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1．3 证明(一)
1. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，E是AC上一点，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为D，F，若∠AED＝140°，则∠C＝__50°__，∠A＝__80°__，∠BDF＝__40°__，∠EDF＝__50°__．
,
(第1题) (第2题)
2. 如图，平面镜A与B之间的夹角为120°，光线经平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠1＝__30°__．
(第3题)
3. 如图，已知AD∥BC，∠EAD＝50°，∠ACB＝40°，则∠BAC＝__90°__．
4．如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，不能判定AB∥CD的条件是(A)
A．∠1＝∠2 B．∠1＋∠2＝90°
C．∠3＋∠4＝90° D．∠2＋∠3＝90°
(第4题) (第5题)
5．如图，有一条直的宽纸带按图示的方式折叠，则∠α的度数是(C)
A．50° B．60° C．75° D．85°
6．已知△ABC的三个内角的度数之比为3∶4∶5，则这个三角形是(A)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
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(第7题)
7．如图，已知EF与AB，CD分别交于点E，F，∠1＝∠2.求证：AB∥CD.
【解】 ∵∠1＝∠2(已知)，∠2＝∠AEF(对顶角相等)，
∴∠1＝∠AEF(等量代换)，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
(第8题)
8．如图，已知AB∥CD，CM平分∠BCD，CM⊥CN.求证：∠NCB＝∠B.
【解】 ∵AB∥CD(已知)，
∴∠DCB＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠DCB＝180°－∠B.
又∵CM平分∠BCD(已知)，
∴∠MCB＝∠DCB＝(180°－∠B)＝90°－∠B(角平分线的定义)．
∵CM⊥CN，∴∠MCN＝90°，
∴∠NCB＝90°－∠MCB＝90°－(90°－∠B)＝∠B.
9．如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：
(1)∠A＝∠4；
(2)AF∥BC.
(第9题)
【解】 (1)∵∠1＝∠2(已知)，
∴DC∥AB(内错角相等，两直线平行)，
∴∠A＝∠3(两直线平行，同位角相等)．
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∵∠3＝∠4(已知)，∴∠A＝∠4.
(2)∵∠A＝∠4(已证)，
∴AF∥BC(同位角相等，两直线平行)．
(第10题)
10．如图，已知AB∥CD，求证：∠α＋∠β－∠γ＝180°.
【解】 过点E作EF∥AB，则∠A＋∠AEF＝180°，∠FED＝∠D，∴∠α＋∠β－∠γ＝180°.
(第11题)
11．如图，AB∥CD，那么∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°．
【解】 提示：分别过点E，F作AB的平行线．
(第12题)
12．如图，P为△ABC内任意一点，∠1＝∠2，求证：∠ACB与∠BPC互补．
【解】 在△BCP中，∠BPC＋∠2＋∠BCP＝180°，
∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)．
又∵∠1＝∠2，∴∠BPC＝180°－(∠1＋∠BCP)，∴∠BPC＝180°－∠ACB，∴∠ACB＋∠BPC＝180°，即∠ACB与∠BPC互补．
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(第13题)
13．如图，∠xOy＝90°，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，BC平分∠DBO，BC与∠OAB的平分线交于点C，试问：∠ACB的大小是否随A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围．
【解】 ∠ACB不随A，B的移动发生变化．理由如下：
∵BC，AC分别平分∠DBO，∠BAO，
∴∠DBC＝∠DBO，∠BAC＝∠BAO.
∵∠DBO＋∠OBA＝180°，∠OBA＋∠BAO＋∠AOB＝180°，
∴∠DBO＝∠BAO＋∠AOB，
∴∠DBO－∠BAO＝∠AOB＝90°.
∵∠DBC＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
∴∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，∴∠DBO＝∠BAO＋∠ACB，∴∠ACB＝(∠DBO－∠BAO)＝∠AOB＝45°.
(第14题)
14．如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求：
(1)∠MON的度数；
(2)如果已知中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；
(3)如果已知中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数；
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(4)从(1)(2)(3)的结果中能得出什么规律？
(5)线段的计算与角的计算存在着紧密联系，它们之间可以进行类比，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律，并给出解答．
【解】 (1)∵OM平分∠AOC(已知)，
∴∠MOC＝∠AOC(角平分线的定义)．
又∵ON平分∠BOC(已知)，
∴∠NOC＝∠BOC(角平分线的定义)，
∴∠MON＝∠MOC－∠NOC
＝∠AOC－∠BOC＝(∠AOC－∠BOC)
＝∠AOB＝45°.
(2)当∠AOB＝α，其他条件不变时，∠MON＝.
(3)当∠BOC＝β，其他条件不变时，∠MON＝45°.
(4)分析(1)(2)(3)的结果和(1)的解答过程可以看出：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与锐角∠BOC的大小变化没有关系．
(第14题解)
(5)设计的问题为：如解图所示，已知线段AB＝a，延长AB至点C，使BC＝b，M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．
本题的规律是“MN的长度总等于AB的一半，而与BC的长度变化无关”．理由如下：
∵M是AC的中点(已知)，
∴AM＝MC＝AC(中点的定义)．
∵N是BC的中点(已知)，
∴BN＝NC＝BC(中点的定义)．
∴MN＝MC－NC＝AC－BC＝AB＝a.
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