苏科新版八年级下册《平行四边形》单元测试卷含解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 苏科新版八年级数学下册《平行四边形》2015年单元测试卷 一、选择题 ‎1．已知平行四边形ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长为( )‎ A．4 B．12 C．24 D．28‎ ‎2．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠1=( )‎ A．40° B．50° C．60° D．80°‎ ‎3．顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是( )‎ A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 ‎4．如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是( )‎ A．6 B．8 C．9 D．10‎ ‎5．下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为( )‎ ‎①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD．‎ A．①③ B．②③ C．②④ D．①②③‎ ‎6．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH中，正确的是( )‎ A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④‎ ‎7．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是( )‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DF C．四边形AECD是等腰梯形 D．∠AEB=∠ADC ‎8．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )‎ A．AB=CD，AD=BC B．AB=CD，AB∥CD C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC ‎9．如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为( )‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎10．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为( )‎ A．3 B． C．5 D．‎ 二、填空题 ‎11．直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是__________．‎ ‎12．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2=__________．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎13．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是__________．‎ ‎14．矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们具有很多共性，如：__________．（填一条即可）‎ ‎15．▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB=__________．‎ ‎16．如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG=__________．‎ 三、解答题 ‎17．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．‎ ‎（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=__________度；‎ ‎（2）求证：NM=NP；‎ ‎（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎18．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．‎ ‎19．如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC，点D为BC的中点．‎ ‎（1）用圆规和没有刻度的直尺作图，并保留作图痕迹：‎ ‎①过点B作AC的平行线BP；‎ ‎②过点D作BP的垂线，分别交AC，BP，BQ于点E，F，G．‎ ‎（2）在（1）所作的图中，连接BE，CF．求证：四边形BFCE是平行四边形．‎ ‎20．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．‎ ‎（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；‎ ‎（2）填空：①当AM的值为__________时，四边形AMDN是矩形；‎ ‎ ②当AM的值为__________时，四边形AMDN是菱形．‎ ‎21．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD分别与AE、AF相交于G、H．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）在图中找出与△ABE相似的三角形，并说明理由；‎ ‎（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．‎ ‎22．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．‎ 求证：四边形OCED是菱形．‎ ‎23．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；‎ ‎（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．‎ ‎（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：‎ 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．‎ ‎24．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作平行四边形AGDB交CB的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：DE∥BF；‎ ‎（2）若∠G=90，求证：四边形DEBF是菱形．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 苏科新版八年级数学下册《平行四边形》2015年单元测试卷 一、选择题 ‎1．已知平行四边形ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长为( )‎ A．4 B．12 C．24 D．28‎ ‎【考点】平行四边形的性质． ‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，根据2（AB+BC）=32，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AD=BC，‎ ‎∵平行四边形ABCD的周长是32，‎ ‎∴2（AB+BC）=32，‎ ‎∴BC=12．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．‎ ‎2．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠1=( )‎ A．40° B．50° C．60° D．80°‎ ‎【考点】平行四边形的性质． ‎ ‎【分析】根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∠1的度数即可．‎ ‎【解答】解：∵AD∥BC，∠B=80°，‎ ‎∴∠BAD=180°﹣∠B=100°．‎ ‎∵AE平分∠BAD ‎∴∠DAE=∠BAD=50°．‎ ‎∴∠AEB=∠DAE=50°‎ ‎∵CF∥AE ‎∴∠1=∠AEB=50°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题主要考查平行四边形的性质和角平分线的定义，属于基础题型．‎ ‎3．顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是( )‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 ‎【考点】中点四边形． ‎ ‎【分析】三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．需注意新四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状．‎ ‎【解答】解：如图，连接AC、BD．‎ 在△ABD中，‎ ‎∵AH=HD，AE=EB，‎ ‎∴EH=BD，‎ 同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，‎ 又∵在矩形ABCD中，AC=BD，‎ ‎∴EH=HG=GF=FE，‎ ‎∴四边形EFGH为菱形．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．‎ ‎4．如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是( )‎ A．6 B．8 C．9 D．10‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质． ‎ ‎【专题】压轴题；转化思想．‎ ‎【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质可知，△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8．‎ ‎【解答】解：根据垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等知，EC=AE；‎ 根据在平行四边形ABCD中有BC=AD，AB=CD，‎ ‎∴△CDE的周长等于CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题结合线段垂直平分线的性质考查了平行四边形的性质，利用中垂线将已知转化是解题的关键．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5．下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为( )‎ ‎①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD．‎ A．①③ B．②③ C．②④ D．①②③‎ ‎【考点】正方形的判定． ‎ ‎【分析】直接利用正方形的判定方法，有一个角是90°的菱形是正方形，以及利用对角线相等的菱形是正方形进而得出即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴当∠BAD=90°时，菱形ABCD是正方形，故②正确；‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴当AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故④正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了正方形的判定，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．‎ ‎6．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH中，正确的是( )‎ A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④‎ ‎【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质． ‎ ‎【分析】由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°；在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，则可证得△AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得△AKD≌△AHC，则可证得AH+CH=DH；易证得△OAD∽△AHD，由相似三角形的对应边成比例，即可得AD2=OD•DH．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=BC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AB=BC=AC，‎ 即△ABC是等边三角形，‎ 同理：△ADC是等边三角形 ‎∴∠B=∠EAC=60°，‎ 在△ABF和△CAE中，‎ ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△ABF≌△CAE（SAS）；‎ 故①正确；‎ ‎∴∠BAF=∠ACE，‎ ‎∵∠AEH=∠B+∠BCE，‎ ‎∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；‎ 故②正确；‎ 在HD上截取HK=AH，连接AK，‎ ‎∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，‎ ‎∴点A，H，C，D四点共圆，‎ ‎∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH，‎ ‎∴△AHK是等边三角形，‎ ‎∴AK=AH，∠AKH=60°，‎ ‎∴∠AKD=∠AHC=120°，‎ 在△AKD和△AHC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AKD≌△AHC（AAS），‎ ‎∴CH=DK，‎ ‎∴DH=HK+DK=AH+CH；‎ 故③正确；‎ ‎∵∠OAD=∠AHD=60°，∠ODA=∠ADH，‎ ‎∴△OAD∽△AHD，‎ ‎∴AD：DH=OD：AD，‎ ‎∴AD2=OD•DH．‎ 故④正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎7．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是( )‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DF C．四边形AECD是等腰梯形 D．∠AEB=∠ADC ‎【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． ‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．‎ ‎【解答】解：A、∵AD∥BC ‎∴△AFD∽△EFB ‎∴===‎ 故S△AFD=4S△EFB；‎ B、由A中的相似比可知，BF=DF，正确．‎ C、由∠AEC=∠DCE可知正确．‎ D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．‎ ‎8．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )‎ A．AB=CD，AD=BC B．AB=CD，AB∥CD C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC ‎【考点】平行四边形的判定． ‎ ‎【分析】A、B、D，都能判定是平行四边形，只有C不能，因为等腰梯形也满足这样的条件，但不是平行四边形．‎ ‎【解答】解：根据平行四边形的判定：A、B、D可判定为平行四边形，而C不具备平行四边形的条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．‎ ‎9．如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为( )‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质． ‎ ‎【分析】在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．EG的长就是EP+FP的最小值，据此即可求解．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．‎ ‎∵AE=DG，且AE∥DG，‎ ‎∴四边形ADGE是平行四边形，‎ ‎∴EG=AD=4．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱形的对称轴是关键．‎ ‎10．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为( )‎ A．3 B． C．5 D．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）． ‎ ‎【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．‎ ‎【解答】解：设ED=x，则AE=6﹣x，‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠EDB=∠DBC；‎ 由题意得：∠EBD=∠DBC，‎ ‎∴∠EDB=∠EBD，‎ ‎∴EB=ED=x；‎ 由勾股定理得：‎ BE2=AB2+AE2，‎ 即x2=9+（6﹣x）2，‎ 解得：x=3.75，‎ ‎∴ED=3.75‎ 故选：B．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．‎ 二、填空题 ‎11．直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是．‎ ‎【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理． ‎ ‎【分析】根据勾股定理求出斜边，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半计算即可．‎ ‎【解答】解：∵直角三角形中，两直角边长分别为12和5，‎ ‎∴斜边==13，‎ 则斜边中线长是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的是勾股定理的应用和直角三角形的性质的运用，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．‎ ‎12．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2=115°．‎ ‎【考点】平行线的性质． ‎ ‎【分析】将各顶点标上字母，根据平行线的性质可得∠2=∠DEG=∠1+∠FEG，从而可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°．‎ 故答案为：115°．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等．‎ ‎13．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是4．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】菱形的性质． ‎ ‎【分析】在Rt△AOD中求出AD的长，再由菱形的四边形等，可得菱形ABCD的周长．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AO=AC=3，DO=BD=2，AC⊥BD，‎ 在Rt△AOD中，AD==，‎ ‎∴菱形ABCD的周长为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．‎ ‎14．矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们具有很多共性，如：对角线相互平分．（填一条即可）‎ ‎【考点】正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质． ‎ ‎【专题】压轴题；开放型．‎ ‎【分析】在矩形、菱形、正方形这种特殊的四边形中，它们都平行四边形，所以平行四边形所有的性质都是它们的共性．‎ ‎【解答】解：∵矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，‎ ‎∴它们都具有平行四边形的性质，‎ 所以填两组对边分别平行、或两组对边分别相等、或对角线相互平分等．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．‎ ‎15．▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB=9．‎ ‎【考点】平行四边形的性质． ‎ ‎【分析】如图：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又由△OAB的周长比△OBC的周长大3，可得AB﹣BC=3，又因为▱ABCD的周长是30，所以AB+BC=10；解方程组即可求得．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；‎ 又∵△OAB的周长比△OBC的周长大3，‎ ‎∴AB+OA+OB﹣（BC+OB+OC）=3‎ ‎∴AB﹣BC=3，‎ 又∵▱ABCD的周长是30，‎ ‎∴AB+BC=15，‎ ‎∴AB=9．‎ 故答案为9．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．解题时要注意利用方程思想与数形结合思想求解．‎ ‎16．如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG=4．‎ ‎【考点】正方形的性质． ‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】正方形ABCD的对角线交于点O，连接0E，由正方形的性质和对角线长为8，得出OA=OB=4；进一步利用S△ABO=S△AEO+S△EBO，整理得出答案解决问题．‎ ‎【解答】解：如图：‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴OA=OB=4，‎ 又∵S△ABO=S△AEO+S△EBO，‎ ‎∴OA•OB=OA•EF+OB•EG，‎ 即×4×4=×4×（EF+EG）‎ ‎∴EF+EG=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】此题考查正方形的性质，三角形的面积计算公式；利用三角形的面积巧妙建立所求线段与已知线段的关系，进一步解决问题．‎ 三、解答题 ‎17．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．‎ ‎（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=30度；‎ ‎（2）求证：NM=NP；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．‎ ‎【考点】四边形综合题． ‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】（1）根据直角三角形的中线等于斜边上的一半，即可得解；‎ ‎（2）延长MN交DC的延长线于点E，证明△MNB≌△ENC，进而得解；‎ ‎（3）NC和PN不可能相等，所以只需分PN=PC和PC=NC两种情况进行讨论即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵MP⊥AB交边CD于点P，∠B=60°，点P与点C重合，‎ ‎∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，‎ ‎∵N是BC的中点，∴MN=PN，‎ ‎∴∠NMP=∠NPM=30°；‎ ‎（2）‎ 如图1，延长MN交DC的延长线于点E，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，‎ ‎∴∠BMN=∠E，‎ ‎∵点N是线段BC的中点，∴BN=CN，‎ 在△MNB和△ENC中，‎ ‎，‎ ‎∴△MNB≌△ENC，‎ ‎∴MN=EN，‎ 即点N是线段ME的中点，‎ ‎∵MP⊥AB交边CD于点P，‎ ‎∴MP⊥DE，‎ ‎∴∠MPE=90°，‎ ‎∴PN=MN=ME；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）如图2‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，‎ 又M，N分别是边AB，BC的中点，‎ ‎∴MB=NB，‎ ‎∴∠BMN=∠BNM，‎ 由（2）知：△MNB≌△ENC，‎ ‎∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE，‎ 又∵PN=MN=NE，‎ ‎∴∠NPE=∠E，‎ 设∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE=∠NPE=x°，‎ 则∠NCP=2x°，∠NPC=x°，‎ ‎①若PN=PC，则∠PNC=∠NCP=2x°，‎ 在△PNC中，2x+2x+x=180，‎ 解得：x=36，‎ ‎∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°，‎ ‎②若PC=NC，则∠PNC=∠NPC=x°，‎ 在△PNC中，2x+x+x=180，‎ 解得：x=45，‎ ‎∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°．‎ ‎【点评】本题主要考查了菱形的性质，以及直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键，有很强的综合性，要注意对等腰三角形进行分类讨论，注意认真总结．‎ ‎18．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．‎ ‎【考点】平行四边形的判定；矩形的性质． ‎ ‎【分析】证得FA∥CE后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断即可．‎ ‎【解答】解：四边形AECF是平行四边形．‎ 证明：∵矩形ABCD中，AB∥DC，‎ ‎∴∠DCE=∠CEB，‎ ‎∵∠DCE=∠BAF，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠CEB=∠BAF，‎ ‎∴FA∥CE，‎ 又矩形ABCD中，‎ FC∥AE，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形．‎ ‎【点评】考查了平行四边形的判定及矩形的性质，解题的关键是牢记平行四边形的五种判定方法，难度不大．‎ ‎19．如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC，点D为BC的中点．‎ ‎（1）用圆规和没有刻度的直尺作图，并保留作图痕迹：‎ ‎①过点B作AC的平行线BP；‎ ‎②过点D作BP的垂线，分别交AC，BP，BQ于点E，F，G．‎ ‎（2）在（1）所作的图中，连接BE，CF．求证：四边形BFCE是平行四边形．‎ ‎【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质；平行四边形的判定． ‎ ‎【分析】（1）作出与∠C相等的内错角即可得到AC的平行线，过直线外一点作已知直线的垂线即可；‎ ‎（2）首先证得△ECD≌△FBD，从而得到CE=BF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图：‎ ‎（2）证明：如图：‎ ‎∵BP∥AC，‎ ‎∴∠ACB=∠PBC，‎ 在△ECD和△FBD中，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ ‎∴△ECD≌△FBD，‎ ‎∴CE=BF，‎ ‎∴四边形ECFB是平行四边形．‎ ‎【点评】本题考查了基本作图的知识及平行四边形的判定，解题的关键是能够掌握一些基本作图，难度不大．‎ ‎20．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．‎ ‎（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；‎ ‎（2）填空：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形；‎ ‎ ②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．‎ ‎【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定． ‎ ‎【分析】（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；‎ ‎（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°，所以AM=AD=1时即可；‎ ‎②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴ND∥AM，‎ ‎∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，‎ 又∵点E是AD边的中点，‎ ‎∴DE=AE，‎ ‎∴△NDE≌△MAE，‎ ‎∴ND=MA，‎ ‎∴四边形AMDN是平行四边形；‎ ‎（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：‎ ‎∵AM=1=AD，‎ ‎∴∠ADM=30°‎ ‎∵∠DAM=60°，‎ ‎∴∠AMD=90°，‎ ‎∴平行四边形AMDN是矩形；‎ 故答案为：1；‎ ‎②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵AM=2，‎ ‎∴AM=AD=2，‎ ‎∴△AMD是等边三角形，‎ ‎∴AM=DM，‎ ‎∴平行四边形AMDN是菱形，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质．‎ ‎21．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD分别与AE、AF相交于G、H．‎ ‎（1）在图中找出与△ABE相似的三角形，并说明理由；‎ ‎（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定． ‎ ‎【分析】（1）利用平行四边形的性质求出相等的角，然后判断出△ABE∽△ADF；‎ ‎（2）判断出四边形ABCD是平行四边形，再加上条件AB=AD可以判断出四边形ABCD是菱形．‎ ‎【解答】解：（1）△ABE∽△ADF．‎ 理由如下：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，‎ ‎∴∠AEB=∠AFD=90°． ‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠ABE=∠ADF．‎ ‎∴△ABE∽△ADF．‎ ‎（2）证明：∵AG=AH，‎ ‎∴∠AGH=∠AHG．‎ ‎∴∠AGB=∠AHD．‎ ‎∵△ABE∽△ADF，‎ ‎∴∠BAG=∠DAH．‎ ‎∴∠BAG≌∠DAH．‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ AB=AD，‎ ‎∴平行四边形ABCD是菱形．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定，熟悉图形特征是解题的关键．‎ ‎22．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．‎ 求证：四边形OCED是菱形．‎ ‎【考点】菱形的判定；矩形的性质． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．‎ ‎【解答】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，‎ ‎∴四边形OCED是平行四边形，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴OC=OD，‎ ‎∴四边形OCED是菱形．‎ ‎【点评】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．‎ ‎23．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；‎ ‎（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．‎ ‎（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：‎ 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．‎ ‎【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形． ‎ ‎【专题】几何综合题；压轴题．‎ ‎【分析】（1）由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）首先延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，继而可得GE=BE+GD；‎ ‎（3）首先过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，继而求得直角梯形ABCD的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，‎ ‎∵∠ADC=90°，‎ ‎∴∠FDC=90°．‎ ‎∴∠B=∠FDC，‎ ‎∵BE=DF，‎ ‎∴△CBE≌△CDF（SAS）．‎ ‎∴CE=CF． ‎ ‎（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF．‎ 由（1）知△CBE≌△CDF，‎ ‎∴∠BCE=∠DCF．‎ ‎∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，‎ 即∠ECF=∠BCD=90°，‎ 又∠GCE=45°，‎ ‎∴∠GCF=∠GCE=45°．‎ ‎∵CE=CF，GC=GC，‎ ‎∴△ECG≌△FCG．‎ ‎∴GE=GF，‎ ‎∴GE=GF=DF+GD=BE+GD． ‎ ‎（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．‎ 在直角梯形ABCD中，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠A=∠B=90°，‎ 又∵∠CGA=90°，AB=BC，‎ ‎∴四边形ABCG为正方形．‎ ‎∴AG=BC．…‎ ‎∵∠DCE=45°，‎ 根据（1）（2）可知，ED=BE+DG．…‎ ‎∴10=4+DG，‎ 即DG=6．‎ 设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，‎ 在Rt△AED中，‎ ‎∵DE2=AD2+AE2，即102=（x﹣6）2+（x﹣4）2．‎ 解这个方程，得：x=12或x=﹣2（舍去）．…‎ ‎∴AB=12．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴S梯形ABCD=（AD+BC）•AB=×（6+12）×12=108．‎ 即梯形ABCD的面积为108．…‎ ‎【点评】此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．‎ ‎24．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作平行四边形AGDB交CB的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：DE∥BF；‎ ‎（2）若∠G=90，求证：四边形DEBF是菱形．‎ ‎【考点】菱形的判定；平行四边形的性质． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】（1）根据已知条件证明BE=DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，‎ ‎（2）先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．‎ ‎【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD 中，AB∥CD，AB=CD ‎∵E、F分别为AB、CD的中点 ‎∴DF=DC，BE=AB ‎∴DF∥BE，DF=BE ‎∴四边形DEBF为平行四边形，‎ ‎∴DE∥BF；‎ ‎（2）∵AG∥BD，‎ ‎∴∠G=∠DBC=90°，‎ ‎∴△DBC 为直角三角形，‎ 又∵F为边CD的中点，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴BF=DC=DF，‎ 又∵四边形DEBF为平行四边形，‎ ‎∴四边形DEBF是菱形．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定．解题时，需要掌握平行四边形与菱形间的相互联系，难度适中．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费