2017年三明市普通高中毕业班质量检查
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．设为双曲线的左、右焦点，为上一点，与轴垂直，直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为2，则输出的值为（ ）
A．64 B．84 C．340 D．1364
6．已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
8．在区域中，若满足的区域面积占面积的，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
9．在四面体中，若，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
11．已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段
与圆相切于点，且点为线段的中点，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．如图，正边形是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量满足，，且，则实数 ．
14．的展开式中的系数是20，则实数 ．
15．已知函数，数列满足，则 ．
16．对于定义域为的函数，若满足①；②当，且时，都有；③当，且时，，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；；
；．
则其中是“偏对称函数”的函数个数为 ．
三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中，角所对的边分别为，且，．
（Ⅰ）若，求角的正弦值及的面积；
（Ⅱ）若在线段上，且，，求的长．
18．如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，， ，，为的中点，点在线段上．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）试确定点的位置，使得直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等．
19．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．
（ⅰ）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；
（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；
（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．
20．已知椭圆的右焦点，椭圆的左，右顶点分别为．过点的直线与椭圆交于两点，且的面积是的面积的3倍．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若与轴垂直，是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．
21．已知函数，．
（Ⅰ）当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．
请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目记分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为：，将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线与曲线交于两点，点，求的值．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（Ⅰ）当时，求关于的不等式的解集；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5:ADBCB 6-10:AACDD 11、12：CC
二、填空题
13． 14．2 15． 16．2
三、解答题
17．解：（Ⅰ），，，
在中，由正弦定理，
得，
又，所以，则为锐角，所以，
则，
所以的面积．
（Ⅱ）设，则，，又，，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
则，所以，
在直角中，．
18．解：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，连接，因为，，，
由余弦定理得，得，
所以，即，又，
所以，
又，，所以，，
所以平面，所以．
（Ⅱ）侧面底面，，所以底面，所以直线两两互相垂直，以为原点，直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，，，
设，
则，，
所以，
易得平面的法向量．
设平面的法向量为，
由，，
得，令，得．
因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，
所以，即，所以，
即，解得，所以．
19．解：（Ⅰ）（ⅰ）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为，因此这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率为
．
（ⅱ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：
月用水量（吨）
价格(元/吨)
4
4.20
4.60
概率
0.9
0.06
0.04
所以全市居民用水价格的期望吨．
（Ⅱ）设李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的对应点为，它们的平均值分别为，则，又点在直线上，所以，因此，所以7月份的水费为元．
设居民月用水量为吨，相应的水费为元，则
，即，
当时，，
所以李某7月份的用水吨数约为13吨．
20．解法一：（Ⅰ）因为的面积是的面积的3倍，
所以，即，所以，所以，
则椭圆的方程为．
（Ⅱ）当，则，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
不妨设点在轴上方，，设，
则的直线方程为，代入中整理得
，
；
同理．
所以，，
则，
因此直线的斜率是定值．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，所以设方程：代入中整理得
，设，
所以，，
当，则，不妨设点在轴上方，，
所以，整理得，
所以，
整理得，
即，所以或．
当时，直线过定点，不合题意；
当时，，符合题意，
所以直线的斜率是定值．
21．解法一：（Ⅰ）当时，，
设直线与曲线相切，其切点为，
则曲线在点处的切线方程为：，
因为切线过点，所以，
即，
∵，∴，
设，
∵，，，
∴在三个区间上至少各有一个根
又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程恰有三个根，
故过点有三条直线与曲线相切．
（Ⅱ）∵当时，，即当时，
∴当时，，
设，则，
设，则．
（1）当时，∵，∴，从而（当且仅当时，等号成立）
∴在上单调递增，
又∵，∴当时，，从而当时，，
∴在上单调递减，又∵，
从而当时，，即
于是当时，．
（2）当时，令，得，∴，
故当时，，
∴在上单调递减，
又∵，∴当时，，
从而当时，，
∴在上单调递增，又∵，
从而当时，，即
于是当时，，
综合得的取值范围为．
解法二：（Ⅰ）当时，，
，
设直线与曲线相切，其切点为，
则曲线在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以，
即，
∵，∴
设，则，令得
当变化时，，变化情况如下表：
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴恰有三个根，
故过点有三条直线与曲线相切．
（Ⅱ）同解法一．
22．解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，
∴的直角坐标方程为．
（Ⅱ）由直线的极坐标方程：，得
所以直线的直角坐标方程为：，又点在直线上，
所以直线的参数方程为：（为参数），
代入的直角坐标方程得，
设对应的参数分别为，
∴，∴．
23．解：（Ⅰ）当时，不等式为
若时，不等式可化为，解得，
若时，不等式可化为，解得，
若时，不等式可化为，解得，
综上所述，关于的不等式的解集为．
（Ⅱ）当时，，
所以当时，等价于，
当时，等价于，解得，
当时，等价于，解得，
所以的取值范围为．
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