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1．3 证明(二)
(第1题)
1．(1)如图，已知∠ABD＝20°，∠ACD＝35°，∠BDC＝110°，则∠A的度数为55°；
(2)在△ABC中，∠A＋∠B＝110°，∠C＝2∠A，则∠A＝35°，∠B＝75°．
2．(1)如图①，在△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的点，AD，BE交于点F，则∠1＋∠2＋∠3＋∠C＝180°．
①
②
(第2题)
(2)如图②，D是△ABC的边AC上一点，E为BD上一点，则∠A，∠1，∠2之间的关系是∠2>∠1>∠A．
3. 如图，将等腰直角三角形ABC绕点A沿逆时针方向旋转15°后得到△AB′C′，B′C′与AB交于点P，则∠C′PB＝__120°__．
(第3题) (第4题)
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BD上的点，∠A＝65°，∠ABD＝∠DCE＝30°，则∠BEC
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的度数是125°．
5．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E的度数是(A)
(第5题)
A. 30°
B. 40°
C. 60°
D. 70°
6．若三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数之比为(C)
A．4∶3∶2 B．3∶2∶4
C．5∶3∶1 D．3∶1∶5
7．直角三角形中的两锐角平分线相交而成的角的度数是(C)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．145°
(第8题)
8．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1＋∠2等于(B)
A. 120°
B. 240°
C. 300°
D. 360°
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(第9题)
9．如图所示，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高线，求∠DBC的度数．
【解】 设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x，
∴x＋2x＋2x＝180°(三角形三个内角之和为180°)，
解得x＝36°.
∴∠C＝2×36°＝72°.
在△BDC中，∵∠BDC＝90°(已知)，
∴∠DBC＝180°－90°－72°＝18°.
(第10题)
10．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是__180°__．
【解】 延长CE交AB于点K，则∠D＋∠DEC＝∠KHB，∠KHB＋∠B＝∠AKC.∵∠AKC＋∠C＋∠A＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
(第11题)
11．如图，图中∠1，∠2，∠3，∠4的关系为(A)
A. ∠1＋∠2＝∠4－∠3
B. ∠1＋∠2＝∠3＋∠4
C. ∠1－∠2＝∠4－∠3
D. ∠1－∠2＝∠3－∠4
【解】 ∵∠AEF是△BED的外角，
∴∠AEF＝∠2＋∠3.
∵∠4是△AEF的外角，
∴∠4＝∠1＋∠AEF，
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∴∠4＝∠1＋∠2＋∠3，
∴∠1＋∠2＝∠4－∠3.
12．如图，已知AB∥CD，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3.求证：BA平分∠EBF.下面给出证法一．
(第12题)
证法一：设∠1，∠2，∠3的度数分别为x，2x，3x.
∵AB∥CD(已知)，
∴∠2＋∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
即2x＋3x＝180°，解得x＝36°，∴∠1＝36°，∠2＝72°.
∵∠EBA＋(∠1＋∠2)＝180°(邻补角的定义)，
∴∠EBA＝72°＝∠2.
∴BA平分∠EBF.
请阅读证法一后，找出与证法一不同的证法，并写出证明过程．
【解】 设∠1，∠2，∠3的度数分别为x，2x，3x.
∵∠3是△BFG的一个外角，
∴∠BGF＝∠3－∠1＝3x－x＝2x(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)．
又∵AB∥CD(已知)，
∴∠EBA＝∠EGF＝2x(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠2＝2x，∴∠EBA＝∠2，
∴BA平分∠EBF.
13．(1)如图，将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1，∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；
(2)若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2，∠A与∠1之间的关系式，并说明理由；
(3)若折成图④，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由；
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(第13题)
(4)若折成图⑤，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由．
【解】 (1)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：
如解图①，延长BE，CD交于点P，
则△BCP即为折叠前的三角形，
由折叠的性质知：∠DAE＝∠DPE.
连结AP，
由三角形的外角性质知：
∠1＝∠EAP＋∠EPA，∠2＝∠DAP＋∠DPA，
则∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE，
即∠1＋∠2＝2∠A.
(2)图②中∠2＝2∠A.理由如下：
如解图②，由三角形的外角性质知：
∠2＝∠DPE＋∠DAE＝2∠DAE，
即∠2＝2∠A.
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(第13题解)
图③中∠1＝2∠A.理由如下：
如解图③，∠1＝∠EAP＋∠P＝2∠EAP，即∠1＝2∠A.
(3)∠2－∠1＝2∠A.理由如下：
如解图④，由三角形的外角性质知：
∠2＝∠3＋∠P，∠3＝∠1＋∠A，
即∠2＝∠P＋∠1＋∠A＝2∠A＋∠1，
故∠2－∠1＝2∠A.
(4)∠1－∠2＝2∠A.理由如下：
如解图⑤，∠3＝∠A＋∠2，∠1＝∠3＋∠P，即∠1＝∠A＋∠2＋∠P＝2∠A＋∠2，故∠1－∠2＝2∠A.
14．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(第14题)
(1)如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，
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故∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB，CD内部，如图②，以上结论是否仍成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
(2)在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系(不需证明)?
(3)根据(2)的结论求图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
【解】 (1)不成立，结论是∠BPD＝∠B＋∠D.
证明如下：延长BP交CD于点E.
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BED.
又∵∠BPD＝∠BED＋∠D,
∴∠BPD＝∠B＋∠D.
(2)∠BPD＝∠BQD＋∠B＋∠D.
(3)设AC与BF交于点G，连结DG.
由(2)的结论，得∠AGB＝∠A＋∠B＋∠E.
∵∠C＋∠CDG＋∠CGD＝180°，∠F＋∠FDG＋∠FGD＝180°，
∴∠CGF＋∠C＋∠D＋∠F＝360°.
∵∠AGB＝∠CGF，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
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