②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；‎ ‎③的最小值为，‎ 其中，所有正确命题的序号是_____________．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期和对称轴的方程；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最小值.‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.‎ 上图中，已知课程为人文类课程，课程为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取的学生作为研究样本组(以下简称“组M”).‎ ‎(Ⅰ)在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？‎ ‎(Ⅱ)为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元.‎ ‎(ⅰ)设随机变量表示选出的4名同学中选择课程的人数，求随机变量的分布列；‎ ‎(ⅱ)设随机变量表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量的期望.‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）线段上是否存在点使得⊥平面，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.‎ ‎18.（本小题满分14分）‎ 已知动点到点和直线l：的距离相等.‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹E的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知不与垂直的直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，以AP为直径作圆.判断点和圆的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎19.（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：存在实数使.‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 对于无穷数列，记，若数列满足：“存在 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，使得只要（且），必有”，则称数列具有性质.‎ ‎（Ⅰ）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？‎ ‎（Ⅱ）求证：“是有限集”是“数列具有性质”的必要不充分条件；‎ ‎（Ⅲ）已知是各项为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，求证：存在整数，使得是等差数列.‎ 海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案 数学（理科） 2017.5 ‎ 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C D B D C A B A 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，‎ 共30分）‎ ‎9．1‎ ‎10．‎ ‎11. ‎ ‎12. ‎ ‎13．‎ ‎14．①③‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分)‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）-‎ 所以的最小正周期，‎ 因为的对称轴方程为，‎ 令，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 得. ‎ 所以的对称轴方程为.‎ 或者：的对称轴方程为和，‎ 即和.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以，‎ 所以 ‎ 所以，当即时，‎ 在区间上的最小值为.‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 解： ‎ ‎(Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)1%=12(人)；‎ 选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)1%=8(人).‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)依题意，随机变量可取0，1，2.‎ ‎；；‎ 故随机变量的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ p ‎(ⅱ)法1：依题意，随机变量=2000+1500=6000+500，‎ 所以随机变量的数学期望为 E()=6000+500E()‎ ‎=6000+500()‎ ‎=6500.‎ ‎(ⅱ)法2：依题意，随机变量可取6000，6500，7000.‎ 所以随机变量的分布列为 Y ‎6000‎ ‎6500‎ ‎7000‎ p 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以随机变量的数学期望为 E()=‎ ‎=6500.‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）因为，且，，所以，‎ 所以.‎ 因为为正三角形，所以，‎ 又由已知可知为平面四边形，所以.‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）由点在平面上的射影为可得平面，‎ 所以，.‎ 如图，建立空间直角坐标系，则由已知可知，，，.‎ 平面的法向量，‎ 设为平面的一个法向量，则 由可得 令，则，所以平面的一个法向量，‎ 所以，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，，‎ 因为，‎ 所以与不垂直，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以在线段上不存在点使得⊥平面.‎ ‎18.（本小题满分14分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）设动点，‎ 由抛物线定义可知点的轨迹E是以为焦点，直线l：为准线的抛物线，‎ 所以轨迹E的方程为.‎ ‎（Ⅱ）法1：由题意可设直线，‎ 由可得（*），‎ 因为直线与曲线E有唯一公共点A，‎ 所以，即.‎ 所以（*）可化简为，‎ 所以，‎ 令得，‎ 因为，‎ 所以 所以，‎ 所以点在以PA为直径的圆上.‎ 法2：依题意可设直线，‎ 由可得（*），‎ 因为直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，‎ 所以即 所以（*）可化简为，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以.‎ 令得，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以点在以PA为直径的圆上.‎ ‎19.（本小题满分13分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ），‎ 因为曲线在处的切线与直线垂直，‎ 所以切线的斜率为2，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）法1：当时，显然有，即存在实数使；‎ 当时，由可得，‎ 所以在时，，所以函数在上递减；‎ 时，，所以函数在上递增 所以是的极小值.‎ 由函数可得，‎ 由可得，‎ 所以，‎ 综上，若，存在实数使.‎ ‎（Ⅱ）法2：当时，显然有，即存在实数使；‎ 当时，由可得，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以在时，，所以函数在上递减；‎ 时，，所以函数在上递增.‎ 所以是的极小值.‎ 设，则,令，得 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以当时，‎ 所以，‎ 综上，若，存在实数使.‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）数列不具有性质；‎ 具有性质.‎ ‎（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列，是有限集，但是由于，‎ 所以不具有性质；‎ ‎（必要性）因为数列具有性质，‎ 所以一定存在一组最小的且，满足，即 由性质的含义可得 所以数列中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：为一个周期中的各项，‎ 所以数列中最多有个不同的项，‎ 所以最多有个元素，即是有限集.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅲ）因为数列具有性质，数列具有性质，‎ 所以存在，使得，，其中分别是满足上述关系式的最小的正整数，‎ 由性质的含义可得，，‎ 若，则取，可得；‎ 若，则取，可得.‎ 记，则对于，有，，显然，‎ 由性质的含义可得，，‎ 所以 所以.‎ 所以，‎ 又是满足，的最小的正整数，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，，‎ 所以，，，‎ 取，则，‎ 所以，若是偶数，则；‎ 若是奇数，则，‎ 所以，‎ 所以是公差为1的等差数列.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费