苏北三市2017届高三第三次调研考试数学试题含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 连云港市2017届高三年级模拟考试 数学Ⅰ 第Ⅰ卷（共70分）‎ 一、填空题(每题5分,满分70分,江答案填在答题纸上)‎ ‎1.已知集合,,则集合中元素的个数为 ．‎ ‎2.设,，(为虚数单位)，则的值为 ．‎ ‎3.在平面直角坐标系中,双曲线的离心率是 ．‎ ‎4.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 ．‎ ‎5.如图是一个算法的流程图，则输出的的值为 ．‎ ‎6.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 ．‎ ‎7.已知实数，满足则的取值范围是 ．‎ ‎8.若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是 ．‎ ‎9.在公比为且各项均为正数的等比数列中，为的前项和.若，且，则的值为 ．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎10.如图，在正三棱柱中，已知，点在棱上，则三棱锥的体积为 ．‎ ‎11.如图，已知正方形的边长为2，平行于轴，顶点，和分别在函数，和的图象上，则实数的值为 ．‎ ‎12.已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是 ．‎ ‎13.在平面直角坐标系中，圆：.若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是 ．‎ ‎14.已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，当取得最大值时，的值为 ．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.如图，在中，已知点在边上，，，，.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的长.‎ ‎16.如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上（异于点，），平面与棱交于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若平面平面，求证：.‎ ‎17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方）.‎ ‎（1）若，求直线的方程；‎ ‎（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（为上切点），与左右两边相交（，为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1，且 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，设，透光区域的面积为.‎ ‎（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；‎ ‎（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边的长度.‎ ‎19. 已知两个无穷数列和的前项和分别为，，，，对任意的，都有.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若为等差数列，对任意的，都有.证明：；‎ ‎（3）若为等比数列，，，求满足的值.‎ ‎20. 已知函数，.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）设函数，.若函数的最小值是，求的值；‎ ‎（3）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数，为坐标原点，求的取值范围.‎ ‎21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.选修4-1：几何证明选讲 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上，若，求的度数.‎ B.选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵，若，求矩阵的特征值.‎ C.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知点，点在直线：上，当线段最短时，求点的极坐标.‎ D.选修4-5：不等式选讲 已知，，为正实数，且，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知集合，对于集合的两个非空子集，，若 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（视与为同一组“互斥子集”）.‎ ‎（1）写出，，的值；‎ ‎（2）求.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三师2017届高三第三次质量检测参考答案与评分标准试 一、填空题 ‎1.5 2. 1 3. 4. 5.6 6. (或5.2) 7. (或)‎ ‎8. (或) 9. 10. 11. 12. (或)‎ ‎13. (或) 14. ‎ 二、解答题 ‎15.解:(1)在中, , ，‎ 所以 .‎ 同理可得, .‎ 所以 ‎.‎ ‎(2)在中,由正弦定理得, . ‎ 又,所以.‎ 在中,由余弦定理得, ‎ ‎.‎ ‎16. 解:(1) 因为是矩形，所以．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ 又因为平面，平面平面，‎ 所以．‎ ‎（2）因为是矩形，所以．‎ 又因为平面平面，平面平面，‎ 平面，所以平面．‎ 又平面，所以． ‎ 又由（1）知，所以．‎ ‎17. 解:(1) 因为，，所以，所以的坐标为（1,0），‎ 设，，直线的方程为，‎ 代入椭圆方程，得，‎ 则，． ‎ 若，则， ‎ 解得，故直线的方程为．‎ ‎（2）由（1）知，，，‎ 所以，‎ 所以 ，‎ 故存在常数，使得．‎ ‎18. 解:(1) 过点作于点，则，‎ 所以，‎ ‎．‎ 所以 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 因为，所以，所以定义域为．‎ ‎（2）矩形窗面的面积为．‎ 则透光区域与矩形窗面的面积比值为．‎ 设，．‎ 则 ‎，‎ 因为，所以，所以，故，‎ 所以函数在上单调减．‎ 所以当时，有最大值，此时 ‎ 答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；‎ ‎（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1．‎ ‎19. 解:(1) 由，得，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即，所以．‎ 由，，可知．‎ 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列．‎ 故的通项公式为．‎ ‎（2）证法一：设数列的公差为，则，‎ 由（1）知，．‎ 因为，所以，即恒成立，‎ 所以 即 又由，得，‎ 所以．‎ 所以，得证． ‎ 证法二：设的公差为，假设存在自然数，使得，‎ 则，即，‎ 因为，所以．‎ 所以，‎ 因为，所以存在，当时，恒成立．‎ 这与“对任意的，都有”矛盾！‎ 所以，得证．‎ ‎（3）由（1）知，．因为为等比数列，且，，‎ 所以是以1为首项，3为公比的等比数列．‎ 所以，．‎ 则，‎ 因为，所以，所以．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 而，所以，即（*）．‎ 当时，（*）式成立；‎ 当时，设，‎ 则，‎ 所以．‎ 故满足条件的的值为1和2．‎ ‎20. 解:(1) 当时，，．‎ 因为在上单调增，且，‎ 所以当时，；当时，．‎ 所以函数的单调增区间是．‎ ‎（2），则，令得，‎ 当时，，函数在上单调减；‎ 当时，，函数在上单调增．‎ 所以．‎ ‎①当，即时，‎ 函数的最小值，‎ 即，解得或（舍），所以；‎ ‎②当，即时，‎ 函数的最小值，解得（舍）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 综上所述，的值为1．‎ ‎（3）由题意知，，．‎ 考虑函数，因为在上恒成立，‎ 所以函数在上单调增，故．‎ 所以，即在上恒成立，‎ 即在上恒成立．‎ 设，则在上恒成立，‎ 所以在上单调减，所以．‎ 设，‎ 则在上恒成立，‎ 所以在上单调增，所以．‎ 综上所述，的取值范围为．‎ ‎21.解：A．‎ 连结，．‎ 因为为弧的中点，所以．‎ 而，‎ 所以，‎ 即．‎ 又因为，‎ 所以，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故．‎ B．因为，‎ 所以 解得 所以．‎ 所以矩阵的特征多项式为，‎ 令，解得矩阵的特征值为，．‎ C．以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，‎ 则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为．‎ 最短时，点为直线与直线的交点，‎ 解得 所以点的直角坐标为（-1,1）．‎ 所以点的极坐标为．‎ D．因为，所以，‎ 所以，‎ 当且仅当时，取“”．‎ ‎22. 解:(1) 因为直线与垂直，所以为点到直线的距离．‎ 连结，因为为线段的中垂线与直线的交点，所以．‎ 所以点的轨迹是抛物线．‎ 焦点为，准线为．‎ 所以曲线的方程为． ‎ ‎（2）由题意，过点的切线斜率存在，设切线方程为，‎ 联立 得，‎ 所以，即（*），‎ 因为，所以方程（*）存在两个不等实根，设为，，‎ 因为，所以，为定值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎23. 解:(1) ，，‎ ‎． ‎ ‎（2）解法一：设集合中有个元素，．‎ 则与集合互斥的非空子集有个．‎ 于是．‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以．‎ 解法二：任意一个元素只能在集合，，之一中，‎ 则这个元素在集合，，中，共有种；‎ 其中为空集的种数为，为空集的种数为，‎ 所以，均为非空子集的种数为，‎ 又与为同一组“互斥子集”，‎ 所以．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费