江西省重点中学2017届高三第二次联考数学试题（理）含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考 数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数的共轭复数的虚部是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列命题中真命题的个数是（ ）‎ ‎①若是假命题，则都是假命题；‎ ‎②命题“”的否定是“”；‎ ‎③若，则是的充分不必要条件．‎ ‎④设随机变量服从正态分布，若，则．‎ A． B． C． D．‎ ‎4．一个几何体的三视图如所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．“更相减损术”是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，如下框图中若输入的、分别为、，则输出的为（ ）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B． C． D．‎ ‎6．如图，在边长为的正方形中，是的中点，过三点的抛物线与围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只将的图象（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎8．如果实数满足关系，又恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．将这名同学从左至右排成一排，则与相邻且与 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 之间恰好有一名同学的排法有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若非零向量的夹角为锐角，且，则称被“同余”．已知被“同余”，则在上的投影是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为左、右顶点，过点做轴的垂线交双曲线于点，连结交轴于点，连接于点，若是线段的中点，则双曲线的离心率（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若函数在区间上恰有两个不同的零点，则实数的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知函数则 ．‎ ‎14．在多项式的展开式中，项的系数为 ．‎ ‎15．已知中，，，，若点是边上的动点，且 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 到，距离分别为，则的最小值为 ．‎ ‎16．已知数列中，设，若，是的前项和，若不等式对一切的恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17．设锐角三角形的内角的对边分别为，．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎18．通过对某城市一天内单次租用共享自行车的时间分钟到钟的人进行统计，按照租车时间，，，，分组做出频率分布直方图，并作出租用时间和茎叶图（图中仅列出了时间在，的数据）．‎ ‎（1）求的频率分布直方图中的；‎ ‎（2）从租用时间在分钟以上（含分钟）的人数中随机抽取人，设随机变量表示所抽取的人租用时间在内的人数，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎19．如图，在正四面体ABCD中，是的中心，分别是上的动点，且．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）若平面，求实数的值；‎ ‎（2）若，正四面体ABCD的棱长为，求平面和平面所成的角余弦值．‎ ‎20．已知椭圆右顶点，离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为椭圆上顶点，是椭圆在第一象限上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由．‎ ‎21．设常数．‎ ‎（1）若在处取得极小值为，求和的值；‎ ‎（2）对于任意给定的正实数、，证明：存在实数，当时，．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平角直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，），‎ 射线与曲线交于三点（异于点）．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，直线经过两点，求与的值 ‎23．选修4-5：不等式选讲 若关于的不等式的解集为．‎ ‎（1）求的值；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）若，求的最大值．‎ 江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考 数学（理科）试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CBCBD 6-10: DAABA 11、12：CC ‎12.答案：C 解析 因为函数的零点为方程 的根，易知，所以 ‎，故.令，则 ‎，问题转化为在上有两个不同的实解，即 在上有两个不同的实解.令，‎ 则，，结合图像可知.‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17．(1)由,根据余弦定理得.‎ 又为锐角三角形的内角，得.‎ ‎(2)由（1）知 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由为锐角三角形且知， 故.‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎ 故的取值范围为. ‎ ‎18.解：(1)由题意可知，样本容量 ‎,‎ ‎. ‎ ‎(2)由题意可知，租用时间在内的人数为5，租用时间在内的人数为，共人.抽取的人中租用时间在内的人数的可能取值为，则 ‎，，.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故. ‎ ‎19.解：（1）取的中点，连接, ‎ ‎∵是正的中心 ∴点在上，且，‎ ‎∵当时，平面, ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∴,即, ‎ ‎∴.‎ ‎（2）当时，点分别是的中点.‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，依题设 ‎，则,,‎ 则,‎ 设平面的法向量为则, ‎ ‎∴,‎ 不妨令，则，‎ 又平面的一个法向量为.‎ 设所求二面角为，则.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎20. 解：⑴依题意得解得 ，则椭圆的方程为.‎ ‎⑵设，则，‎ ‎，令得，则,‎ ‎，令得，则,‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎21.‎ ‎，‎ ‎∵，∴.‎ 将代入得 当时,,递减；‎ 时,,递增；‎ 故当时,取极小值,‎ 令,解得.‎ ‎(Ⅱ)因为,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 记,故只需证明:存在实数,当时,,‎ ‎[方法1] ,‎ 设,则.‎ 易知当时,,故.‎ 又由解得:,即 取,则当时, 恒有.‎ 即当时, 恒有成立.‎ ‎[方法2] 由,得:,‎ 故是区间上的增函数.令,‎ 则,因为,‎ 故有,‎ 令,解得: ,‎ 设是满足上述条件的最小正整数,取,则当时, 恒有,‎ 即成立.‎ ‎22.（Ⅰ）由已知：,‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）当时，点的极角分别为，‎ 代入曲线的方程得点的极径分别为：,‎ ‎∴点的直角坐标为：，则直线的斜率为，‎ 方程为，与x轴交与点；‎ 由，知为其倾斜角，直线过点，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴.‎ ‎23. (1) 依题意知和是方程的两个根，则 ‎，∴，∴.‎ ‎（2）‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费