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试题类型：
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
2 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
3 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 |1A x x， | 3 1xBx，则
A. |0A B x x B. AB
C. |1A B x x D. AB
2. 如图，正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色
部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点
取自黑色部分的概率是
A. 1
4 B. 8
C. 1
2 D. 4
3. 设有下面四个命题
1p ：若复数 z 满足 1
z ，则 z ；
2p ：若复数 满足 2z ，则 ；
3p ：若复数 12,zz满足 12zz ，则 12zz ；
4p ：若复数 满足 z ，则 z ； 其中的真命题为
A. 13,pp B. 14,pp C. 23,pp D. 24,pp
4. 记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若 4524aa ， 6 48S ，则 na 的公差为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
5. 函数 fx在 , 单调递减，且为奇函数，若 11f ，则 满足 1 2 1fx
的 x 的取值范围是
A. 2,2 B. 1,1 C. 0,4 D. 1,3
6． 6
2
111xx
展开式中 2x 的系数为
A. 15 B. 20 C. 30 D. 35
7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，
正方形的边长为 2 ，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面有若干个是梯形，这些梯
形的面积之和为
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
8． 右面程序框图是为了求出满足3 2 1000nn 的最小偶数 n ，那么在 和
两个空白框中，可以分别填入
A. 1000A 和 1nn
B. 和 2nn
C. 1000A 和 D. 1000A 和 2nn
9. 已知曲线 1 : cosC y x ， 2
2: sin 2 3C y x
，则下面结论正确的是
A. 把 1C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
6
个单位长度，得到曲线 2C
B. 把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
12
个单位长度，得到曲线
C. 把 上各点的横坐标伸长到原来的 1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线
D. 把 上各点的横坐标伸长到原来的 1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线
10. 已知 F 为抛物线 2:4C y x 的焦点，过 F 作两条相互垂直的直线 12,ll，直线 1l 与
C 交于 ,AB两点，直线 2l 与C 交于 ,DE两点，则 AB DE 的最小值为
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
11. 设 ,,x y z 为正数，且 2 3 5x y z，则
A. 2 3 5x y z B. 5 2 3z x y C. 3 5 2y z x D. 3 2 5y x z
12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数
学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码
为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16, ，其中第一项为
02 ，接下来的两项是 012 ,2 ，在接下来的三项是 0 1 22 , 2 , 2 ，依次类推，求满足如下
条件的最小整数 : 100NN 且为数列的前 N 项和为 2 的整数幂，那么该款软件的
激活码是
A. 440 B. 330 C. 220 D. 110
二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 已知向量 ,ab的夹角为60 ， 2, 1ab， 2ab_________。 14. 设 ,xy满足约束条件
2 1,
2 1,
0,
xy
xy
xy
，则 32z x y的最小值为_________。
15. 已知双曲线
22
22: 1 0, 0xyC a bab 的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径
作圆 A，圆 A与双曲线C 的一条渐近线交于 ,MN两点，若 60MAN，则 C 的
离心率为_________。
16. 如图，图形纸片的圆心为O，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形 ABC 的中
心为O， ,,D E F 为圆O 上的点， ,,DBC ECA FAB 分别是以 ,,BC CA AB 为底边
的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 ,,BC CA AB 为折痕折起 ,DBC ECA，
FAB ，使得 ,,D E F 重合，得到三棱锥，当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体
积（单位： 3cm ）的最大值为_________。
三. 解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题
为必考题。每个试题考生必须作答。第 22、23 题为选做题，考生根据要求作
答。
（一） 必考题：60 分。
17. （12 分）
ABC 的内角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc，已知 ABC 的面积为
2
3sin
a
A
。
（1） 求sin sinBC；
（2） 若6cos cos 1BC ， 3a ，求 ABC 的周长。
18. (12 分)
如图，在四棱锥 P ABCD 中， //AB CD ，且 90BAP CDP 。
（1） 证明：平面 PAB 平面 PAD ；
（2） 若 PA PD AB DC ， 90APD，求二面角 A PB C的余弦值。
D
F
O C
A
B
E
19. （12 分）
为了监控某个零件单位一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上
随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ），根据长期生产经验，可以认为
这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2,N 。
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
3 , 3 之外的零件数，求 1PX 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就
认为这条生产线在这一天的生产过程出现了异常情况，需对当天的生产过程进行
检查。
（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得
16
1
1 9.9716 i
i
xx
， 16 162 22
11
1116 0.2216 16ii
ii
s x x x x
，
其中 ix 为抽取的第i 个零件的尺寸， 1,2, ,16i 。
用样本平均数 x 作为 的估计值 ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ，利
用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 3 , 3 之外的
数据，用剩下的数据估计 和 （精确到0.01。
附：若随机变量 Z 服从正态分布 2,N ，则
3 3 0.9974PZ ， 160.9974 0.9592 ， 0.008 0.09 。
20. （12 分）
已知椭圆
22
22: 1 0xyC a bab ，四点 1 2 3
31,1 , 0,1 , 1, ,2P P P
BA
D C
P4
31, 2P
中恰有三点在椭圆C 上。
（1） 求C 的方程；
（2） 设直线l 不经过 2P 点且与C 相交于 ,AB两点，若直线 2PA与直线 2PB
的斜率的和为 1 ，证明：l 过定点。
21. （12 分）
已知函数 2 2xxf x ae a e x 。
（1） 讨论 fx的单调性；
（2） 若 fx有两个零点，求 a 的取值范围。
（二） 选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一
题计分。
（23）[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直线坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 3cos ,
sin ,
x
y
（ 为参数）。直线l 的参
数方程为 4
1
x a t
yt
（t 为参数）。
（1）若 1a ，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l 距离的最大值为 17 ，求 a 。
23. [选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 2 4f x x ax ， 11g x x x 。
（1）当 1a 时，求不等式 f x g x 的解集；
（2）若不等式 的解集包含 1,1 ，求 a 的取值范围。
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