苏锡常镇四市2017年5月高三教学情况调研数学试题(二)含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）‎ 数学Ⅰ试题 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则 ．‎ ‎2．已知为虚数单位，复数（），，且，则 ．‎ ‎3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布.若利用组中值近似计算本组数据的平均数，则的值为 ．‎ ‎4．已知直线为双曲线（，）的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为 ．‎ ‎5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前个自然数平方和的一般公式.下图是一个求前个自然数平方和的算法流程图，若输入的值为1，则输出的值为 ．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6．已知是集合所表示的区域，是集合所表示的区域，向区域内随机的投一个点，则该点落在区域内的概率为 ．‎ ‎7．已知等比数列的前项和为，公比，，则 ．‎ ‎8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为 ．‎ ‎9．已知是第二象限角，且，，则 ．‎ ‎10．已知直线：，圆：，当直线被圆所截得的弦长最短时，实数 ．‎ ‎11．在中，角，，对边分别是，，，若满足，则角的大小为 ．‎ ‎12．在中，，，，是所在平面内一点，若，则面积的最小值为 ．‎ ‎13．已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围为 ．‎ ‎14．已知，均为正数，且，则的最小值为 ．‎ 二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎15．已知向量，.‎ ‎（1）当时，求的值；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）若，且，求的值.‎ ‎16．如图，在四面体中，平面平面，，，分别为，，的中点，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若为上任一点，证明平面.‎ ‎17．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）.‎ ‎（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎18．已知函数，，为实数，，为自然对数的底数，.‎ ‎（1）当，时，设函数的最小值为，求的最大值；‎ ‎（2）若关于的方程在区间上有两个不同实数解，求的取值范围.‎ ‎19．已知椭圆：（）的左焦点为，左准线方程为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知直线交椭圆于，两点.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.求证：为定值；‎ ‎②若（为原点），求面积的取值范围.‎ ‎20．已知数列满足，，其中，，为非零常数.‎ ‎（1）若，，求证：为等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列是公差不等于零的等差数列.‎ ‎①求实数，的值；‎ ‎②数列的前项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.‎ ‎2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）‎ 数学Ⅱ（附加）试题 ‎21．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，每小题10分，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.选修4-1：几何证明选讲 如图，直线切圆于点，直线交圆于，两点，于点，且，求证：.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 B.选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵的一个特征值及对应的特征向量.‎ 求矩阵的逆矩阵.‎ C.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为（）.若曲线与曲线有且仅有一个公共点，求实数的值.‎ D.选修4-5：不等式选讲 已知，，为正实数，求证：.‎ ‎【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分，请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22．已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第局得分（）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束.‎ ‎（1）求在一局游戏中得3分的概率；‎ ‎（2）求游戏结束时局数的分布列和数学期望.‎ ‎23．已知 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，其中，，，.‎ ‎（1）试求，，的值；‎ ‎（2）试猜测关于的表达式，并证明你的结论.‎ ‎2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）‎ 数学参考答案 一、填空题 ‎1． 2．1 3．19.7 4．‎ ‎5．14 6． 7．3 8．‎ ‎9． 10． 11． 12．‎ ‎13 14．7‎ 二、解答题 ‎15．解：（1）当时，，，‎ 所以.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 若，则，即，‎ 因为，所以，所以，‎ 则 ‎.‎ ‎16．解：（1）因为平面平面，，即，‎ 平面平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，所以，‎ 因为，为的中点，所以，‎ 又，平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）连，，因为，分别为，的中点，‎ 所以，又平面，平面，‎ 所以平面，‎ 同理可证平面，且，平面，平面，‎ 所以平面平面，‎ 又为上任一点，所以平面，所以平面.‎ ‎17．解：（1）（）.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ 当且仅当时，即时取等号.‎ 故.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.‎ ‎18．解：（1）当时，函数，‎ 则，‎ 令，得，因为时，，‎ 所以，‎ 令，‎ 则，令，得，‎ 且当时，有最大值1，‎ 所以的最大值为1（表格略），（分段写单调性即可），此时.‎ ‎（2）由题意得，方程在区间上有两个不同实数解，‎ 所以在区间上有两个不同的实数解，‎ 即函数图象与函数图象有两个不同的交点，‎ 因为，令，得，‎ 所以当时，，‎ 当时，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以，满足的关系式为，即的取值范围为.‎ ‎19．解：（1）由题设知，，，‎ ‎，，‎ ‎：.‎ ‎（2）①由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则.‎ 设，，直线代入椭圆得，整理得，‎ ‎，，.‎ 由，知，，‎ ‎（定值）.‎ ‎②当直线，分别与坐标轴重合时，易知的面积，‎ 当直线，的斜率均存在且不为零时，设：，：，‎ 设，，将代入椭圆得到，‎ ‎，，同理，，‎ 的面积.‎ 令，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 令，则.‎ 综上所述，.‎ ‎20．解：（1）当，时，，‎ ‎.‎ 又，不然，这与矛盾，‎ 为2为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎，.‎ ‎（2）①设，‎ 由得，‎ ‎，‎ 对任意恒成立.‎ 令，2，3，解得，，，.‎ 经检验，满足题意.‎ 综上，，，.‎ ‎②由①知.‎ 设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.‎ ‎1°若三个奇数一个偶数，设，，，是满足条件的四项，‎ 则，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.‎ ‎2°若一个奇数三个偶数，设，，，是满足条件的四项，‎ 则，.‎ 由504为偶数知，，，中一个偶数两个奇数或者三个偶数.‎ ‎1）若，，中一个偶数两个奇数，不妨设，，，‎ 则，这与251为奇数矛盾.‎ ‎2）若，，均为偶数，不妨设，，，‎ 则，继续奇偶分析知，，中两奇数一个偶数，‎ 不妨设，，，则.‎ 因为，均为偶数，所以为奇数，不妨设，‎ 当时，，，检验得，，，‎ 当时，，，检验得，，，‎ 当时，，，检验得，，，‎ 即，，，或者，，，或者，，，满足条件，‎ 综上所述，，，为全部满足条件的四元子列.‎ ‎（第Ⅱ卷 理科附加卷）‎ ‎21．A.解：连结，设圆的半径为，，则，.‎ 在中，，，即，①‎ 又直线切圆于点，则，即，②‎ ‎，代入①，，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 B.解：由题知，‎ ‎，，.‎ ‎，‎ ‎.‎ C.解：，‎ 曲线的普通方程为.‎ ‎，，‎ 曲线的直角坐标方程为，‎ 曲线圆心到直线的距离为，‎ ‎，或.‎ D.解：基本不等式 ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎22．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件，‎ 则.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答：在一局游戏中得3分的概率为.‎ ‎（2）的所有可能取值为1，2，3，4.‎ 在一局游戏中得2分的概率为，‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 所以 ‎.‎ ‎23．解：（1）；‎ ‎；‎ ‎.‎ ‎（2）猜想：.‎ 而，，‎ 所以.‎ 用数学归纳法证明结论成立.‎ ‎①当时，，所以结论成立.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎②假设当时，.‎ 当时，‎ ‎（*）‎ 由归纳假设知（*）式等于.‎ 所以当时，结论也成立.‎ 综合①②，成立.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费