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课时跟踪检测 (五十三) 几何概型
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为|x|≤1，所以－1≤x≤1，所以所求的概率为＝.
2．(2017·广州市五校联考)四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A. B．1－
C. D．1－
解析：选B 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P＝＝＝1－.
3．已知正棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VPABC＜VSABC的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VPABC＜VSABC，故使得VPABC＜VSABC的概率：P＝＝1－3＝.
4．已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，若从区间[－5,5]内随机抽取一个实数x0，则所取的x0满足f(x0)≤0的概率为________．
解析：令x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，由几何概型的概率计算公式得P＝＝＝0.3.
答案：0.3
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5．(2016·河南省六市第一次联考)欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2 cm的圆，中间有边长为0.5 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为________．
解析：由题意得，所求概率为P＝＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析：选A 由题意及题图可知，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，故P(A)最大，应选A.
2．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 根据题意求出矩形的面积为32时线段AC或线段BC的长，然后求出概率．
设AC＝x，则CB＝12－x，
所以x(12－x)＝32，
解得x＝4或x＝8.
所以P＝＝.
3．(2017·贵阳市监测考试)在[－4,4]上随机取一个实数m，能使函数f(x)＝x3＋mx2＋3x在R上单调递增的概率为( )
A. B.
C. D.
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解析：选D 由题意，得f′(x)＝3x2＋2mx＋3，要使函数f(x)在R上单调递增，则3x2＋2mx＋3≥0在R上恒成立，即Δ＝4m2－36≤0，解得－3≤m≤3，所以所求概率为＝，故选D.
4．已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，直线y＝kx将其面积平分，如图，所求概率为.
5．在区间上随机取一个数x，则sin x＋cos x∈[1， ]的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为x∈，所以x＋∈，由sin x＋cos x＝sin∈[1， ]，得≤sin≤1，所以x∈，故要求的概率为＝.
6．已知集合A＝，B＝{x|x2＋2x－3≤0}，在集合A中任意取一个元素a，则a∈B的概率是________．
解析：A＝{y|y＝x2＋2x，－2≤x≤2}＝{y|－1≤y≤8}．
B＝＝.
则所求的概率为＝.
答案：
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7．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sin x及直线x＝a(a∈(0，π])与x轴围成，向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a＝________.
解析：根据题意，
阴影部分的面积为
sin xdx＝－cos x＝1－cos a，
又矩形的面积为a·＝4，
则由几何概型的概率公式可得＝，
即cos a＝－1，又a∈(0，π]，所以a＝π.
答案：π
8．如图，正四棱锥SABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．
解析：设球的半径为R，则所求的概率为P＝＝＝.
答案：
9．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M.
(1)求四棱锥MABCD的体积小于的概率；
(2)求M落在三棱柱ABCA1B1C1内的概率．
解：(1)正方体ABCDA1B1C1D1中，设MABCD的高为h，令×S四边形ABCD×h＝，
∵S四边形ABCD＝1，∴h＝.
若体积小于，则h＜，即点M在正方体的下半部分，
∴P＝＝.
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(2)∵V三棱柱＝×12×1＝，
∴所求概率P1＝＝.
10．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.
(1)求n的值．
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．
解：(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为＝，得n＝2.
(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝＝.
②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2＞4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为
Ω＝，
由几何概型得概率为P＝＝1－.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·重庆适应性测试)在区间[1,4]上任取两个实数，则所取两个实数之和大于3的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 依题意，记从区间[1,4]上取出的两个实数为x，y，不等式组表示的平面区域的面积为(4－1)2＝9，不等式组表示的平面区域的面积为(4－1)2－×12＝，因此所求的概率为＝
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，选D.
2．已知关于x的二次函数f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.
(1)若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y＝f(x)恰有一个零点的概率．
(2)若a，b∈[1,6]，求满足y＝f(x)有零点的概率．
解：(1)设(a，b)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．
用A表示事件“y＝f(x)恰有一个零点”，
即Δ＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，
则a＋1＝2b.
则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，
所以P(A)＝＝.
即事件“y＝f(x)恰有一个零点”的概率为.
(2)用B表示事件“y＝f(x)有零点”，即a＋1≥2b.
试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6}，
构成事件B的区域为{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6，a－2b＋1≥0}，
如图所示：
所以所求的概率为P(B)＝＝.
即事件“y＝f(x)有零点”的概率为.
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