2017年5月昆明市高考数学文模拟试卷(含答案和解析)
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资料简介
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年云南省昆明市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.设集合A={x∈Z|x≥2},B={x|0≤x<6},则A∩B=(  )‎ A.{x|2≤x<6} B.{x|0≤x<6} C.{0,1,2,3,4,5} D.{2,3,4,5}‎ ‎2. =(  )‎ A.﹣i B.i C.1 D.﹣1‎ ‎3.一个四棱柱的三视图如图所示,若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上,则这个球的表面积为(  )‎ A.25π B.50π C.100π D.200π ‎4.AQI(Air Quality Index,空气质量指数)是报告每日空气质量的参数,描述了空气清洁或者污染的程度.AQI共分六级,从一级优(0~50),二级良(51~100,),三级轻度污染,四级重度污染,直至无极重度污染,六级严重污染(大于300).下面是昆明市2017年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图,利用该样本估计昆明市2018年4月份质量优的天数(按这个月共30天计算)为(  )‎ A.3 B.4 C.12 D.21‎ ‎5.已知非零向量,满足•=0,||=3,且与+的夹角为,则||=(  )‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A.6 B.3 C.2 D.3‎ ‎6.若tanθ=﹣2,则sin2θ+cos2θ=(  )‎ A. B.﹣ C. D.﹣‎ ‎7.已知F1、F2为双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在C的渐进线上,PF1⊥x轴,若△PF1F2为等腰直角三角形,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. +1 D.‎ ‎8.在△ABC中,已知AB=,AC=,tan∠BAC=﹣3,则BC边上的高等于(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎9.定义n!=1×2×3×…×n,例如1!=1,2!=1×2=2,执行右边的程序框图,若输入ɛ=0.01,则输出的e精确到e的近似值为(  )‎ A.2.69 B.2.70 C.2.71 D.2.72‎ ‎10.我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上,于5世纪末提出了下面的体积计算的原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”是几何体的高,“幂”是截面面积.意思是,若两等高的几何体在同高处截面面积总相等,则这两个几何体的体积相等.现有一旋转体D,它是由抛物线y=x2(x≥0),直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体,利用祖暅原理,以长方体的一半为参照体(如图2所示)则旋转体D的体积是(  )‎ A. B.6π C.8π D.16π ‎11.已知函数f(x)=,若方程f(x)﹣ax=0恰有两个不同的根,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(0,) B.[,) C.(,] D.(﹣∞,0]∪[,+∞)‎ ‎12.设F为抛物线C:y2=8x,曲线y=(k>0)与C交于点A,直线FA恰与曲线y=(k>0)相切于点A,直线FA于C的准线交于点B,则等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎13.已知实数x,y满足,则z=x+y的最大值为  .‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎14.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),A、B是函数y=f(x)图象上相邻的最高点和最低点,若|AB|=2,则f(1)=  .‎ ‎15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=4n,若不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立,则实数λ的取值范围为  .‎ ‎16.若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a,b],那么b﹣a=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+2n+1.‎ ‎(Ⅰ)证明数列{}是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)求数列{}的前n项和.‎ ‎18.某校为了解高一学生周末的“阅读时间”,从高一年级中随机调查了100名学生进行调查,获得了每人的周末“阅读时间”(单位:小时),按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成样本的频率分布直方图如图所示.‎ ‎(Ⅰ)求图中a的值;‎ ‎(Ⅱ)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数;‎ ‎(Ⅲ)在[1,1.5),[1.5,2)这两组中采用分层抽样抽取7人,再从7人中随机抽取2人,求抽取的两人恰好都在一组的概率.‎ ‎19.如图,已知三棱锥P﹣ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,PA=PB,平面PAB⊥平面ABC,D、E、F分别是AB、PB、PC的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:PD⊥平面ABC;‎ ‎(Ⅱ)若M为BC中点,且PM⊥平面EFD,求三棱锥P﹣ABC的体积.‎ ‎20.已知动点M(x,y)满足: +=2,M的轨迹为曲线E.‎ ‎(Ⅰ)求E的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,Q两点,交y轴于R点,若=λ1, =λ2,求证:λ1+λ2为定值.‎ ‎21.已知函数f(x)=(2x2+x)lnx﹣(2a+1)x2﹣(a+1)x+b(a,b∈R).‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求b﹣a的最小值.‎ ‎ ‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为(x﹣2)2+y2=4,直线l的方程为x+y﹣12=0,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)分别写出曲线C与直线l的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)在极坐标中,极角为θ(θ∈(0,))的射线m与曲线C,直线l分别交于A、B两点(A异于极点O),求的最大值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知a,b,c,m,n,p都是实数,且a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1.‎ ‎(Ⅰ)证明|am+bn+cp|≤1;‎ ‎(Ⅱ)若abc≠0,证明++≥1.‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年云南省昆明市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.设集合A={x∈Z|x≥2},B={x|0≤x<6},则A∩B=(  )‎ A.{x|2≤x<6} B.{x|0≤x<6} C.{0,1,2,3,4,5} D.{2,3,4,5}‎ ‎【考点】1E:交集及其运算.‎ ‎【分析】由A与B,求出两集合的交集即可.‎ ‎【解答】解:∵集合A={x∈Z|x≥2},B={x|0≤x<6},‎ ‎∴A∩B={2,3,4,5},‎ 故选:D ‎ ‎ ‎2. =(  )‎ A.﹣i B.i C.1 D.﹣1‎ ‎【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案.‎ ‎【解答】解: =,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.一个四棱柱的三视图如图所示,若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上,则这个球的表面积为(  )‎ A.25π B.50π C.100π D.200π ‎【考点】LR:球内接多面体;LG:球的体积和表面积.‎ ‎【分析】由题意,四棱柱为长方体,其对角线长为=5,可得球的半径为,即可求出这个球的表面积.‎ ‎【解答】解:由题意,四棱柱为长方体,其对角线长为=5,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴球的半径为,‎ ‎∴这个球的表面积为=50π,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.AQI(Air Quality Index,空气质量指数)是报告每日空气质量的参数,描述了空气清洁或者污染的程度.AQI共分六级,从一级优(0~50),二级良(51~100,),三级轻度污染,四级重度污染,直至无极重度污染,六级严重污染(大于300).下面是昆明市2017年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图,利用该样本估计昆明市2018年4月份质量优的天数(按这个月共30天计算)为(  )‎ A.3 B.4 C.12 D.21‎ ‎【考点】BA:茎叶图.‎ ‎【分析】通过读茎叶图求出空气质量是优的概率,从而求出30天空气质量是优的天数即可.‎ ‎【解答】解:由茎叶图10天中有4天空气质量是优,‎ 即空气优的概率是p==,‎ 故30天中有×30=12天是优,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.已知非零向量,满足•=0,||=3,且与+的夹角为,则||=(  )‎ A.6 B.3 C.2 D.3‎ ‎【考点】9V:向量在几何中的应用;9S:数量积表示两个向量的夹角.‎ ‎【分析】利用向量的加法的平行四边形法则,判断四边形的形状,推出结果即可.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解:非零向量,满足•=0,可知两个向量垂直,||=3,且与+的夹角为,‎ 说明以向量,为邻边, +为对角线的平行四边形是正方形,所以则||=3.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.若tanθ=﹣2,则sin2θ+cos2θ=(  )‎ A. B.﹣ C. D.﹣‎ ‎【考点】GI:三角函数的化简求值.‎ ‎【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.‎ ‎【解答】解:sin2θ+cos2θ====﹣,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.已知F1、F2为双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在C的渐进线上,PF1⊥x轴,若△PF1F2为等腰直角三角形,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. +1 D.‎ ‎【考点】KC:双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】利用双曲线的简单性质,通过三角形是等腰直角三角形,列出方程求解即可.‎ ‎【解答】解:F1、F2为双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,‎ 点P在C的渐近线上,PF1⊥x轴,若△PF1F2为等腰直角三角形,‎ 可得:,即:b=2a,可得c2﹣a2=4a2,‎ 即e2=5,e>1,‎ 解得e=,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则C的离心率为.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.在△ABC中,已知AB=,AC=,tan∠BAC=﹣3,则BC边上的高等于(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎【考点】HS:余弦定理的应用;HT:三角形中的几何计算.‎ ‎【分析】求出∠BAC的余弦函数值,然后求解BC的距离,通过求解三角形求解即可.‎ ‎【解答】解:在△ABC中,已知AB=,AC=,tan∠BAC=﹣3,‎ 可得cos∠BAC=﹣=﹣,sin∠BAC=.‎ 由余弦定理可得:BC===3,‎ 设BC边上的高为h,‎ 三角形面积为: =BC•h,‎ h==1.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎9.定义n!=1×2×3×…×n,例如1!=1,2!=1×2=2,执行右边的程序框图,若输入ɛ=0.01,则输出的e精确到e的近似值为(  )‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A.2.69 B.2.70 C.2.71 D.2.72‎ ‎【考点】EF:程序框图.‎ ‎【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的e,n的值,当n=5时满足条件退出循环,输出e的值即可得解.‎ ‎【解答】解:模拟程序的运行,可得 ɛ=0.01,e=1,n=1‎ 执行循环体,e=2,n=2‎ 不满足条件<ɛ,执行循环体,e=2+0.5=2.5,n=3‎ 不满足条件<ɛ,执行循环体,e=2.5+,n=4‎ 不满足条件<ɛ,执行循环体,e=2.5++,n=5‎ 由于≈0.008<ɛ=0.01,满足条件<ɛ,退出循环,输出e的值为2.5++=2.71.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上,于5世纪末提出了下面的体积计算的原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”是几何体的高,“幂”是截面面积.意思是,若两等高的几何体在同高处截面面积总相等,则这两个几何体的体积相等.现有一旋转体D,它是由抛物线y=x2(x≥‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎0),直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体,利用祖暅原理,以长方体的一半为参照体(如图2所示)则旋转体D的体积是(  )‎ A. B.6π C.8π D.16π ‎【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).‎ ‎【分析】由题意,4x=π•22,求出x=π,再求出长方体的一半的体积即可.‎ ‎【解答】解:由题意,4x=π•22,∴x=π,‎ ‎∴旋转体D的体积是=8π,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎11.已知函数f(x)=,若方程f(x)﹣ax=0恰有两个不同的根,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(0,) B.[,) C.(,] D.(﹣∞,0]∪[,+∞)‎ ‎【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程;54:根的存在性及根的个数判断.‎ ‎【分析】由题意,方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,等价于y=f(x)与y=ax有2个交点,又a表示直线y=ax的斜率,求出a的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵方程f(x)﹣ax=0恰有两个不同实数根,‎ ‎∴y=f(x)与y=ax有2个交点,‎ 又∵a表示直线y=ax的斜率,‎ ‎∴x>1时,y′=,‎ 设切点为(x0,y0),k=,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴切线方程为y﹣y0=(x﹣x0),‎ 而切线过原点,∴y0=1,x0=e,k=,‎ ‎∴直线l1的斜率为,‎ 又∵直线l2与y=x+1平行,‎ ‎∴直线l2的斜率为,‎ ‎∴实数a的取值范围是[,)‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.设F为抛物线C:y2=8x,曲线y=(k>0)与C交于点A,直线FA恰与曲线y=(k>0)相切于点A,直线FA于C的准线交于点B,则等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】K8:抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】先根据抛物线的定义求出焦点坐标和准线方程,设A(x0,y0),根据题意可求出A(1,2),继而求出答案.‎ ‎【解答】解:F为抛物线C:y2=8x的焦点,则F(2,0),其准线方程为x=﹣2,‎ 设A(x0,y0)‎ ‎∵y=,‎ ‎∴k=x0y0=2x0‎ ‎∴y′=﹣,‎ ‎∴直线AF的斜率为﹣=﹣‎ ‎∵kAF==,‎ ‎∴﹣=,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得x0=1,‎ ‎∴A(1,2),‎ ‎∴AC=1+2=3,FD=4,‎ ‎∴==,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AB=3,‎ ‎∴=,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎13.已知实数x,y满足,则z=x+y的最大值为 3 .‎ ‎【考点】7C:简单线性规划.‎ ‎【分析】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.‎ ‎【解答】解:由约束条件作出可行域如图,‎ A(0,3),‎ 化目标函数z=x+y为y=﹣x+z,‎ 由图可知,当直线y=﹣x+z过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎14.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),A、B是函数y=f(x)图象上相邻的最高点和最低点,若|AB|=2,则f(1)=  .‎ ‎【考点】HW:三角函数的最值.‎ ‎【分析】由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2求出ω,可得函数的解析式,即可求出f(1).‎ ‎【解答】解:由题意可得=2,∴ω=,‎ ‎∴函数f(x)=sin(x+),‎ ‎∴f(1)=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=4n,若不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立,则实数λ的取值范围为 (﹣∞,10] .‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】8I:数列与函数的综合.‎ ‎【分析】先根据an=4n得到数列{an}是以4为首项,以4为公差的等差数列,再根据等差数列的求和公式得到Sn=2n+2n2,原不等式转化为λ≤2(n+)+2,根据基本不等式即可求出答案.‎ ‎【解答】解:∵数列{an}的前n项和为Sn,且an=4n,‎ 当n=1时,a1=4,‎ ‎∵an﹣an﹣1=4n﹣4(n﹣1)=4,‎ ‎∴数列{an}是以4为首项,以4为公差的等差数列,‎ ‎∴Sn==2n+2n2,‎ ‎∵不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立,‎ ‎∴2n+2n2+8≥λn对任意的n∈N*都成立,‎ 即λ≤2(n+)+2,‎ ‎∵n+≥2=4,当且仅当n=2时取等号,‎ ‎∴λ≤2×4+2=10,‎ 故实数λ的取值范围为(﹣∞,10],‎ 故答案为:(﹣∞,10].‎ ‎ ‎ ‎16.若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a,b],那么b﹣a= 4 .‎ ‎【考点】74:一元二次不等式的解法.‎ ‎【分析】画出函数f(x)=x2﹣3x+4的图象,可知f(x)min=1;分类讨论:a>1时,不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集分为两段区域,不符合题意;‎ 有a≤1<b,再利用f(a)=f(b)=b,解得a,b的值.‎ ‎【解答】解:画出函数f(x)=x2﹣3x+4=(x﹣2)2+1的图象,‎ 可得f(x)min=f(2)=1,‎ 由图象可知:若a>1,则不等式a≤x2﹣3x+4≤‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 b的解集分两段区域,不符合已知条件,‎ 因此a≤1,此时a≤x2﹣3x+4恒成立;‎ 又∵不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为[a,b],‎ ‎∴a≤1<b,f(a)=f(b)=b,可得,‎ 由b2﹣3b+4=b,化为3b2﹣16b+16=0,解得b=或b=4;‎ 当b=时,由a2﹣3a+4﹣=0,解得a=或a=,不符合题意,舍去;‎ ‎∴b=4,此时a=0;‎ ‎∴b﹣a=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+2n+1.‎ ‎(Ⅰ)证明数列{}是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)求数列{}的前n项和.‎ ‎【考点】8H:数列递推式;8E:数列的求和.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据数列的递推公式可得数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得数列{}是首项为2,公比为2的等比数列,再根据求和公式计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵a1=2,an+1=2an+2n+1,‎ ‎∴﹣=﹣=+1﹣=1,‎ ‎∵=1,‎ ‎∴数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得=n,‎ ‎∴=2n,‎ ‎∴数列{}是首项为2,公比为2的等比数列,‎ 故数列{}的前n项和Sn==2n+1﹣2‎ ‎ ‎ ‎18.某校为了解高一学生周末的“阅读时间”,从高一年级中随机调查了100名学生进行调查,获得了每人的周末“阅读时间”(单位:小时),按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成样本的频率分布直方图如图所示.‎ ‎(Ⅰ)求图中a的值;‎ ‎(Ⅱ)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数;‎ ‎(Ⅲ)在[1,1.5),[1.5,2)这两组中采用分层抽样抽取7人,再从7人中随机抽取2人,求抽取的两人恰好都在一组的概率.‎ ‎【考点】B3:分层抽样方法;CB:古典概型及其概率计算公式.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】(Ⅰ)求出高一学生周末“阅读时间”在[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]的概率,即可求图中a的值;‎ ‎(Ⅱ)确定2≤m<2.5,由0.50(m﹣2)=0.5﹣0.47,得m的值,即可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数;‎ ‎(Ⅲ)确定基本事件的个数,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意,高一学生周末“阅读时间”在[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]的概率分别为0.04,0.08,0.20.0.25.0.07,0.04.0.02,‎ 由1﹣(0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02)=0.5a+0.5a,∴a=0.30;‎ ‎(Ⅱ)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时,‎ 因为前5组频率和为0.040.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5,前4组频率和为0.47<0.5,‎ 所以2≤m<2.5,‎ 由0.50(m﹣2)=0.5﹣0.47,得m=2.06;‎ ‎(Ⅲ)在[1,1.5),[1.5,2)这两组中的人分别有15人、20人,采用分层抽样抽取7人,分别为3人、4人,再从7人中随机抽取2人,有=21种,抽取的两人恰好都在一组,有=9种,故所求概率为.‎ ‎ ‎ ‎19.如图,已知三棱锥P﹣ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,PA=PB,平面PAB⊥平面ABC,D、E、F分别是AB、PB、PC的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:PD⊥平面ABC;‎ ‎(Ⅱ)若M为BC中点,且PM⊥平面EFD,求三棱锥P﹣ABC的体积.‎ ‎【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LW:直线与平面垂直的判定.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】(Ⅰ)由PA=PB,D为AB中点,可得PD⊥AB,再由面面垂直的性质可得PD⊥平面ABC;‎ ‎(Ⅱ)设PM交EF于N,连接DM,DN,由线面垂直的性质得到PM⊥DN,由已知可得DN垂直平分PM,故PD=DM,求出DM,进一步求得PD.即三棱锥P﹣ABC的高,然后由三棱锥体积公式求得三棱锥P﹣ABC的体积.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:∵PA=PB,D为AB中点,∴PD⊥AB,‎ 又平面PAB⊥平面ABC,交线为AB,PD⊂平面PAB,‎ ‎∴PD⊥平面ABC;‎ ‎(Ⅱ)解:设PM交EF于N,连接DM,DN,‎ ‎∵PM⊥平面EFD,DN⊂平面DEF,‎ ‎∴PM⊥DN,‎ 又E,F分别是PB,PC的中点,‎ ‎∴N为EF的中点,也是PM的中点,‎ ‎∴DN垂直平分PM,故PD=DM,‎ 又DM为△ABC的中位线,则DM==1,∴PD=1.‎ ‎∵BC⊥AC,则.‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的体积 ‎ ‎ ‎20.已知动点M(x,y)满足: +=2,M的轨迹为曲线E.‎ ‎(Ⅰ)求E的方程;‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(Ⅱ)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,Q两点,交y轴于R点,若=λ1, =λ2,求证:λ1+λ2为定值.‎ ‎【考点】KQ:圆锥曲线的定值问题;J3:轨迹方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知,可得动点N的轨迹是以C(﹣1,0),A(1,0)为焦点的椭圆,根据定义可得,a、c,可得曲线E的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(0,y0),由=λ1,,点P在曲线E上可得…①,同理可得:…②‎ 由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2﹣2y02=0的两个根,λ1+λ2为定值﹣4.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由+=2,可得点M(x,y)到定点A(﹣1,0),B(1,0)的距离等于之和等于2.‎ 且AB,所以动点N的轨迹是以C(﹣1,0),A(1,0)为焦点的椭圆,‎ 且长轴长为2,焦距2c=2,所以,c=1,b=1,‎ 曲线E的方程为:;‎ ‎(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(0,y0),‎ 由=λ1,(x1,y1﹣y0)=λ1(1﹣x1,﹣y1),∴,‎ ‎∵过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,∴,‎ ‎∴…①‎ 同理可得:…②‎ 由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2﹣2y02=0的两个根,‎ ‎∴λ1+λ2为定值﹣4.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=(2x2+x)lnx﹣(2a+1)x2﹣(a+1)x+b(a,b∈R).‎ ‎(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求b﹣a的最小值.‎ ‎【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)当a=1时,f′(x)=(4x+1)(lnx﹣1)=0,得x=e.x∈(0,e)时,f′(x)<0,∈(e,+∞)时,f′(x)>0.即可得函数f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)由题意得f′(x)=(4x+1)(lnx﹣a),(x>0).可得函数f(x)的单调增区间为(ea,+∞),减区间为(0,ea)即f(x)≥0恒成立,b≥e2a+ea.即b﹣a≥e2a+ea﹣a,构造函数g(t)=t2+t﹣lnt,(t>0),g′(t)=.可得g(t)min=g()=.即可得b﹣a的最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=(2x2+x)lnx﹣3x2﹣2x+b(x>0).‎ f′(x)=(4x+1)(lnx﹣1),令f′(x)=0,得x=e.‎ x∈(0,e)时,f′(x)<0,∈(e,+∞)时,f′(x)>0.‎ 函数f(x)的单调增区间为(e,+∞),减区间为(0,e);‎ ‎(Ⅱ)由题意得f′(x)=(4x+1)(lnx﹣a),(x>0).‎ 令f′(x)=0,得x=ea.‎ x∈(0,e a)时,f′(x)<0,∈(ea ,+∞)时,f′(x)>0.‎ 函数f(x)的单调增区间为(ea,+∞),减区间为(0,ea)‎ ‎∴f(x)min=f(ea)=﹣e2a﹣ea+b,‎ ‎∵f(x)≥0恒成立,∴f(ea)=﹣e2a﹣ea+b≥0,则b≥e2a+ea.‎ ‎∴b﹣a≥e2a+ea﹣a 令ea=t,(t>0),∴e2a+ea﹣a=t2+t﹣lnt,‎ 设g(t)=t2+t﹣lnt,(t>0),g′(t)=.‎ 当t∈(0,)时,g′(t)<0,当t时,g′(t)>0.‎ ‎∴g(t)在(0,)上递减,在(,+∞)递增.‎ ‎∴g(t)min=g()=.‎ f(x)≥0恒成立,b﹣a的最小值为.‎ ‎ ‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为(x﹣2)2+y2=4,直线l的方程为x+y﹣12=0,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)分别写出曲线C与直线l的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)在极坐标中,极角为θ(θ∈(0,))的射线m与曲线C,直线l分别交于A、B两点(A异于极点O),求的最大值.‎ ‎【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;H9:余弦函数的定义域和值域.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用直角坐标方程与极坐标方程的转化方法,分别写出曲线C与直线l的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)由题意|OA|=4cosθ,|OB|=,利用三角函数知识,可得结论.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)曲线C的方程为(x﹣2)2+y2=4,即x2+y2=4x,极坐标方程为ρ=4cosθ;‎ 直线l的方程为x+y﹣12=0,极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣12=0;‎ ‎(Ⅱ)由题意|OA|=4cosθ,|OB|=,‎ ‎∴==+sin(2θ+),‎ ‎∵θ∈(0,),∴2θ+∈(,π),‎ ‎∴sin(2θ+)∈(﹣1],‎ ‎∴的最大值为,此时.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知a,b,c,m,n,p都是实数,且a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1.‎ ‎(Ⅰ)证明|am+bn+cp|≤1;‎ ‎(Ⅱ)若abc≠0,证明++≥1.‎ ‎【考点】R6:不等式的证明.‎ ‎【分析】利用柯西不等式,即可证明结论.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】证明:(Ⅰ)由柯西不等式,可得(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)≥(am+bn+cp)2,‎ ‎∵a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1,‎ ‎∴1≥(am+bn+cp)2,‎ ‎∴|am+bn+cp|≤1;‎ ‎(Ⅱ)由柯西不等式,可得++=(++)(a2+b2+c2)≥(m2+n2+p2)2=1,‎ ‎∴++≥1.‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年5月22日 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

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