北京市西城区2017届高三二模数学理科试题含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 西城区高三模拟测试 高三数学（理科）2017.5‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2．下列函数中，值域为的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎4．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎5．设双曲线的离心率是，则其渐近线的方程为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎6．设，是平面上的两个单位向量，．若，则的最小值是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎7．函数．若存在，使得，则k的取值范围是 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎8．有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．‎ 在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．执行如图所示的程序框图,输出的值为____．‎ ‎10．已知等差数列的公差为，且成等比数列，‎ 则____；数列的前项和____．‎ ‎11．在中，角，，的对边分别是，，．若，，，则____．‎ ‎12．函数则____；方程的解是____．‎ ‎13．大厦一层有A，B，C，D四部电梯，人在一层乘坐电梯上楼，其中人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有____种．（用数字作答）‎ ‎14．在空间直角坐标系中，四面体在坐标平面上的一组正 投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是____．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的定义域；‎ ‎（Ⅱ）设，且，求的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在几何体中，底面为矩形，，．点在棱上，平面与棱交于点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）若，，，平面平面，求二面角的大小．‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．‎ 整理评分数据，将分数以为组距分成组：，，，，，，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 B餐厅分数频数分布表 分数区间 频数 定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：‎ 分数 满意度指数 ‎（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为的人数；‎ ‎（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；‎ ‎（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点在抛物线上，直线分别与轴交于点，．‎ 求直线的斜率．‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）求函数的零点个数；‎ ‎（Ⅱ）证明：是函数存在最小值的充分而不必要条件．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 设集合．如果对于的每一个含有 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 个元素的子集，中必有个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”．‎ ‎（Ⅰ）当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若为集合的“相关数”，证明：；‎ ‎（Ⅲ）给定正整数．求集合的“相关数”的最小值．‎ 西城区高三模拟测试 高三数学（理科）参考答案及评分标准 ‎2017.5‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．A 2．D 3．C 4．B ‎5．A6．C7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9．10．，11．‎ ‎12．；或13．14．‎ 注：第10，12题第一空2分，第二空3分. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. ‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由，得，． [ 3分]‎ 所以 函数的定义域是．[ 4分]‎ ‎（Ⅱ）依题意，得． [ 5分]‎ 所以，[ 7分]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 整理得，[ 8分]‎ 所以，或． [10分]‎ ‎ 因为 ，所以，[11分]‎ 由，得，；[12分]‎ 由，得，．‎ 所以，或． [13分]‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）因为为矩形，所以，[ 1分]‎ 所以平面．[ 3分]‎ 又因为平面平面，‎ 所以．[ 4分]‎ ‎（Ⅱ）因为为矩形，所以．[ 5分]‎ 因为，[ 6分]‎ 所以平面．[ 7分]‎ 所以平面平面．[ 8分]‎ ‎（Ⅲ）因为，，‎ 所以平面，‎ 所以．‎ 由（Ⅱ）得平面，‎ 所以．‎ 所以，，两两互相垂直．[ 9分]‎ 建立空间直角坐标系．[10分]‎ 不妨设，则，设．‎ 由题意得，，，，，，．‎ 所以，．‎ 设平面的法向量为，则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即令，则．‎ 所以．[12分]‎ 又平面的法向量为，所以 ‎．‎ 因为二面角的平面角是锐角，‎ 所以二面角的大小．[14分]‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由对A餐厅评分的频率分布直方图，得 对A餐厅“满意度指数”为的频率为，[ 2分]‎ 所以，对A餐厅评价“满意度指数”为的人数为． [ 3分]‎ ‎（Ⅱ）设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C．‎ 记“对A餐厅评价‘满意度指数’为”为事件；“对A餐厅评价‘满意度指数’为”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为”为事件．‎ 所以，，[ 5分]‎ 由用频率估计概率得：，． [ 7分]‎ 因为事件与相互独立，其中，．‎ 所以 ‎． [10分]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高 的概率为．‎ ‎（Ⅲ）如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：‎ A餐厅“满意度指数”X的分布列为：‎ X P B餐厅“满意度指数”Y的分布列为：‎ Y P 因为；‎ ‎，‎ 所以，会选择B餐厅用餐． [13分]‎ ‎ 注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）依题意，设抛物线的方程为．[ 1分]‎ 由抛物线且经过点，‎ 得，[ 3分]‎ 所以抛物线的方程为．[ 4分]‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以，‎ 所以 ，‎ ‎ 所以 直线与的倾斜角互补，‎ ‎ 所以 ．[ 6分]‎ 依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为：，‎ 将其代入抛物线的方程，整理得 ‎．[ 8分]‎ 设，则 ，，[10分]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以．[11分]‎ 以替换点坐标中的，得．[12分]‎ 所以 ．‎ 所以直线的斜率为．[14分]‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由，‎ 得 ‎．[ 2分]‎ 令，得，或．‎ 所以当时，函数有且只有一个零点：；当时，函数有两个相异的零点：，．[ 4分]‎ ‎（Ⅱ）① 当时，恒成立，此时函数在上单调递减，‎ 所以，函数无极值．[ 5分]‎ ‎② 当时，，的变化情况如下表：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以，时，的极小值为．[ 7分]‎ 又时，，‎ 所以，当时，恒成立．[ 8分]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以，为的最小值．[ 9分]‎ 故是函数存在最小值的充分条件．[10分]‎ ‎③ 当时，，的变化情况如下表：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 因为当时，，‎ 又，‎ 所以，当时，函数也存在最小值．[12分]‎ 所以，不是函数存在最小值的必要条件．‎ 综上，是函数存在最小值的充分而不必要条件．[13分]‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）当时，，．[ 1分]‎ ①对于的含有个元素的子集，‎ 因为，‎ 所以不是集合的“相关数”．[ 2分]‎ ②的含有个元素的子集只有，‎ 因为，‎ 所以是集合的“相关数”．[ 3分]‎ ‎（Ⅱ）考察集合的含有个元素的子集．[ 4分]‎ 中任意个元素之和一定不小于．‎ 所以一定不是集合的“相关数”．[ 6分]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以当时，一定不是集合的“相关数”．[ 7分]‎ 因此若为集合的“相关数”，必有．‎ 即若为集合的“相关数”，必有．[ 8分]‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ．‎ 先将集合的元素分成如下组：‎ ‎．‎ 对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合．‎ ‎[10分]‎ 再将集合的元素剔除和后，分成如下组：‎ ‎．‎ 对于的任意一个含有个元素的子集，必有一组属于集合．[11分]‎ 这一组与上述三组中至少一组无相同元素，‎ 不妨设与无相同元素．‎ 此时这个元素之和为．[12分]‎ 所以集合的“相关数”的最小值为．[13分]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费