4．信息技术中的数学问题
解读课标
伴随着计算机和网络技术的迅猛发展，人类社会已步入信息时代，并将迈人后信息化时代：IT技术、赛伯空间、数字化技术、智能通讯等信息技术彻底改变着我们的生活方式与思维方式．
计算器、计算机正深刻影响着数学学习内容和方式，现代信息技术是学习数学和解决问题的有力工具．近年出现的以信息技术为背景的问题是中考竞赛试卷一道靓丽的风景，这类问题将信息技术与数学知识有机融合和渗透，构思巧妙、立意新颖，其内容涉及计算机常识（数制、字节等）、计算机的数据输出、计算机中的数据处理、计算机运算程序、网络与通讯等．
解决这类问题的关键是找到数学知识与其内在的联系，将其转化为数学问题．
问题解决
例1给出下列程序，且已知当输入的值为时，输出值为；输入的值为时，输出值为，则当输入的值为时，输出值为________．
试一试把程序流程图用代数式表示，由条件先求出、的值．
例2计算机利用的是二进制数，它共有两个数码、，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出或即可，如．
为二进制下的位数，则十进制数是二进制下的( )．
A．位数 B．位数 C位数 D．位数
试一试本例渗透了计算机的基本知识——“二进制计算”，无论何种进制的数都可表示为与数位上的数字、进制值有关联的和的形式．
例3一条信息可通过如图所示的网络线由上（点）往下向各站点传送．例如信息到点可由经的站点送达，也可由经的站点送达，共有两条途径传送，那么信息由点到达的不同途径共有多少条．
试一试在阅读理解的基础上，画出路线示意图，穷举得出结论．
例4你觉得手机很神奇吗？它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信号，据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的功劳．其实，这些信号在电脑芯片中都是以二进制数的形式给出的．每个二进制数都由和构成，电脑芯片上电子元件的“开”、“关”分别代表“”和“”．一组电子元件的“开”“关”状态就表示相应的二进制数，例如“开”“开”“关”表示“”，
如图，电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件（假设它们首尾不相连），且相邻的两个元件不能同时是关的．（以下各小题要求写出解答过程）
（1）若此电路上有个元件，则这个元件所有不同的“开”“关”状态共有多少种？（请一一列出）
（2）若用表示电路上只电子元件所有不同的“开”“关”状态数，试探索、、之间的关系式（不要求论证）；
（3）试用（2）中探索出的递推关系式，计算的值．
试一试对于（l），通过穷举，得出答案值；对于（2），从特例入手，归纳出相应关系式．
例5先阅读下面的材料，再解答后面各题．
现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计
算机键盘字母排列分解，其中、、、、、这个字母依次对应、、、、、这个正整数（见下表）：
给出一个变换公式：
将明文转换成密文，如：
，即变为；
，即变为．
将密文转换成明文，如：
，即变为；
，即变为．
（1）按上述方法将明文译为密文；
（2）若按上述方法将明文译成的密文为，请找出它的明文．
试一试对于（1），由明文选择变换公式，求得相应整数，推出密文；对于（2），逆用变换公式，即由导出值，推出明文，解题的关键是确定变换公式中的取值范围．
电话号码的破译
例6同学们看电影、看电视时，经常遇到破译密码的故事情节，在军事上、商业上，为了保密，都采用密码．破译密码需要有解密的“钥匙”，下面我们也来破译一个电话号码：一名间谍在他所追踪的人拨打电话时（话机是拨盘式的，如图，话机上的数字排列顺序是，，，，，，，，，，图中画出了拨数字时相应的小孔转过的路线），随着拨号盘转回的声音，用铅笔以同样的速度在纸上画线，他画出的条线如下：
他很快就知道了那人拨的电话号码，这个号码是多少？
分析与解从电话拨盘上可以看出，拨时，画出的线段最短，拨时，画出的线段最长，由于画线速度相同，所以，每个数字所对应的线段应比它下一个数所对应的线段增加一个固定的长度．间谍所画下的这条线段的长度互不相等，所表示的个数字当然也不一样，在这个数字的个数字中至少有个数字是相邻的（想一想为什么），因此，长度最接近的两条线段的长度差，就一定是上面所谈到的那个固定长度．
通过对这条线段进行度量，可以发现第一条线段与第二条线段最为接近，它们相差厘米（相当于个格子的宽度）．由于最长的线段与最短的线段相差厘米（相当于个格子的宽度），因此可以断定最长的线段代表数字，而最短的线段则代表．
第一条线段比第三条线段长厘米，因此第一条线段代表，同样可推知第六条线段代表，第四条线段代表，第二条线段代表，所以这个电话号码是．
数学冲浪
知识技能广场
1．二进制数为法国数学家莱布尼兹所创，例如二进制数表示十进制数，即相当于十进制数，试将二进制数化为十进制数_________．二进制数是现代计算机理论的基础．
2．如图，是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的数值为_______．
3．老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入数据
输出数据
那么，当输入数据是时，输出的数据是________．
4．在计算器上按照下面的程序进行操作：
下表中的与分别是输入的个数及相应的计算结果：
上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是 ．
5．在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法．如图，一层二叉树的结点总数为，二层二叉树的结点总数为，三层二叉树的结点总数为照此规律，七层二叉树的结点总数为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，则第次输出的结果为（ ）．
A． B． C． D．
7．计算机是将信息换成二进制数进行处理的，二进制即“逢进”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制数转换成十进制形式是数（ ）．
A． B． C． D．
8．按下列程序计算，把答案写在表格内：
（1）填写表格：
输入
输出答案
（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．
9．密码在通信安全技术、国防军事中扮演着重要角色，下面道算式，乍看真是莫名其妙！
①；②；③；④；⑤；⑥．
当你知道这只是密码算式，各个密码数字各自对应另二个不同数字时，算式就合理了．
请根据算式，写出表中密码所对应的数字．
密码
对应数字
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种密码，将英文个小写字母，，，，依次对应，，，，，这个自然数（见表格）．当明文中的字母对应的序号为时，将除以后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文对应密文．
字母
序号
字母
序号
按上述规定，将明文“”译成密文．
思维方法天地
11．我们知道在十进制加法中，逢十进一，如，也可写成；在四进制加法中，逢四进一，如，那么在进制中有等式，则______．
12．某综合性大学拟建校园局域网络，将大学本部和所属专业学院、、、、、之间用网线连接起来．经过测算，网线费用如图所示（单位：万元），每个数字表示对应网线（线段）的费用，实际建网时，部分网线可以省略不建，但本部
及所属专业学院之间可以传递信息，那么建网所需的最少网线费用为_______万元．
13．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出，按照“先进后出”的原则．如图堆栈（l）的个连续存储单元已依次存人数据，，取出数据的顺序是，；堆栈（2）的个连续存储单元已依次存人数据，，，取出数据的顺序则是，，．现在要从这两个堆栈中取出这个数据（每次取出个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ）．
A．种 B．种 C．种 D．种
14．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线相连，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，由单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A． B． C． D．
15．写出一个四位数，它的各个数位上的数字都不相等（如），用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大的数和一个最小的数，并用最大数减去最小数，得到一个新的四位数，对于新得到的四位数，重复上面过程，又得到一个新的四位数，一直重复下去，你发现了什么？请你用计算器，帮助你进行探索．
16．某人租用一辆汽车由城前往城，沿途可能经过的城币以及通过网城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示．若汽车行驶的平均速度为千米／时，而汽车每行驶千米需要的平均费用为元，试指出此人从城出发到城的最短路线，并求出所需费用最少为多少元？
17．按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为，那么满足条件的的不同值最多有多少个？
18．在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，对于英文，人们将个字母按顺序分别为对应整数到，现有个字母构成的密码单词，记个字母对应的数字分别为，，，，已知整数，，，，除以的余数分别是，，，，请你通过推理计算破译此密码，写出这个单词，并写出此单词的汉语词意．
4信息技术的数学问题
问题解决
例1由条件得
得，
故当时
例2 B
例3画出路线图：
故有条不同途径．
例4（1）“”表示开，“”表示关，则所有不同的“开”“关”的状态可表示为：
（全开）
，，， （三开一关）
，， （两开两关）
共有种
（2）由，，，
归纳出
（3）
例5（1）将明文NET转换成密文
即密文为
（2）将密文转换成明文
即密文DWN的明文为FYC
数学冲浪
1． 2． 3． 4．“”、“”
5．C
6．B 经若干次输出后结果反复循环
7．B
8．（1）略；（2）
9．
密码
原数
10．m对应的数学是，
除以的余数仍然是，因此对应的字母是w；
a对应的数字是，，除以的余数仍然是，因此对应的字母是k；
t对应的数字是，，除以的余数是，因此对应的字母是d；
……所以maths译成密文后是wkdrc．
11．
12．最省路线图
故最少网线费用为（万元）
13．C 14．B
15．最终总能出现这个四位数
16．从城出发到城的路线有如下两类：（1）从城出发到达城，经过城，因从城到城所需最短时间为小时，从城到城所需最短时间为小时，故此类路线所需最短时间为小时；
（2）从城出发到达城，不经过城，这时从城到城，必定经过、、城或、、城，所需时间至少为小时．
综上，从城到达城所需的最短时间为小时，所走的路线为，所需的费用最少为（元）
17．由得
由，得；
由，得．
故的不同值最多有个．
18．在的整数中，只有满足
得，又除以的余数为，而除以余数为，
而除以的余数为，得，对应，，，的字母分别是h，o，p，e，故密码单词为hope（希望）．
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