2017年成都市九校联考高考数学四模试卷（理科）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年四川省成都市九校联考高考数学四模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}‎ ‎2．已知，则复数z+5的实部与虚部的和为（　　）‎ A．10 B．﹣10 C．0 D．﹣5‎ ‎3．如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎4．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：‎ ‎ 广告费x ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 销售额y ‎29‎ ‎41‎ ‎50‎ ‎ 59‎ ‎ 71‎ 由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（　　）‎ A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5．设a=20.3，b=0.32，c=logx（x2+0.3）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a ‎6．哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为（　　）‎ A．40 B．60 C．120 D．240‎ ‎7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（　　）‎ A． B．27π C．27π D．‎ ‎8．设等差数列{an}满足3a8=5a15，且，Sn为其前n项和，则数列{Sn}的最大项为（　　）‎ A． B．S24 C．S25 D．S26‎ ‎9．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则+的最小值为（　　）‎ A．2+ B．5+2 C．8+ D．2‎ ‎10．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）﹣（A＞0，0＜φ＜）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x=对称，若对于任意的x∈[0，]，都有m2﹣3m≤f（x），则实数m的取值范围为（　　）‎ A．[1，] B．[1，2] C．[，2] D．[，]‎ ‎11．如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2﹣4x﹣12=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 FAB的周长的取值范围是（　　）‎ A．（6，10） B．（8，12） C．[6，8] D．[8，12]‎ ‎12．若关于x的方程（x﹣2）2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|（e为自然对数的底数）有且仅有6个不等的实数解，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（e，+∞） C．（1，e） D．（1，）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.‎ ‎13．已知n=（2x+1）dx，则（﹣n的展开式中x2的系数为　　．‎ ‎14．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为　　．‎ ‎15．在直角三角形△ABC中，，，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得，则=　　．‎ ‎16．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，则f（n）=（n∈N*）的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．‎ ‎（Ⅰ） 求∠ACP；‎ ‎（Ⅱ） 若△APB的面积是，求sin∠BAP．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎18．学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：‎ 古文迷 非古文迷 合计 男生 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女生 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；‎ ‎（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．‎ 参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．‎ 参考数据：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.321‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；‎ ‎（Ⅱ）若AD=1，AB=，求二面角B﹣AD﹣E的大小．‎ ‎20．在平面直角坐标系中，直线不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点A，B．‎ ‎（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．已知函数f（x）=lnx+．‎ ‎（Ⅰ） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ） 证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（a为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．‎ ‎（Ⅰ） 若f（1）＜3，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ） 若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年四川省成都市九校联考高考数学四模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}‎ ‎【考点】1E：交集及其运算．‎ ‎【分析】解不等式求出集合A，求函数定义域得出B，再根据定义写出A∩B．‎ ‎【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，‎ B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，‎ 则A∩B={x|﹣1＜x＜2}．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知，则复数z+5的实部与虚部的和为（　　）‎ A．10 B．﹣10 C．0 D．﹣5‎ ‎【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义、共轭复数的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：，∴=（1+2i）（2+i）=5i，可得z=﹣5i 则复数z+5=5﹣5i的实部与虚部的和为：5﹣5=0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【考点】EF：程序框图．‎ ‎【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=8时，不满足条件a≠b，输出a的值为8，即可得解．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 a=16，b=24‎ 满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=24﹣16=8，‎ 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=16﹣8=8，‎ 不满足条件a≠b，输出a的值为8．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：‎ ‎ 广告费x ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 销售额y ‎29‎ ‎41‎ ‎50‎ ‎ 59‎ ‎ 71‎ 由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（　　）‎ A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2‎ ‎【考点】BK：线性回归方程．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】求出数据中心，代入回归方程求出，再将x=10代入回归方程得出答案．‎ ‎【解答】解：由题意， =4， =50．‎ ‎∴50=4×10.2+，解得=9.2．∴回归方程为=10.2x+9.2．‎ ‎∴当x=10时， =10.2×10+9.2=111.2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．设a=20.3，b=0.32，c=logx（x2+0.3）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a ‎【考点】4C：指数函数单调性的应用．‎ ‎【分析】利用指数函数y=ax和对数函数的单调性，比较大小 ‎【解答】解：∵a=20.3＜21=2且a=20.3＞20=1，‎ ‎∴1＜a＜2，‎ 又∵b=0.32＜0.30=1，‎ ‎∵x＞1，∴c=logx（x2+0.3）＞logxx2=2，‎ ‎∴c＞a＞b．‎ 故选B ‎　‎ ‎6．哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为（　　）‎ A．40 B．60 C．120 D．240‎ ‎【考点】D8：排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】本题是一个计数问题，由题意可知，可分两步完成计数，先对四名大学生分组，分法有种，然后再排到5个部门的两个部门中，排列方法有A52，计算此两数的乘积即可得到不同的安排方案种数，再选出正确选项 ‎【解答】解：此问题可分为两步求解，第一步将四名大学生分为两组，由于分法为2，2，考虑到重复一半，故分组方案应为种，‎ 第二步将此两组大学生分到5个部门中的两个部门中，不同的安排方式有A52，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故不同的安排方案有A52=60种，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（　　）‎ A． B．27π C．27π D．‎ ‎【考点】L!：由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，从而求得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，‎ 其底面是边长为3的正方形，且高为3，‎ 其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，‎ 所以外接球半径R满足：2R==，‎ 所以外接球的表面积为S=4πR2=27π．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．设等差数列{an}满足3a8=5a15，且，Sn为其前n项和，则数列{Sn}的最大项为（　　）‎ A． B．S24 C．S25 D．S26‎ ‎【考点】85：等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】设等差数列{an}的公差为d，由3a8=5a15‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，利用通项公式化为2a1+49d=0，由，可得d＜0，Sn=na1+d=（n﹣25）2﹣d．利用二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵3a8=5a15，∴3（a1+7d）=5（a1+14d），化为2a1+49d=0，‎ ‎∵，∴d＜0，∴等差数列{an}单调递减，‎ Sn=na1+d=+d=（n﹣25）2﹣d．‎ ‎∴当n=25时，数列{Sn}取得最大值，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则+的最小值为（　　）‎ A．2+ B．5+2 C．8+ D．2‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．‎ ‎【分析】画出可行域，利用目标函数去最小值得到a，b的等式，利用基本不等式求解+的最小值．‎ ‎【解答】解：约束条件对应的 区域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过C时取最小值为2，‎ 所以a+b=2，‎ 则+=（+）（a+b）=（4+）‎ ‎≥2+=2+；‎ 当且仅当a=b，并且a+b=2时等号成立；‎ 故选A．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）﹣（A＞0，0＜φ＜）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x=对称，若对于任意的x∈[0，]，都有m2﹣3m≤f（x），则实数m的取值范围为（　　）‎ A．[1，] B．[1，2] C．[，2] D．[，]‎ ‎【考点】H2：正弦函数的图象．‎ ‎【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）+B的图象和性质，正弦函数的定义域和值域，求得实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=Asin（2x+φ）﹣（A＞0，0＜φ＜）的图象在y轴上的截距为1，‎ ‎∴Asinφ﹣=1，即Asinφ=．‎ ‎∵函数f（x）=Asin（2x+φ）﹣的图象关于直线x=对称，∴2•+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，‎ ‎∴A•sin=，∴A=，∴f（x）=sin（2x+）﹣．‎ 对于任意的x∈[0，]，都有m2﹣3m≤f（x），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]， sin（2x+）∈[﹣，]，f（x）∈[﹣2，﹣1]，‎ ‎∴m2﹣3m≤﹣2，求得1≤m≤2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2﹣4x﹣12=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（　　）‎ A．（6，10） B．（8，12） C．[6，8] D．[8，12]‎ ‎【考点】K8：抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线定义可得|AF|=xA+2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+（xB﹣xA）+4=6+xB，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），‎ 由抛物线定义可得|AF|=xA+2，‎ 圆（x﹣2）2+y2=16的圆心为（2，0），半径为4，‎ ‎∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+（xB﹣xA）+4=6+xB，‎ 由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16可得交点的横坐标为2，‎ ‎∴xB∈（2，6）‎ ‎∴6+xB∈（8，12）‎ 故选B．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎12．若关于x的方程（x﹣2）2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|（e为自然对数的底数）有且仅有6个不等的实数解，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（e，+∞） C．（1，e） D．（1，）‎ ‎【考点】54：根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】令g（x）=|x﹣2|ex，则方程有6解等价于g2（x）﹣2ag（x）+a=0有6解，判断g（x）的单调性得出g（x）=t的根的分布情况，得出方程t2﹣2at+a=0的根的分布情况，利用二次函数的性质列不等式组解出a的范围．‎ ‎【解答】解：∵（x﹣2）2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|，‎ ‎∴（x﹣2）2e2x﹣2a|x﹣2|ex+a=0，‎ 令g（x）=|x﹣2|ex=，则g′（x）=，‎ ‎∴当x≥2或x＜1时，g′（x）＞0，当1＜x＜2时，g′（x）＜0，‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，‎ ‎∴当x=1时，g（x）取得极大值t（1）=e，‎ 又x→﹣∞时，g（x）→0，g（2）=0，x→+∞时，g（x）→+∞，‎ 作出g（x）的函数图象如图所示：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 令g（x）=t，‎ 由图象可知：当0＜t＜e时，方程g（x）=t＜有3解；当t=0或t＞e时，方程g（x）=t有1解；‎ 当t=e时，方程g（x）=t有2解；当t＜0时，方程g（x）=t无解．‎ ‎∵方程（x﹣2）2e2x﹣2a|x﹣2|ex+a=0有6解，‎ 即g2（x）﹣2ag（x）+a=0有6解，‎ ‎∴关于t的方程t2﹣2at+a=0在（0，e）上有2解，‎ ‎∴，解得1＜a＜．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.‎ ‎13．已知n=（2x+1）dx，则（﹣n的展开式中x2的系数为　﹣18　．‎ ‎【考点】DB：二项式系数的性质．‎ ‎【分析】利用定积分先求出n=6，再利用二项式定理通项公式求出Tr+1=，由此能求出（﹣n的展开式中x2的系数．‎ ‎【解答】解：n=（2x+1）dx=（x2+x）|=6，‎ ‎∴（﹣n=（﹣6，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 Tr+1==（36﹣r）（﹣1）r，‎ 令=2，得r=5，‎ ‎∴（﹣n的展开式中x2的系数为：（36﹣5）（﹣1）5=﹣18．‎ 故答案为：﹣18．‎ ‎　‎ ‎14．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为　　．‎ ‎【考点】KC：双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设双曲线方程，由题意可得丨AB丨==2×2a，求得b2=2a2，根据双曲线的离心率公式e==，即可求得C的离心率．‎ ‎【解答】解：设双曲线方程：（a＞0，b＞0），‎ 由题意可知，将x=c代入，解得：y=±，‎ 则丨AB丨=，‎ 由丨AB丨=2×2a，‎ 则b2=2a2，‎ ‎∴双曲线离心率e===，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．在直角三角形△ABC中，，，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得，则=　6　．‎ ‎【考点】9V：向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 据题意，可分别以边CB，CA所在直线为x轴，y轴，建立一平面直角坐标系，得到A（0，3），并设M（x，y），D（x′，y′），B（b，0），这样根据条件即可得到，即得到，进行数量积的坐标运算即可求出的值．‎ ‎【解答】解：根据题意，分别以CB，CA为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：‎ A（0，3），设M（x，y），B（b，0），D（x′，y′）；‎ ‎∴由得：‎ ‎3（x′﹣x，y′﹣y）=（b﹣x，﹣y）+2（﹣x，3﹣y）；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎16．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，则f（n）=（n∈N*）的最小值为　　．‎ ‎【考点】8E：数列的求和．‎ ‎【分析】对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1=an+a1，则﹣an=2，利用等差数列的求和公式可得Sn．f（n）===n+1+﹣1，令g（x）=x+（x≥1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．‎ ‎【解答】解：∵对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1=an+a1，则﹣an=2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴数列{an}是等差数列，公差为2．‎ ‎∴Sn=2n+=n+n2．‎ 则f（n）===n+1+﹣1，‎ 令g（x）=x+（x≥1），则g′（x）=1﹣=，可得x∈[1，时，函数g（x）单调递减；x∈时，函数g（x）单调递增．‎ 又f（7）=14+，f（8）=14+．‎ ‎∴f（7）＜f（8）．‎ ‎∴f（n）=（n∈N*）的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．‎ ‎（Ⅰ） 求∠ACP；‎ ‎（Ⅱ） 若△APB的面积是，求sin∠BAP．‎ ‎【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等边三角形，即可得解．‎ ‎（Ⅱ） 法1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面积公式可求PB=3．进而利用余弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP=的值．‎ 法2：作AD⊥BC，垂足为D，可求：，利用三角形面积公式可求PB，进而可求BD，AB，利用三角函数的定义可求 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，．利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）的值．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（Ⅰ） 在△APC中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，‎ 由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，…‎ 所以22=AP2+（4﹣AP）2﹣2•AP•（4﹣AP）•cos60°，‎ 整理得AP2﹣4AP+4=0，…‎ 解得AP=2．…‎ 所以AC=2．…‎ 所以△APC是等边三角形．…‎ 所以∠ACP=60°．…‎ ‎（Ⅱ） 法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°．…‎ 因为△APB的面积是，所以．…‎ 所以PB=3．…‎ 在△APB中，AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，‎ 所以．…‎ 在△APB中，由正弦定理得，…‎ 所以sin∠BAP==．…‎ 法2：作AD⊥BC，垂足为D，‎ 因为△APC是边长为2的等边三角形，‎ 所以．…‎ 因为△APB的面积是，所以．…‎ 所以PB=3．…‎ 所以BD=4．‎ 在Rt△ADB中，，…‎ 所以，．‎ 所以sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎==．…‎ ‎　‎ ‎18．学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：‎ 古文迷 非古文迷 合计 男生 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女生 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；‎ ‎（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．‎ 参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．‎ 参考数据：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.321‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【考点】BK：线性回归方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；‎ ‎（Ⅱ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，即可得出结论；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅲ）ξ的所有取值为1，2，3．求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列与数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由列联表得K2=≈0.6494＜0.708，‎ 所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．…‎ ‎（Ⅱ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为=3人，“非古文迷”有=2人．‎ 即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人…‎ ‎（Ⅲ）因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．‎ P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．…‎ 所以随机变量ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 于是Eξ=1×+2×+3×=．…‎ ‎　‎ ‎19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；‎ ‎（Ⅱ）若AD=1，AB=，求二面角B﹣AD﹣E的大小．‎ ‎【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 只需证明DC⊥AB，由AD⊥AB，DC∩AD=D，得AB⊥平面ADC ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ） 易得∴，建立空间直角坐标D﹣xyz，则D（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），E（，，0），A（），‎ 求出平面DAB的法向量，平面ADE的法向量，由cos，求得二面角B﹣AD﹣E的大小为600．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，‎ 又DB⊥DC，所以DC⊥平面ABD…‎ 因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB…‎ 又AD⊥AB，DC∩AD=D，所以AB⊥平面ADC．…‎ ‎（Ⅱ）∵AB=，AD=1．∴DB=‎ 依题意△ABD∽△BDC，‎ 所以，即．∴ …‎ 如图所示，建立空间直角坐标D﹣xyz，则D（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），‎ E（，，0），A（），‎ ‎，）．…‎ 由（Ⅰ）知平面DAB的法向量．…‎ 设平面ADE的法向量 由，令x=，可取）．…‎ 所以cos=﹣．…‎ 由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角，‎ 所以二面角B﹣AD﹣E的大小为600．…‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎20．在平面直角坐标系中，直线不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点A，B．‎ ‎（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；‎ ‎（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由直线不过原点，知m≠0，将与联立，得：，由此利用根的判别式，能求出实数m的范围组成的集合M．‎ ‎（2）假设存在定点P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，则kPA+kPB=0，令，得：，由此利用韦达定理能求出所有定点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）因为直线不过原点，所以m≠0，‎ 将与联立，消去y得：，‎ 因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，‎ 所以△=8m2﹣16（m2﹣4）＞0，解得，‎ 所以实数m的范围组成的集合M是；‎ ‎（2）假设存在定点P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即kPA+kPB=0，令，‎ 所以，‎ 整理得：，‎ 由（1）知x1，x2是的两个根，‎ 所以，‎ 代入（*）化简得，‎ 由题意解得或 所以定点P的坐标为或，‎ 经检验，满足题意，‎ 所以存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，‎ 坐标为或．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=lnx+．‎ ‎（Ⅰ） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ） 证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．‎ ‎【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；‎ 法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；‎ ‎（Ⅱ）令h（x）=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．‎ 由，得．…‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．‎ 所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…‎ 当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…‎ 当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…‎ 所以实数a的取值范围为．…‎ 法2：函数的定义域为（0，+∞）．‎ 由，得a=﹣xlnx．…‎ 令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．‎ 当时，g'（x）＞0； 当时，g'（x）＜0．‎ 所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…‎ 故时，函数g（x）取得最大值．…‎ 因而函数有零点，则．…‎ 所以实数a的取值范围为．…‎ ‎（Ⅱ）证明：令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．‎ 当时，h'（x）＜0；当时，h'（x）＞0．‎ 所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．‎ 当时，．…‎ 于是，当a≥时，．①…‎ 令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．‎ 当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．‎ 所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．‎ 当x=1时，．…‎ 于是，当x＞0时，．②…‎ 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故当x＞0，时，xlnx+a＞xe﹣x．…‎ 因为b＞1，所以lnb＞0．‎ 所以lnb•ln（lnb）+a＞lnb•e﹣lnb．…‎ 所以，即．…‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（a为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．‎ ‎【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）利用参数的几何意义，即可求点M到A，B两点的距离之积．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C：（a为参数），化为普通方程为：，‎ 由，得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，所以直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0．‎ ‎（2）直线l1的参数方程为（t为参数），代入，化简得：，得t1t2=﹣1，∴|MA|•|MB|=|t1t2|=1．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．‎ ‎（Ⅰ） 若f（1）＜3，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ） 若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．‎ ‎【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．‎ ‎①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，‎ 解得，所以； ‎ ‎②当时，得a+（1﹣2a）＜3，‎ 解得a＞﹣2，所以； ‎ ‎③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，‎ 解得，所以； ‎ 综上所述，实数a的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ） 因为a≥1，x∈R，‎ 所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年5月22日 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费