盐城市2017届高三第三次模拟考试数学试卷（理）含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 盐城市2017届高三年级第三次模拟考试 数 学 试 题 ‎ (总分160分，考试时间120分钟)‎ 注意事项：‎ ‎　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．‎ ‎　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．‎ ‎　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．‎ 参考公式：‎ 锥体体积公式：，其中为底面积,为高.‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．已知全集，集合，则 = ▲ ．‎ ‎2．设复数满足（为虚数单位），则 ▲ ．‎ ‎3．某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600人、700人、700人，为了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 ▲ ．‎ ‎4．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ 第6题图 ‎5．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：‎ 甲组：88、89、90；乙组：87、88、92. 如果分别从甲、乙两 组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值 不超过3的概率是 ▲ ．‎ ‎6．执行如图所示的伪代码，输出的值为 ▲ ．‎ ‎7．设抛物线的焦点与双曲线 的右焦点重合，则= ▲ ．‎ ‎8．设满足，则的最大值为 ▲ ．‎ ‎9．将函数的图象向左平移个单位后，恰好得到函数的的图象，则的最小值为 ▲ ．‎ ‎10．已知直三棱柱的所有棱长都为2，点分别为棱 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的中点，则四面体的体积为 ▲ ．‎ ‎11．设数列的首项，且满足与，则 ▲ ．‎ ‎12．若均为非负实数，且，则的最小值为 ▲ ．‎ ‎13．已知四点共面，，，，则的最大值为 ▲ ．‎ ‎14．若实数满足，则 ▲ ．‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎15．(本小题满分14分)‎ 第15题图 如图，在四棱柱中，平面底面ABCD，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎16．(本小题满分14分)‎ 设△面积的大小为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求．‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ A B C D E 第17题图 F O 一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示. 是等腰梯形，米，（在的延长线上，为锐角）. 圆与都相切，且其半径长为米. 是垂直于的一个立柱，则当的值设计为多少时，立柱最矮？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎18．(本小题满分16分)‎ 已知、分别是椭圆的左顶点、右焦点，点为椭圆上一动点，当轴时，.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若椭圆存在点，使得四边形是平行四边形（点在第一象限），求直线与的斜率之积；‎ ‎（3）记圆为椭圆的“关联圆”. 若，过点作椭圆的“关联圆”的两条切线，切点为、，直线的横、纵截距分别为、，求证：为定值.‎ ‎19．(本小题满分16分)‎ 设函数.‎ ‎（1）若函数是奇函数，求实数的值；‎ ‎（2）若对任意的实数，函数（为实常数）的图象与函数的图象总相切于一个定点.‎ ‎① 求与的值；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎② 对上的任意实数，都有，求实数的取值范围.‎ ‎20．(本小题满分16分)‎ 已知数列，都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列.‎ ‎（1）设数列、分别为等差、等比数列，若，，，求；‎ ‎（2）设的首项为1，各项为正整数，，若新数列是等差数列，求数列 的前项和；‎ ‎（3）设（是不小于2的正整数），，是否存在等差数列，使得对任意的，在与之间数列的项数总是？若存在，请给出一个满足题意的等差数列；若不存在，请说明理由.‎ 盐城市2017届高三年级第三次模拟考试 数学附加题部分 ‎（本部分满分40分，考试时间30分钟）‎ ‎21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎ A.（选修4—1：几何证明选讲）‎ A C D B E F O 第21(A)图 已知是圆两条相互垂直的直径，弦交的延长线于点，若，，求的长.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 B.（选修4—2：矩阵与变换）‎ 已知矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C的方程．‎ C．（选修4—4：坐标系与参数方程）‎ 在极坐标系中，直线的极坐标方程为. 以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（为参数）. 若直线与圆相切，求的值.‎ D．(选修4—5：不等式选讲）‎ ‎ 已知为正实数，且，证明：.‎ ‎[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，，在上，且∥面BDM.‎ ‎（1）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；‎ ‎（2）求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小.‎ A B C D P M 第22题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎ 一只袋中装有编号为1,2,3,…,n的n个小球，，这些小球除编号以外无任何区别，现从袋中不重复地随机取出4个小球，记取得的4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为，如，或，或或，记的数学期望为.‎ ‎（1）求,；‎ ‎（2）求.‎ 盐城市2017届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.‎ ‎1. 2. 2 3. 35 4. 5. 6. 7 7. ‎ ‎8. 1 9. 10. 11. 2056 12. 3 13.10 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.‎ ‎15．证明：（1）在四棱柱中，有. ……………4分 又平面，平面，所以平面. ……………6分 ‎（2）因为平面底面ABCD，交线为，‎ 底面ABCD，且，所以平面. …………12分 又平面，所以平面平面. …………14分 ‎16．解：（1）设的三边长分别为，由，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 得，得. …………2分 即，所以. …………4分 又，所以，故. …………6分 ‎（2）由和，得，‎ 又，所以，得 ①. …………8分 又，所以 ‎. …………10分 x y O ‎·‎ A B C D E 第17题图 F 在△中，由正弦定理，得，即，得　②. …………12分 联立①②，解得，即. …………14分 ‎17．解：方法一：如图所示，以所在直线为轴，以线段 的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系.‎ 因为，，所以直线的方程为 ‎，‎ 即. ...............4分 设圆心，由圆与直线相切，‎ 得，‎ 所以. ...............8分 令，，则， ...............10分 设，. 列表如下：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 减 极小值 增 所以当，即时，取最小值. ...............13分 O ‎·‎ A B C D E 第17题图 F G H 答：当时，立柱最矮. ...............14分 方法二：如图所示，延长交于点，过点作于，‎ ‎ 则，.‎ ‎ 在中，. ...............4分 ‎ 在中，. ...............6分 ‎ 所以. ...............8分 ‎（以下同方法一）‎ ‎18．解：（1）由轴，知，代入椭圆的方程，‎ 得，解得. ...............2分 又，所以，解得. ...............4分 ‎（2）因为四边形是平行四边形，所以且轴，‎ 所以，代入椭圆的方程，解得， ...............6分 因为点在第一象限，所以，同理可得，， ................7分 所以，‎ 由（1）知，得，所以. ...............9分 ‎（3）由（1）知，又，解得，所以椭圆方程为，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 圆的方程为 ①. ...............11分 连接，由题意可知，， ，‎ 所以四边形的外接圆是以 为直径的圆，‎ 设，则四边形的外接圆方程为，‎ 即　　②. ...............13分 ‎①－②，得直线的方程为，‎ 令，则；令，则. 所以，‎ 因为点在椭圆上，所以，所以. ...............16分 ‎19．解：（1）因为函数是奇函数，所以恒成立， ……………2分 即，得恒成立，‎ ‎. ………………4分 ‎（2）① ，设切点为，‎ 则切线的斜率为，‎ 据题意是与无关的常数，故，切点为， ……………6分 由点斜式得切线的方程为，即，故. …..………8分 ‎② 当时，对任意的，都有;‎ 当时，对任意的，都有;‎ 故对恒成立，或对恒成立.‎ 而，设函数.‎ 则对恒成立，或对恒成立， ………………10分 ‎，‎ 当时, ,,恒成立,所以在上递增, ,‎ 故在上恒成立，符合题意. .…….. .………12分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当时，令，得，令，得,‎ 故在上递减，所以，‎ 而设函数，‎ 则，恒成立， ‎ 在上递增，恒成立， ‎ 在上递增， 恒成立，‎ 即，而，不合题意.‎ 综上，知实数的取值范围. ………………16分 ‎20．解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 由题意得，，解得或，因数列单调递增，‎ 所以，所以，，所以，. ...............2分 因为，，，，‎ 所以. ...............4分 ‎（2）设等差数列的公差为，又，且，‎ 所以，所以. 因为是中的项，所以设，即.‎ 当时，解得，不满足各项为正整数； ...............6分 当时，，此时，只需取，而等比数列的项都是等差数列中的项，所以； ...............8分 当时，，此时，只需取，‎ 由，得，是奇数， 是正偶数，有正整数解，‎ 所以等比数列的项都是等差数列中的项，所以. ...............10分 综上所述，数列的前项和或. ...............11分 ‎（3）存在等差数列，只需首项，公差. ...............13分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 下证与之间数列的项数为. 即证对任意正整数，都有，‎ 即成立.‎ 由，‎ ‎.‎ 所以首项，公差的等差数列符合题意. ..............16分 附加题答案 21. A、解：设半径为r，由切割线定理，‎ 得即， ………………4分 在三角形DOF中，由勾股定理，得，‎ 即. ………………8分 由上两式解得. ………………10分 B、设曲线C上任一点为（x,y），经过变换T变成，则 ‎，即 . ……………6分 又，得 . ……………10分 C、解：由题意得，直线的直角坐标方程为， ……………4分 圆的直角坐标方程为. ……………8分 则直线和曲线相切，得. ……………10分 D、证：因为，所以由基本不等式，得 ‎. ……………4分 三式相加，得.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又，所以. ……………10分 ‎22．解：因为，作AD边上的高PO，‎ 则由，由面面垂直的性质定理，得，‎ 又是矩形，同理，知,，故. …………2分 A B C D P O M N x y z 以AD中点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，AD的垂直平分线y轴，建立如图所示的坐标系，则，‎ 连结AC交BD于点N，由，‎ 所以，又N是AC的中点，‎ 所以M是PC的中点，则， ………4分 设面BDM的法向量为，‎ ‎，‎ ‎，得，‎ 令，解得，所以取.‎ ‎（1）设PC与面BDM所成的角为，则，‎ 所以直线PC与平面BDM所成角的正弦值为 . ……………………6分 ‎（2）面PAD的法向量为向量，设面BDM与面PAD所成的锐二面角为，‎ 则，故平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为. …………………10分 ‎3‎ ‎4‎ ‎23．解：（1）的概率分布为： ‎ 则. ………………2分 ‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的概率分布如下：‎ 则. ………………4分 ‎ (2) 方法一：‎ ‎ ， ………………6分 ‎ ‎ ‎ ………………10分 方法二：‎ 得 猜想. ………………6分 下面用数学归纳法证明.‎ 证明：①时猜想显然成立；‎ ‎②假设时猜想成立，即，‎ 则，‎ 当时 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ 即时命题也成立.‎ 综上①②，对一切猜想都成立. ………………10分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费