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揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题
数学(理科)
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．
4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）函数的定义域为
（A） （B） （C） （D）
（2）已知复数(，是虚数单位)是纯虚数，则为
（A） （B） （C）6 （D）3
（3）“为真”是“为真”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）已知，则
6
2
3
正视图
俯视图
左视图
图1
（A） （B） （C） （D）
（5）已知，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年
商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1
所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）
（A）14 （B）
（C） （D）
i=0，j=0
否
输出j
是
i=i+1
开始
结束
图2
输入a1, a2, …, a59
ai≥b?
j=j+1
是
否
（7）设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同
学的数学平均分，输出不少于平均分的人数
（用j表示），则判断框中应填入的条件是
（A） （B）
（C） （D）
（8）某微信群中四人同时抢3个红包，每人最多抢一个，
则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为
（A） （B） （C） （D）
（9）已知实数满足不等式组，若
的最小值为-3，则a的值为
（A）1 （B） （C）2 （D）
y
（10）函数的大致图象是
x
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
（A） （B） （C） （D）
（11）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为
（A）64 （B）128 （C）192 （D）384
（12）已知函数，.若在区间内
有零点，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题第(23)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
（13）已知向量满足，则 .
（14）已知直线与圆相切，则的值为 .
（15）在△ABC中，已知与的夹角为150°，，则的取值范围是 .
（16）已知双曲线的离心率为，、是双曲线的两个焦点，A为左顶点、B，点P在线段AB上，则的最小值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)（本小题满分12分）
已知数列中，，．
（I）求证：数列是等比数列；
（II）求数列的前项和为．
(18)（本小题满分12分）
已知图3中，四边形 ABCD是等腰梯形，，，O、Q分别为线段AB、CD的中点，OQ与EF的交点为P，OP=1，PQ=2，现将梯形ABCD沿EF折起，使得，连结AD、BC，得一几何体如图4示．
(Ⅰ)证明：平面ABCD平面ABFE；
(Ⅱ)若图3中， ，CD=2，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角
的余弦值．
（19）（本小题满分12分）
1
2
3
4
5
0
过关数
1
2
3
频数
图5
某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智
力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过
关者奖励件小奖品（奖品都一样）．图5
是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估
计概率．
(Ⅰ)估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值；
(Ⅱ)估计小明在3 次游戏中至少过两关的平均次数；
(Ⅲ)估计小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率．
（20）(本小题满分12分)
已知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点M到y轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点Q满足．
（I）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（II）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于、 两点，设线段AB的中点为，求的取值范围．
(21)（本小题满分12分）
设函数（），，
(Ⅰ) 试求曲线在点处的切线l与曲线的公共点个数；
(Ⅱ) 若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．
（附：当，x趋近于0时，趋向于）
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
(22) (本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知直线l1：（，），抛物线
C：（t为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l1 和抛物线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l1 和抛物线C相交于点A（异于原点O），过原点作与l1垂直的直线l2，l2和抛物线C相交于点B（异于原点O），求△OAB的面积的最小值．
(23) (本小题满分10分)选修45：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，证明：．
揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题
数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
C
C
B
B
D
A
B
C
D
解析：（6）易得该几何体为一底面半径为、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： .
（8）3个红包分配给四人共有种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为．
（9）如右图，当直线过点时，z取得最小值，即.
（10）由可排除（D），由，，可排（A）（C），故选（B）.
（11）以投影面为底面，易得正方体的高为，设长方体底面边长分别为，则，．
(12) ，由令得函数有一零点，排除（B）、（C），令得函数在上的零点从小到大为：，显然，可排除（A），故答案为（D）
【法二：，由得，当时，，由题意知存在，，即，所以，由知，当时，，，，…，所以选D．】
二、填空题：
题号
13
14
15
16
答案
解析：
(15) 由与的夹角为150°知,由正弦定理得：
,又得.
（16）易得，设则，
显然，当时，取得最小值，
由面积法易得，故的最小值为.
三、解答题：
（17）解：（I）证法1：由已知得，-----------------------------1分
∴，--------------------------------------------------------3分
又，得，∴，---------------------------------------5分
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．-----------------------6分
【证法2：由得，----------------1分
由及递推关系，可知，所以，
∴，------------------5分
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．----------------------------------6分】
（II）由（I）得，∴，---------------------------8分
，
设，-------------①
则，---------②
①式减去②式得
，
得，------------------------------------------------------------------10分
又，
∴．-----------------------------------------------------12分
（18）解：(Ⅰ)证明：在图3中，四边形ABCD为等腰梯形，
O、Q分别为线段AB、CD的中点，
∴OQ为等腰梯形ABCD的对称轴，又AB//，
∴OP⊥EF、PQ⊥EF，①---------------------2分
在图4中，∵，∴--------------3分
由①及，得EF⊥平面OPQ，∴EF⊥OQ，----------------4分
又，∴OQ平面ABFE，----------------------------------5分
又平面ABCD，∴平面ABCD平面ABFE；-------------------------------------6分
(Ⅱ)在图4中，由 ，CD=2，易得PE=PF=3，AO=OB=4，----------------7分
以O为原点，PO所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则、、
得，-------8分
设是平面BCF的一个法向量，
则，得，
取z=3，得---------9分
同理可得平面ADE的一个法向量-------------------------------------10分
设所求锐二面角的平面角为，
则=
所以平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值为．-------------------------------12分
（19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为，则的分布列为
0
1
2
4
8
16
P
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
-------------------2分
的期望值；----------------4分
(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，-----------------------------5分
设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为X，可知，
则X的平均次数；------------------------------------------7分
(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次和两次，恰好二次，恰好三次，---------------------------------------------------------------8分
，---------------------------------9分
=，------------------------10分
------------------------------------------------------------11分
所以小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为．------12分
（20）解：（I）∵抛物线上的点M到y轴的距离等于，
∴点M到直线的距离等于点M到焦点的距离，----------------1分
得是抛物线的准线，即，
解得，∴抛物线的方程为；-----------------------------------3分
可知椭圆的右焦点，左焦点，
由得，又，解得，-------4分
由椭圆的定义得，----------------------5分
∴，又，得，
∴椭圆的方程为．-----------------------------------------------------6分
（II）显然，，
由，消去x，得，
由题意知，得，-----------------------------------7分
由，消去y，得，
其中，
化简得，-------------------------------------------------------9分
又，得，解得，--------------------10分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
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