江苏省四市2017届高三第三次模拟考试数学试卷(5月)含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 www.ks5u.com 宿迁市高三年级第三次模拟考试 数学Ⅰ 注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。‎ ‎2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。 ‎ ‎3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。‎ ‎4.如有作图需要，可用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。‎ 参考公式：样本数据的方差，其中.‎ 棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，是高.‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知集合，，则集合中元素的个数为 ▲ ．‎ 开始 结束 N k←1‎ 输出k k←k+1‎ k2－7k+10＞0‎ Y ‎（第5题）‎ ‎2．设，（为虚数单位），则的值为 ▲ ．‎ ‎3．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率是 ▲ ．‎ ‎4．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．‎ 将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 ▲ ．‎ ‎5．如图是一个算法的流程图，则输出的的值为 ▲ ．‎ ‎6．已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是 ▲ ．‎ ‎7．已知实数，满足 则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎8．若函数的图象过点，‎ 则函数在上的单调减区间是 ▲ ．‎ ‎9．在公比为且各项均为正数的等比数列中，为的前项和．若，且，则的值为 ▲ ．‎ y x O A D B C ‎(第11题)‎ A B C P A1‎ B1‎ C1‎ ‎(第10题)‎ ‎10．如图，在正三棱柱中，已知，点在棱上，则三棱锥的体积为 ▲ ．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11．如图，已知正方形的边长为，平行于轴，顶点，和分别在函数，和()的图象上，则实数的值为 ▲ ．‎ ‎12．已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎13．在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎14．已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，．当取得最大值时，的值为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ A B C D ‎(第15题)‎ 如图，在中，已知点在边上，，，，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的长．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上(异于点，)，平面与棱交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ A B C D E F P ‎(第16题)‎ ‎（2）若平面平面，求证：．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(点在轴上方)．‎ ‎（1）若，求直线的方程；‎ A B P Q O F x y ‎(第17题)‎ ‎（2）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ A B C D F E O ‎(第18题)‎ G 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(，为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且．设，透光区域的面积为．‎ ‎（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；‎ ‎（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值 ‎ 越大越好．当该比值最大时，求边的长度．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知两个无穷数列和的前项和分别为，，，，对任意的，都有．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若为等差数列，对任意的，都有．证明：；‎ ‎（3）若为等比数列，，，求满足的值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）当时，求函数的单调增区间；‎ ‎（2）设函数，．若函数的最小值是，‎ 求的值；‎ ‎（3）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数，为坐标原点．求的取值范围．‎ 宿迁市高三年级第三次模拟考试 数学Ⅱ(附加题)‎ 注　意　事　项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ ‎4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在 其他位置作答一律无效。中国数学教育网 ‎5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。ht ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ N A D B C O ‎(第21(A)题)‎ M 如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上．若，求的度数．‎ B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知矩阵，若，求矩阵的特征值．‎ C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，已知点，点在直线上．当线段最短时，求点的极坐标．‎ D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ ‎ 已知，，为正实数，且．求证：．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ M P O F x y ‎(第22题)‎ ‎（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知集合，对于集合的两个非空子集，，若，则称为集合的一组“互斥子集”．记集合的所有“互斥子集”的组数为(视与为同一组“互斥子集”)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）写出，，的值；‎ ‎（2）求．‎ 宿迁市2017届高三第三次调研测试 数学参考答案与评分标准 一、填空题 ‎1． 2．1 3． 4． 5． 6．(或) ‎ ‎7．(或) 8．(或) 9． 10．‎ ‎11． 12．(或) 13．(或) 14．‎ 注意：填空题第6、7、8、12、13均提供两种书写方法，都算正确，不要扣分。其他写法均判为0分。‎ 二、解答题 ‎15．（1）在中，，，‎ 所以．……………………………………2分 同理可得，． …………………………………………………4分 所以 ‎ ………………………………6分 ‎．……………………………………………8分 ‎（2）在中，由正弦定理得，．……10分 又，所以． ………………………………………12分 在中，由余弦定理得，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎． ………………………………14分 注意：第15（1）题时，严格按照逻辑段给分，譬如 要先代入公式，再代入数字运算，不写公式扣1分。15（2）要先把正弦定理和余弦定理公式写出来，再代入数字运算，不写公式扣1分。‎ ‎16．（1）因为是矩形，所以．…………………………………………2分 又因为平面，平面，‎ 所以平面．…………………………………………………………4分 又因为平面，平面平面，‎ 所以．…………………………………………………………………6分 ‎（2）因为是矩形，所以． ………………………………………8分 又因为平面平面，平面平面，‎ 平面，所以平面． …………………………………10分 又平面，所以． ………………………………………12分 又由（1）知，所以． ……………………………………14分 注意：16（1）严格按照逻辑段给分，使用线面平行判定定理与性质定理时，缺少任何一个条件，该逻辑段分数全部扣除。16（2）使用面面垂直性质定理时，缺少任何一个条件，该逻辑段分数全部扣除；证明线线垂直时，只能使用“在两条平行线中，一条垂直于已知直线，则另一条也垂直于该直线”，使用其他方法，该逻辑段分数均扣除。这道题考查知识点较为冷门，绝不要姑息迁就，给学生提个醒。‎ ‎17．（1）因为，，所以，所以的坐标为，……1分 设，，直线的方程为，‎ 代入椭圆方程，得，‎ 则，． …………………………4分 若，则，‎ 解得，故直线的方程为．……………………6分 ‎（2）由（1）知，，，‎ 所以，…………………………………………8分 所以 ………………………………………12分 ‎，‎ 故存在常数，使得．…………………………………………14分 A B C D F E O ‎(第18题)‎ G H 注意：第17（1）中设直线的方程为，利用，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 技巧性较高，常规的设法，要对照给分。第17（2）中，没有利用，直接代入，运算结果正确也可以。‎ ‎18．（1）过点作于点，则，‎ 所以，‎ ‎．……………………………2分 所以 ‎，………………………………6分 因为，所以，所以定义域为．……………………8分 ‎（2）矩形窗面的面积为．‎ 则透光区域与矩形窗面的面积比值为．…10分 设，．‎ 则 ‎，………………………………………………12分 因为，所以，所以，故，‎ 所以函数在上单调减．‎ 所以当时，有最大值，此时(m)． …14分 答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；‎ ‎（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1m．………16分 注意：18（1）中，没有求出定义域为，或者求解错误，扣2分。18题两个小题中，没有明确给出答案，各扣1分。‎ ‎19．（1）由，得，‎ 即，所以． ……………………………2分 由，，可知．‎ 所以数列是以为首项，为公差的等差数列．‎ 故的通项公式为．………………………………………………4分 ‎（2）证法一：设数列的公差为，则，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由（1）知，．‎ 因为，所以，即恒成立，‎ 所以 即…………………………………………………6分 又由，得，‎ 所以 ‎．‎ 所以，得证． …………………………………………………………8分 证法二：设的公差为，假设存在自然数，使得，‎ 则，即，‎ 因为，所以．……………………………………………………6分 所以，‎ 因为，所以存在，当时，恒成立．‎ 这与“对任意的，都有”矛盾！‎ 所以，得证． …………………………………………………………8分 ‎（3）由（1）知，．因为为等比数列，且，，‎ 所以是以为首项，为公比的等比数列．‎ 所以，．…………………………………………………10分 则，‎ 因为，所以，所以．…………………12分 而，所以，即（*）．‎ 当，时，（*）式成立；………………………………………………14分 当时，设，‎ 则，‎ 所以．‎ 故满足条件的的值为和．………………………………………………16分 ‎20．（1）当时，，．……………………2分 因为在上单调增，且，‎ 所以当时，；当时，．‎ 所以函数的单调增区间是．……………………………………4分 ‎（2），则，令得，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当时，，函数在上单调减；‎ 当时，，函数在上单调增．‎ 所以．………………………………………6分 ①当，即时，‎ 函数的最小值，‎ 即，解得或（舍），所以；………8分 ②当，即时，‎ 函数的最小值，解得（舍）．‎ 综上所述，的值为．………………………………………………………10分 ‎（3）由题意知，，．‎ 考虑函数，因为在上恒成立，‎ 所以函数在上单调增，故．…………………12分 所以，即在上恒成立，‎ 即在上恒成立．‎ 设，则在上恒成立，‎ 所以在上单调减，所以． …………………………14分 设，‎ 则在上恒成立，‎ 所以在上单调增，所以．‎ 综上所述，的取值范围为． ………………………………………16分 注意：20（3）解法较多，各种方法按照3个得分点，每个2分，对应给分。‎ 宿迁市2017届高三第三次调研测试 数学(附加题)参考答案与评分标准 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 N A D B C O ‎(第21(A)题)‎ M ‎21．A．连结，．‎ 因为为弧的中点，所以．‎ 而，‎ 所以，‎ 即． ………………………5分 又因为，‎ 所以，‎ 故．……………………………10分 B．因为，‎ 所以 解得 所以．……………………………5分 所以矩阵的特征多项式为，‎ 令，解得矩阵的特征值为，．………………………10分 C．以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，‎ 则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为．…………4分 最短时，点为直线与直线的交点，‎ 解得 所以点的直角坐标为．……………………8分 所以点的极坐标为．……………………………………………………10分 D．因为，所以，…………………………5分 所以，‎ 当且仅当时，取“”．……………………………………………10分 ‎22．（1）因为直线与垂直，所以为点到直线的距离．‎ 连结，因为为线段的中垂线与直线的交点，所以．‎ 所以点的轨迹是抛物线．……………………………………………………2分 焦点为，准线为．‎ 所以曲线的方程为． ………………………………………………5分 ‎（2）由题意，过点的切线斜率存在，设切线方程为，‎ 联立 得，‎ 所以，即（*），……………………8分 因为，所以方程（*）存在两个不等实根，设为，‎ 因为，所以，为定值． ……………………………10分 ‎23．（1），，…………………………………………………………2分 ‎． ……………………………………………………………………4分 ‎（2）解法一：设集合中有k个元素，．‎ 则与集合互斥的非空子集有个．…………………………………6分 于是．…………………8分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为，‎ ‎，‎ 所以．………………10分 解法二：任意一个元素只能在集合，，之一中，‎ 则这个元素在集合，，中，共有种；…………………………6分 其中为空集的种数为，为空集的种数为，‎ 所以，均为非空子集的种数为，………………………8分 又与为同一组“互斥子集”，‎ 所以．………………………………………………10分 ‎ 注意：23（1），，每个1分；，给2分，均不需要写出过程。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费