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课时跟踪检测 (五十八) 坐标系
1．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．
解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，
由上述可知，将代入x2－＝1
得－＝1，化简得－＝1，
即－＝1为曲线C′的方程，
可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．
2．(1)把化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)化为极坐标方程；
(2)把曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ化为直角坐标方程．
解：(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝r2，
得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，ρ2(cos2θ＋sin2θ)＝r2，ρ＝r．
所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为
ρ＝r(0≤θ＜2π)．
(2)法一：把ρ＝，sin θ＝代入ρ＝8sin θ，
得＝8·，
即x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16．
法二：方程两边同时乘以ρ，
得ρ2＝8ρsin θ，
即x2＋y2－8y＝0．
3．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R．
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，
点R的直角坐标为R(2,2)．
(2)设P(cos θ，sin θ)，
根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ，
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∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)，
当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，
∴矩形PQRS周长的最小值为4，
此时点P的直角坐标为．
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1．
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2．
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝时，ρ＝，所以N．
(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为．
所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
5．(2017·成都模拟)在直角坐标系xOy中，半圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝5，射线OM：θ＝与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以半圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈．
(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有解得设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，
则有
解得
由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ的长为4．
6．在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：
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(1)直线的极坐标方程；
(2)极点到该直线的距离．
解：(1)如图，由正弦定理得
＝．
即ρsin＝sin＝，
∴所求直线的极坐标方程为ρsin＝．
(2)作OH⊥l，垂足为H，
在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，
则OH＝OAsin＝，即极点到该直线的距离等于．
7．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ．
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0．
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1．
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1．
8．(2017·广州五校联考)在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆．
(1)求圆C的极坐标方程；
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(2)求圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长．
解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，如图，
在Rt△OAM中，∠OMA＝，
∠AOM＝2π－θ－，|OA|＝4．
因为cos∠AOM＝，
所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM，
即ρ＝4cos＝4cos，
验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，
故ρ＝4cos为所求．
(2)设l：θ＝－(ρ∈R)交圆C于点P，在Rt△OAP中，∠OPA＝，
易得∠AOP＝，
所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2．
法二：(1)圆C是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，
所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos．
(2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos，
得ρ＝2，
所以圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长为2．
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