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1．1 认识三角形(二)
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB＝105°．
(第2题)
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．
(1)若BC＝6 cm，则CD＝3cm；
(2)若CD＝a，则BC＝2a；
(3)若S△ABD＝8 cm2，则S△ACD＝8cm2.
(第3题)
3．(1)如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高线，且CD，BE交于点P.若∠A＝70°，则∠BPC＝110°；若∠BPC＝100°，则∠A＝80°；
(2)在△ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高线，且BC＝5 cm，AD＝3 cm，CE＝4 cm，则AB＝cm；
(3)在△ABC中，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB＝7 cm，AC＝5 cm，则△ABD与△ACD的周长之差为2cm.
4．(1)一定可以把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是(A)
A．三角形的中线 B．三角形的角平分线
C．三角形的高线 D．以上说法均不正确
(2)直角三角形的三条高线所在的直线交于(C)
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A．三角形内部 B．三角形外部
C．三角形的边上 D．不能确定
5．如图，在△ABC中，D，E分别是BC上的两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相等的三角形有(A)
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
(第5题) (第6题)
6．如图，在△ABC中，AB>AC，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的角平分线，有下列结论：①∠ABE＝∠DBE；②BC＝2BD＝2CD；③△ABD的周长等于△ACD的周长．其中正确的个数有(C)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
(第7题)
7．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠B，∠CAD＝40°，∠ACE＝120°，请判断AD是否是△ABC的角平分线，并说明理由．
【解】 AD是△ABC的角平分线．理由如下：
∵∠ACE＋∠ACB＝180°，
∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°，
∴∠B＋∠BAC＝∠ACE＝120°，
即∠B＋∠BAD＋∠CAD＝120°.
∵∠CAD＝40°，
∴∠B＋∠BAD＝120°－40°＝80°.
又∵∠B＝∠BAD，
∴2∠BAD＝80°，
∴∠BAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CAD，
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∴AD是△ABC的角平分线．
(第8题)
8．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，连结BE.若S△ABC＝16 cm2，求S△ABE.
【解】 ∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝8 cm2.
∵E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△BDE＝S△ABD＝4 cm2.
9．如图，在△ABC中，AB>AC，AD是BC边上的中线，已知△ABD与△ACD的周长之差为8，求AB－AC的值．
(第9题)
【解】 ∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
∵C△ABD＝AB＋BD＋AD，
C△ACD＝AC＋CD＋AD，
∴AB＝C△ABD－BD－AD，
AC＝C△ACD－CD－AD.
∴AB－AC＝(C△ABD－BD－AD)－(C△ACD－CD－AD)＝C△ABD－C△ACD＝8.
10．已知在△ABC中，∠A＝45°，高线BD和高线CE所在的直线交于点H，求∠BHC的度数．
【解】 (1)当△ABC为锐角三角形时，如解图①.
∵BD，CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠BEH＝90°.
又∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45°，∴∠BHE＝45°，
∴∠BHC＝180°－∠BHE＝135°.
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(第10题解)
(2)当△ABC为钝角三角形时，如解图②.
∵BD，CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠BEH＝90°.
又∵∠A＝45°，∴∠ABD＝45°，
∴∠BHC＝180°－∠ABD－∠BEH＝45°.
综上所述，可知∠BHC＝135°或45°.
11．在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一点．
(1)如图①，若P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，请探求PE，PF与BD之间的数量关系；
(第11题)
(2)如图②，若P是BC的延长线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，CD是△ABC的高线，请探求PE，PF与CD之间的数量关系．
【解】 (1)连结PA.∵S△ABC＝S△APB＋S△APC，
∴AC·BD＝AB·PF＋AC·PE.
∵AB＝AC，∴BD＝PE＋PF.
(2)连结PA.∵S△PAB＝S△ABC＋S△ACP，
∴AB·PF＝AB·CD＋AC·PE.
∵AB＝AC，∴PF＝CD＋PE，即PF－PE＝CD.
12．(1)如图①所示，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与∠ACB的平分线CO交于点O，试探求∠
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A与∠BOC的数量关系；
(第12题)
(2)如图②，在△ABC中，D是边AB延长线上一点，E是边AC延长线上一点，∠CBD的平分线BO与∠BCE的平分线CO交于点O.试探求：
①∠A与∠BOC的数量关系；
②按角的大小来判断△BOC的形状．
【解】 (1)∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)．
∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴∠OBC＋∠OCB＝90°－∠A.
又∵∠OBC＋∠OCB＝180°－∠BOC，
∴180°－∠BOC＝90°－∠A，
∴∠BOC＝90°＋∠A.
(2)①∵BO平分∠CBD，CO平分∠BCE，
∴∠CBO＝∠CBD，∠BCO＝∠BCE，
∴∠CBO＋∠BCO＝(∠CBD＋∠BCE)．
∵∠ABC＋∠CBD＝180°，∠ACB＋∠BCE＝180°，∴∠CBD＋∠BCE＝360°－(∠ABC＋∠ACB)．
∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴∠CBD＋∠BCE＝180°＋∠A，∴∠CBO＋∠BCO＝(180°＋∠A)＝90°＋∠A.
∵∠BOC＝180°－(∠CBO＋∠BCO)，
∴∠BOC＝180°－90°－∠A＝90°－∠A.
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②∵∠CBO＝∠CBD，∠BCO＝∠BCE，且∠CBD
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