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【备战2017高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】
专题 导数与定积分
一、选择题
1．【2017安徽阜阳二模】设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．【2017广东佛山二模】设函数（）满足，现给出如下结论：
①若是上的增函数，则是的增函数；
②若，则有极值；
③对任意实数，直线与曲线有唯一公共点.
其中正确结论的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
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【解析】由化简得. ，其对称轴为，如果在上递增，其关于对称的区间为，故也是其增区间，①正确. ，即，导函数的判别式，当时， ，判别式为正数，当时， ，其判别式为正数，即导函数有零点，根据二次函数的性质可知原函数由极值，②正确.注意到，则③转化为，即函数图像上任意两点连线的斜率和函数在处的切线的斜率相等的有且仅有一个点.由于是导函数的最小值点，即有且仅有一个最小值点，故③正确.
点睛：本题主要考查函数单调性、极值与导数的知识，考查化归与转化的数学思想方法.首先根据题目所给方程，化简后可得到的一个关系式，从而消去，将题目的参数减少一个.然后利用导数这个工具，结合二次函数的对称轴与最值来判断各个结论的真假.
3．【2017安徽马鞍山二模】已知函数， ，若存在使得，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及函数零点问题，属于难题.已知函数有零点 (方程有根) 求参数取值范围的三种常用的方法： (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的
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不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
4．【2017湖南长沙二模】已知函数是定义在上的奇函数，且当时， ，则对任意，函数的零点个数至多有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个
【答案】A
点晴:本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
5．【2017湖南娄底二模】将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（），得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于时，其图象都依然是一个函数图象，因为是是的减函数，且,当且仅当时等号成立，故在函数的图象的切线中， 处的切线倾斜角最大，其值为，由此可知，故选D.
6．【2017河北唐山二模】已知是定义在上的可导函数，且满足，则（ ）
A. B. C. 为减函数 D. 为增函数
【答案】A
点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数是解题的关键，本题是一道中档题；构造函数，结合题意可得函数在递增，在内单调递减，可得结果.
7．【2017安徽淮北二模】已知函数，若对任意的,总
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有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得对任意的恒成立，所以，令，得，当时， ；当时， ；所以当时， ，从而，因为，所以当时， ；当时， ；因此当时， ，选C.
点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
二、填空题
8．【2017安徽阜阳二模】已知方程，有且仅有四个解，则__________．
【答案】
【解析】由图可知 ,且 时, 与 只有一个交点,令 ,则由 ,再由,不难得到当 时 与 只有一个交点,即 ,因此
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点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
9．【2017广东佛山二模】若直线与曲线相切，则__________．
【答案】
【解析】即求曲线过原点切线的斜率，设切点为，斜率，切线方程为，将原点坐标代入化简得，故.
10．【2017湖南娄底二模】若，则__________．
【答案】3
【解析】，所以.
11．【2017山西三区八校二模】定义在上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为__________．
【答案】
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12．【2017江西4月质检】已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为__________．
【答案】
【解析】圆心，先求的最小值，设，所以以点为切点的切线方程为，当垂直切线时， ，此时点，函数图象上任意点到点的距离大于点到切线的距离即，所以的最小值是，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查圆的方程、导数的几何意义、点到直线的距离公式及数学的转化与划归思想.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题将两点间的距离转化为圆心到切线的距离是解题的关键.学。
13．【2017江西4月质检】计算得__________．
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【答案】
【解析】根据定积分的几何意义及定义，可知，故答案为.
14．【2017福建4月质检】已知定义在上的函数满足，且当时， ，则曲线在处的切线方程是__________．
【答案】
点睛：考察导数的几何意义切线方程的应用
三、解答题
15．【2017安徽阜阳二模】已知函数是自然对数的底数 ）.
（1）当是，求证： ；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）证明不等式，就是证明，先利用导数求函数最值：求导函数，由零点存在定理确定零点范围，分析函数单调性，确定函数最值，再根据基本不等式证明，（Ⅱ）根据图像可知原题等价于在上有唯一极大值点，且极大值大于零，即根据极值定义得及极大值再利用导数研究函数单调性，根据单调性解不等式得，进而得到的取值范围.
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试题解析：（Ⅰ） ，
.得：
且在上单增，在上单减
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
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(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
16．【2017广东佛山二模】设函数，其中，是自然对数的底数.
（Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若，证明： .
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（I）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得的最小值，由此得到的取值范围；（II）将原不等式，转化为，令，求出的导数，对分成两类，讨论函数的最小值，由此证得，由此证得.
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（Ⅱ） .
令（），以下证明当时， 的最小值大于0.
求导得 .
①当时， ， ；
②当时， ，令，
则 ，又 ，
取且使，即，则 ，
因为，故存在唯一零点，
即有唯一的极值点且为极小值点，又，
且，即，故，
因为，故是上的减函数.
所以 ，所以.
综上，当时，总有.
点睛：本题主要考查导数与单调性的关系及恒成立问题，考查利用导数证明不等式的方法，考查化归与转化的数学思想方法.第一问由于已知函数在区间上单调递增，故其导函数在这个区间上恒为非负数，若函数在区间上单调递减，则其导函数在这个区间上恒为非正数.分离常数后可求得的取值范围.
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17．【2017安徽马鞍山二模】已知函数．
（Ⅰ）证明曲线上任意一点处的切线斜率不小于2；
（Ⅱ）设，若有两个极值点，且，证明： ．
【答案】(Ⅰ) 见解析(Ⅱ)见解析
【解析】试题分析：(Ⅰ)先求导函数，只需证明成立即可；（Ⅱ）令， ，可知两根为，结合韦达定理可化简得，研究函数的单调性，可证结论.
当时， ，
由得， ，设两根为，则，
其中，
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在上递增，在上递减，在上递增，
从而有两个极值点，且，
，
即，
构造函数， ，
所以在上单调递减， 且．故．
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
18．【2017湖南长沙二模】已知函数， .
（1）证明： ，直线都不是曲线的切线；
（2）若，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
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试题解析： （1）的定义域为， ，直线过定点，若直线与曲线相切于点（且），则，即①，设， ，则，所以在上单调递增，又，从而当且仅当时，①成立，这与矛盾.
所以， ，直线都不是曲线的切线；
（2）即，令， ，
则，使成立，
.
（i）当时， ， 在上为减函数，于是，由得，满足，所以符合题意；
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（ii）当时，由及的单调性知在上为增函数，所以，即.
①若，即，则，所以在为增函数，于是，不合题意；
②若，即，则由， 及的单调性知存在唯一，使，且当时， ， 为减函数；当时， ， 为增函数；
所以，由得，这与矛盾，不合题意.
综上可知，的取值范围是.
19．【2017重庆二诊】已知曲线在点处的切线与直线平行， ．
（1）求的值；
（2）求证： ．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【解析】【试题分析】（１）先求导数，再运用导数的几何意义建立方程求解；（２）先将不等式进行等价转化，再运用导数分别求不等式中的两边的函数的最值进行分析推证：
（Ⅰ），由题；
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②当时， ，令，则故
在上递增， 上递减， ， 即；
综上，对任意，均有.
点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数的几何意义、求导法则等基础知识，以及综合运用导数知识研究函数的单调性、极值（最值）等方面的运用。求解第一问时，先对函数解析式求导数，再运用导数的几何意义建立方程求出参数而获解；求证第二问时，先将不等式化为，再对不等式两边函数分别求导，分别求函数的最小值和最大值，然后进行比较，从而使得问题获证。
20．【2017湖南娄底二模】已知函数， .
（Ⅰ）证明： ，直线都不是曲线的切线；
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（Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）设出切点，分别用函数的导数值和直线的两点表示斜率，得方程，发现方程的解为，与定义域矛盾；
（Ⅱ）原问题转化为，令， , 则，使成立，讨论函数的最小值即可.
（Ⅱ）即，令， ，
则，使成立，
，
（1）当时， ， 在上为减函数，于是
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，
由得，满足，所以符合题意；
（2）当时，由及的单调性知 在上为增函数，所以，即，
①若，即，则，所以在上为增函数，于是
，不合题意；
②若，即则由， 及的单调性知存在唯一，使，且当时， ， 为减函数；当时， ， 为增函数；
所以 ，由得 ，这与矛盾，不合题意.
综上可知，的取值范围是.
【方法点睛】利用导数解决不等式有解问题的“两种”常用方法
(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地， 恒成立，只需即可； 恒成立，只需即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
21．【2017河北唐山二模】已知函数的图象与轴相切，
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．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若，求证：
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导，设的图象与轴相交于点，由题意可得在该点处导数值为0，函数值为0，构造方程组可得的值，将题意转化为，设，利用导数判断其单调性求出最大值即可；（Ⅱ）构造函数，对其求导结合（Ⅰ）可得的单调性，从而有，化简整理可得，运用换底公式及（Ⅰ）中的不等式可得 ，再次运用可得结论.
试题解析：（Ⅰ） ， 设的图象与轴相交于点，
则即
解得．
所以，
等价于．
设，则，
当时， ， 单调递增；
当时， ， 单调递减，
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所以，
即，（*），所以．
（Ⅱ）设，则，
由（Ⅰ）可知，当时， ，
从而有，所以单调递增，
又，所以，
从而有，即，
所以，即，
，
又，所以，
又，所以．
综上可知， ．
22．【2017安徽淮北二模】已知函数.
（I）讨论函数的单调性,并证明当时， ;
（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值，设最小值为
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，求函数的值域.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数在定义区间上恒非负，故得函数单调区间；根据函数单调递增得，即得不等式，（2）利用（1）结论可得函数的导数在区间内单调递增，根据零点存在定理可得有一唯一零点且．从而可得在处取最小值，利用化简，得．最后再利用导数研究函数单调性，即得函数的值域.
试题解析：（1）由得
故在上单调递增，
当时，由上知，
即，即，得证.
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所以在内有最小值，
由题设即．
又因为．所以．
根据（Ⅰ）知， 在内单调递增， ，所以．
令，则，函数在区间内单调递增，
所以，
即函数的值域为．
23．【2017山西三区八校二模】已知函数（其中，为常数且）在处取得极值．
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（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若在上的最大值为1，求的值．
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为， ；单调递减区间为; （Ⅱ）或.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于，的方程，根据求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，的范围，可得函数的单调区间；
（Ⅱ）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果．
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（Ⅱ）因为，
令， ， ，
因为在处取得极值，所以，
当时， 在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上的最大值为，
令，解得，
当， ，
当时， 在上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
而，
所以，
解得，与矛盾．
当时， 在区间上单调递增，在上单调递减，
所最大值1可能在处取得，而，矛盾．
综上所述， 或．
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